一個普通的代數多項式,如何做開根號運算,可以給出一般的計算方法嗎?

一個普通的代數多項式,如何做開根號運算,可以給出一般的計算方法嗎?


對於這個問題,首先考慮了下是否可以由二項式定理求得,發現不太可行,之後考慮了下泰勒展開。

Part 1 二項式定理

牛頓將非負整數次冪二項式定理推廣了任意有理次冪 r 的情況,即牛頓廣義二項式定理(Newton"s generalized binomial theorem),

(x+y)^r = sum_{k=0}^infty inom rk x^{r-k} y^{k} ,

其中二項式係數:

inom r k = frac{r(r-1)(r-2)cdots (r-k+1)}{k!} .

注意這裡是關於 k 的無窮級數求和,這就要求滿足 left| x 
ight| > left| y<br />
ight| ,保證收斂。

看來,如果想要將牛頓廣義二項式定理推廣為 n 項的情況,即求解

(  x_1 + x_2 +x_3 + cdots +x_n )^r = ~???,

對於多項式P = x_1 + x_2 +x_3 + cdots +x_n, 是有要求的。

如果多項式滿足 left| x_1 
ight| > left| x_2 + x_3 + cdots + x_n<br />
ight|, 先用一次牛頓廣義二項式定理,再使用 n-2 次多項式定理(Multinomial theorem,二項式定理的推廣,自行wiki即可):

(  x_1 + x_2 +x_3 + cdots +x_n )^r
=  sum_{k_1 = 0}^infty sum_{k_2=0}^{k_1}  sum_{k_3=0}^{k_2} cdots  sum_{k_{n-1}=0}^{k_{n-2}} inom r{k_1,k_2,cdots,k_{n-1}} x_1^{r-k_1} x_2^{k_1-k_2}cdots x_{n-1}^{k_{n-2}-k_{n-1}}x_n^{k_{n-1}} ,

其中,

inom r{k_1,k_2,cdots,k_{n-1}} = inom r{k_1}  inom {k_1}{k_2}  inom {k_2}{k_3} cdots  inom {k_{n-2}}{k_{n-1}} .

可見,對於一般的多項式的展開,通過推廣二項式定理來進行,並不太容易得到一般性的結論。

Part 2 泰勒展開

如果把多項式看作是關於自變數 m{x} =  (x_1,x_2,x_3,cdots,x_n)^intercal 的函數,那麼由多變數泰勒公式(Taylor"s theorem for multivariate functions)是可以得到一般性的結果的。

由泰勒公式,在 m{x}=m{a} 處展開:

f(m{x}) = (x_1 + x_2 + x_3+ cdots + x_n)^r\
= sum_{sum alpha leq k } dfrac{D^alpha f(m{a})}{alpha !}(m{x}-m{a})^alpha + sum_{sum alpha  = k } h_alpha (m{x})(m{x}-m{a})^alpha ,

其中 sum alpha = alpha_1 +cdots +alpha_n,alpha! = alpha_1! cdots alpha_n! ,m{x}^alpha = x_1^{alpha_1} cdots x_n^{alpha_n},

D^alpha f (m{x}) = frac{partial^{ sum alpha} f(m{x})}{partial x_1^{alpha_1} cdots partial x_n^{alpha_n}}\
= (r)_{sum alpha} (x_1 + x_2 +x_3 + cdots + x_n)^{r-sum alpha},

(r)_{sum alpha} = r(r-1)(r-2)cdots (r-sum alpha +1).


直接搜索 : 二項式定理


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