在計算器上按 tan 89.9999 會得到 180/π，這是什麼巧合嗎？

12-11

在高一上到三角函數的時候提到了tan 90°，就奇思妙想到tan 89.999999999999~會不會極為接近tan 90°呢？當然結果肯定是否定的，但當我在計算器上敲出tan 89.999999999999~後發現好像非常眼熟，這不就是180/π嘛！(雖然我漏看了那個小數點)。
這是巧合嗎？

這個觀察力厲害了...

我們知道 $1°=frac{pi}{180} exttt{rad}$ .

所以對 $an (90°-x°)$ 作洛朗展開等價於對 $f(x)= an left(frac{pi }{2}-frac{pi x}{180} ight)$ 展開.

注: 謝 @Y Huang 指出這是 Laurent 展開, 不知道這意味著什麼可以理解為泰勒展開.

$f(x)=cot left(frac{pi x}{180} ight)$

$f$

算死我了...所以泰勒展開式就是:

$f(x)= an left(frac{pi }{2}-frac{pi x}{180} ight)=frac{180}{pi x}-frac{pi x}{540}+Oleft(x^3 ight)$

令 $x=1/10000$ , $fleft(frac{1}{10^4} ight)=frac{18000}{pi }-frac{pi }{54000}-0$

所以這就是數值一樣但是多四個零的原因了...

當然其實計算器的tan是用sin/cos算得, 所以應該計算帕德展開...

$f(x)=frac{1-frac{pi ^2 x^2}{64800}+frac{pi ^4 x^4}{25194240000}+Oleft(x^5 ight)}{frac{pi x}{180}-frac{pi ^3 x^3}{34992000}+Oleft(x^5 ight)}$

省略高階無窮小然後化簡就是:

$f(x)=frac{180}{pi x}+pi x left(frac{90}{pi ^2 x^2-194400}-frac{1}{720} ight)$

差別不大...高階項處理不同而已

但其實浮點的處理很複雜,還有一系列標準和過程, 導致在某個值之後會突變成別的東西...

到 89.99999999999999° 這個性質會喪失..

可以看看這個: 為什麼tan 90°拿計算器算出來是1.63312394e16？

我是受上面醬紫君啟發的，不過我覺得他的處理手段太複雜了，單就這個問題來說，那些高階項其實沒必要算的。

我們知道在 $x ightarrow0$ 時， $an x$ 和 $x$ 為等價無窮小，所以有：

$ext{tand}(90-x)= ext{cotd}(x)=dfrac{1}{ ext{tand}(x)}=dfrac{1}{ an frac{pi x }{180}}simdfrac{1}{frac{pi x}{180}}=dfrac{180}{pi x}$

這裡的tand和cotd函數以角度為自變數，tan以弧度為自變數。

帶入 $x=90-89.99999...=10^{-n}$ ，就有 $ext{tand}(90-x)approxleft(frac{180}{pi} ight)10^{n}$ 了。

這是Laurent級數，不是泰勒！不是泰勒！不是泰勒！

tan(pi/2-z)=cot(z)=cos(z)/sin(z)=(1+z^2/2+...)/(z-z^3/6+...)=1/z + z/3 + ...
它在z=0處有一個簡單極點，留數為1。

當z很小時，z/3以及更高次項都接近0，所以
tan(pi/2-z)≈1/z
特別地，當z=10^(-4)度=10^(-4) pi/180時，tan(pi/2-z)≈1/z=180/pi * 10^4

【本文三角函數中弧度以純數值，角度以帶相應符號表示。】

首先，由於 $an(90-x)^circ = anleft(fracpi2-x ight) = frac1{ an x}$ ，這樣我們將 $left(90-x ight)^circ$ 的問題轉為 $x^circ$ 的問題了。

對於弧度制而言，當 $x$ 非常接近於 $0$ 的時候， $an x$ 的值便與 $x$ 非常接近，即 $an xapprox x$ （嚴格來說 $lim_{x ightarrow0}frac{ an x}x=1$ ）。

換成角度制，則 $x^circ$ 非常接近於 $0^circ$ 時有 $an x^circapproxfrac{pi x}{180}$ 。而 $x=10^{-k}, kin{ m N}$ ，那麼就體現為 $anleft(10^{-k} ight)^circapproxfrac{picdot10^{-k}}{180}$ （其中 $fracpi{180}approx0.01745$ ）。

反過來，對於 $(90-x)^circ$ 非常接近於 $90^circ$ 時有 $an(90-x)^circapproxfrac{180}{pi x}$ 。同樣 $x=10^{-k}, kin{ m N}$ ，體現為 $anleft(90-10^{-k} ight)^circapproxfrac{180cdot10^k}{pi}$ （其中 $frac{180}piapprox57.2958$ ）。

由下圖不難發現，正切函數在兩種情況下分別近似成一次函數（對於零而言）與負一數函數（對於直角而言）的關係：

是
也不是
這就是數學的魅力

我高中用計算器通過不停按等號，偶然發現求超越方程的近似解的數值方法。後來知道那是一種固定斜率的牛頓法。
=更新=更新=更新=更新=更新=更新=更新=
先把方程g(x)=0化成f(x)=x的形式，使f(x)的在g(x)=0的地方導數在（-1，1）內（如果不行就嘗試修改係數總能找到一個化法讓導數在這個區間內），然後用計算器里的ans替換x，把f(ans)輸入計算器，不停地按等號，直到數值不變，那個值就是超越方程g(x)=0的一個根

我來補充個低階一點的！987654321除以123456789竟然等於8！精確到小數點後七八位至少。
別問我怎麼知道的，高中唯一的玩具，計算器。

謝邀。

不如你在計算器上按0.99999999999999999再按等號試一試

這是小時候在一本書上看到的數字，當時感覺很神奇，就一直記著，到現在都沒忘，評論里有人指出這個數字又叫走馬燈數，然後特意去百度了一下
發現這個數真的太神奇了

――――――――原答案――――――――
142857*1=142857
*2=285714
*3=428571
*4=571482
*5=714285
*6=857142
*7=999999
一直都是142857這幾個數字
乘以7的時候直接變成6個9

*8=1142856
沒有7了，但是！！！
多出來了1和6！！！
1+6=7
這是巧合嗎。。。
*9=1285713
多出來的1 3相加正好等於消失的4
*10=1428570
*11=1571427 1+7=8
*12=1714284 1+4=5

只能說數學很奇妙

可是為毛我數學這麼渣(﹁"﹁)！！！！

明明就是計算器精度的問題，看到知乎一堆大神的分析我也是服。