對於這種極限有何深刻理解並且解決？

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這是我偶然接觸到的一個不太尋常的極限問題。和橢圓積分有點關聯？不知類似的變形問題，有何通用解決方法。謝謝。

感謝邀請 ~

首先，極限中的積分是完全橢圓積分 (complete elliptic integral)。我們一般用 $K$ 來表示：

$K(k):=int_0^1frac{mathrm{d}x}{sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}$

很容易證明，上述積分可以進一步由高斯超幾何函數來表示，也就是

$K(k):=frac{pi}{2}{}_{2}F_{1}left[egin{matrix}frac{1}{2},frac{1}{2}\1end{matrix};k^2 ight]$

對於這個超幾何函數而言，當 $k ightarrow1$ 時，有

${}_{2}F_{1}left[egin{matrix}frac{1}{2},frac{1}{2}\1end{matrix};k^2 ight]sim-frac{1}{pi}lnleft(1-k^2 ight)$

也就是

$K(k)sim -frac{1}{2}ln(1-k^2)$

所以，極限的話應該是

$lim_{k ightarrow1}frac{K(k)}{ln(1-k)}=lim_{k ightarrow1}frac{-frac{1}{2}ln(1-k^2)}{ln(1-k)}=-frac{1}{2}.$

這個極限的關鍵是對k在1處的近似處理，為了方便做級數展開，可以先做代換 $y=1-k^2t^2$ ，然後對k在1處做泰勒展開 $\\$

$K(k)=int_{0}^{1}frac{dt}{sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} =int_{1-k^2}^1!dy,frac{1}{2 sqrt{y(1-y)(y-1 +k^2)}}$

$=int_{1-k^2}^1!frac{1}{2 sqrt{y(1-y)}}dy,left ( frac{1}{sqrt{y}}- frac{k-1}{y^{3/2}}+O((k-1)^2) ight )$

$=frac{1}{2}log left(frac{k+1}{1-k} ight)-O(k-1)$

所以可以得到

$lim_{k o1}frac{K(k)}{log(1-k)}=-frac{1}{2}$