怎樣用白話描述函數極限定義？

12-11

ε-N語言（數列的）可以理解
但是ε-δ語言（函數的）卻沒有辦法形象理解

只要自變數x與目標點a的距離不超過δ，那麼函數f(x)與目標點b的距離就不超過ε。

這時，稱b為x趨近於a時f(x)的極限。

「想要任意小，就要足夠小」

這幾天準備考研，所以看起了當年的高數。看到《數列的極限》和《函數的極限》這地方又想起了當年學習高數時的迷惑。因為總覺得這裡關於極限的證明很扯淡。

於是我各種搜查資料，也找到了這個問題，雖然感覺理解了一點，但還是不算特別清楚。最後我還是找到了一個讓我很喜歡的講解。

這裡用數列極限來講解：

例如，第n項是 $a_{n}$ =1/n的序列

1， $frac{1}{2}$ ， $frac{1}{3}$ ， $frac{1}{4}$ ，...， $frac{1}{n}$ ，...，（1）

當n增加時極限是0：

$frac{1}{n} ightarrow 0$ 當n $ightarrow infty$ 時.（2）

讓我們設法確切地說明這是什麼意思。如果我們順著序列越走越遠，那麼序列的項變得越來越小。第100項以後的一切項都小於1/100，1000項以後的一切項都小於1/1000，等等。沒有一項真正等於0，但是如果我們在序列（1）中走的足夠遠，就能保證序列的每一項和0之間的差，小到我們所願意的程度。

這個解釋的唯一困難是，上面的黑體字的意思不十分清楚。怎樣遠才是」足夠遠「，多麼小才是「小到我們所願意的程度」？如果我們能給這些詞句以確切的意義，那麼也就能給極限關係或（2）以確切的意義。

幾何解釋會有助於使情況搞得更清楚些。如果用數軸上的點表示序列（1）的項，我們看到序列的項聚集在點0周圍。讓我們在數軸上任意選擇一個以點0為心，整個寬度為2 $varepsilon$ 的區間I，在點0的每一邊，區間的寬度都為 $varepsilon$ 。如果選擇 $varepsilon$ =10，那麼，當序列所有的項 $a_{n}$ =1/n都在區間I內部。如果選擇 $varepsilon$ =1/10，那麼序列最前面幾項在區間I外部，而從 $a_{11}$ 起的所有項

$frac{1}{11}$ ， $frac{1}{12}$ ， $frac{1}{13}$ ， $frac{1}{14}$ ，...，

將在I內部。即使我們選擇 $varepsilon$ =1/1000，也只是序列的前一千項不在I內部，而從 $a_{1001}$ 起的所有無窮多項，

$a_{1001}$ , $a_{1002}$ , $a_{1003}$ ,...

將在I內部，顯然，對任意的正數 $varepsilon$ ，這個推理都成立：只要選定了一個正的 $varepsilon$ ，不管它可能多麼小，我們隨即能找到一個如此大的整數N，使得

$frac{1}{N}$ &< $varepsilon$ .

從而序列中所有使n $geq$ N的項 $a_{n}$ 都在內部，而只能看有限項 $a_{1}$ , $a_{2}$ ,..., $a_{N-1}$ 在I外部。要點是：首先隨意選擇 $varepsilon$ ，決定區I的寬度，然後可以找到一個適當的整數N。首先選定一個數 $varepsilon$ ，然後找出一個適當的N的這個手續，對於不管多麼小的正數 $varepsilon$ 都是可行的，並且給出了以下命題的確切意義：只要在序列（1）中走的足夠遠，那麼序列（1）的所有項與0的差就小到我們願意的程度。

總結一下：設 $varepsilon$ 是任意一個正數，那麼我們能找到一個整數N，使得序列（1）中n $geq$ N的所有項 $a_{n}$ 都落在以點0為心，寬度為2 $varepsilon$ 的區間內。這就是極限關係式（2）的精確意義。

在這個例子的基礎上，現在我們準備給出「實數 $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ ,...的序列有極限a」的說法的確切定義。我們讓a含在數軸上一個區間I的內部，如果區間很小，那麼某些數 $a_{n}$ 可能在區間外部，但是只要n變得足夠大，也就是大於或等於某個整數N時，那麼所有n $geq$ N的那些數 $a_{n}$ 都必須在區間I內。當然，如果區間I選的很小，整數N可能必須取得很大，但如果序列是以a為他的極限，那麼不管區間I是多麼小，這樣的一個整數N必然存在。