一個普通的代數多項式,如何做開根號運算,可以給出一般的計算方法嗎?
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一個普通的代數多項式,如何做開根號運算,可以給出一般的計算方法嗎?
對於這個問題,首先考慮了下是否可以由二項式定理求得,發現不太可行,之後考慮了下泰勒展開。
Part 1 二項式定理
牛頓將非負整數次冪二項式定理推廣了任意有理次冪 的情況,即牛頓廣義二項式定理(Newton"s generalized binomial theorem),
其中二項式係數:
注意這裡是關於 的無窮級數求和,這就要求滿足 ,保證收斂。
看來,如果想要將牛頓廣義二項式定理推廣為 項的情況,即求解
對於多項式 是有要求的。
如果多項式滿足 先用一次牛頓廣義二項式定理,再使用 次多項式定理(Multinomial theorem,二項式定理的推廣,自行wiki即可):
其中,
可見,對於一般的多項式的展開,通過推廣二項式定理來進行,並不太容易得到一般性的結論。
Part 2 泰勒展開
如果把多項式看作是關於自變數 的函數,那麼由多變數泰勒公式(Taylor"s theorem for multivariate functions)是可以得到一般性的結果的。
由泰勒公式,在 處展開:
其中
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