為什麼調和級數 N 分之一是發散的，而 N 平方分之一是收斂的？

12-09

這個問題本身不難，證明有十七八種甚至更多。但是代數證明之後，我的內心還是忐忑不安， $frac{1}{n}$ 和 $frac{1}{n^2}$ ，都是所謂的 $P$ 級數，到底有什麼本質不同會導致一個收斂一個發散？會不會我證明錯了？其實兩個都是收斂、或者都是發散？

1 觀察調和級數 $displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac{1}{n}}$

我們先放空自己，假設不知道調和級數 $displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac{1}{n}}$ 是發散的，我們來直觀的感受一下調和級數。

設置幾個不同的 $n$ 看看調和級數的值是多少：

1. $displaystyle n=10implies sum _{n=1}^{10}{frac{1}{n}}approx 2.93$
2. $displaystyle n=1000implies sum _{n=1}^{1000}{frac{1}{n}}approx 7.49$
3. $displaystyle n=100000implies sum _{n=1}^{100000}{frac{1}{n}}approx 12.09$

增長的是不是很慢？

假設有這樣一個屏幕，我們可以更好的感受下調和級數的增長速度：

每0.1秒， $n$ 增加1，所以一分鐘的時候， $n=600$ ：

4個小時之後：

6個小時之後：

整整兩個小時過去，整數位還是12，我想大概就收斂在12-13之間了吧，可是到了第7個小時，整數位終於跳到了13：

$n$ 越大增長就越慢，按照這個速度，級數和要達到60(沒錯，就是60這個區區小數)，基本上需要花幾十億年的時間。你盯著屏幕一年、兩年，一直盯到你懷疑人生，整數位都一直沒有變化，你想或許它收斂了吧，可是它終究在頑強的變大。

從你打開這個頁面開始（如果是網頁版本的話，知乎和微信不支持互動內容），下面這個級數就一直在累加，讀完這篇文章大概也就幾分鐘，你看看幾分鐘之後可以累加到多少：

此處有互動內容，需要流量較大，最好有wifi處打開，土豪請隨意。
點擊此處前往操作。

直覺這個時候是失靈的，我們沒有辦法通過直覺判斷調和級數是收斂還是發散，同樣我們也沒有辦法通過直覺根據調和級數去推論P級數是否收斂還是發散。

2 收斂還是發散的決定因素

我們先來觀察兩個級數，一個是 $displaystyle sum _{n=1}^{infty }1$ ，一個是 $displaystyle sum _{n=1}^{infty }frac{1}{10^ n}$ ：

這兩個級數收斂還是發散很好判斷， $displaystyle sum _{n=1}^{infty }1=1+1+1+cdots$ ，每次相加都會導致整數位變化，所以 $o infty$ ，而是 $displaystyle sum _{n=1}^{infty }frac{1}{10^ n}=0.1+0.01+0.001+cdots$ ，每次相加都是不會影響整數位，作用在不同位上，更不會有進位，所以一定是收斂的：

可這兩者有什麼不同呢？速度：

我們先定義一下速度，這裡給出單獨的每個級數的速度沒什麼意義，兩個級數的速度比更有意義：

兩個正項級數 $sum a_ n$ 和 $sum b_ n$ ，如果 $displaystyle lim _{n o infty }frac{b_ n}{a_ n}=0$ ，那我們說 $b_ n$ 收斂於0的速度比 $a_ n$ 快。

根據這個收斂定義， $displaystyle sum _{n=1}^{infty }frac{1}{10^ n}$ 肯定比 $displaystyle sum _{n=1}^{infty }1$ 速度快。

收斂和發散的決定因素就是速度：

從直覺上講，速度越靠近上方的就發散，靠近下方的就收斂：

速度一點點改變，最終就會引起質變，形成收斂和發散的鴻溝。

3 $frac{1}{n}$ 和 $frac{1}{n^2}$

根據之前的速度定義， $frac{1}{n^2}$ 速度比 $frac{1}{n}$ 快，但是速度引起了什麼質變，導致兩者在收斂和發散的道路上分道揚鑣呢？

兩者速度的變化導致了部分和的本質不同。

4 是否存在一個發散速度最慢的級數？

對於 $P$ 級數， $P=1$ 也就是 $displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac{1}{n}}$ ，是發散速度最慢的 $P$ 級數。

但是對所有級數不能這麼說，我們很容易構建一個發散更慢的級數，比如 $displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac{1}{nIn(n)}}$ ，比調和級數發散的更慢，但是仍然發散。

5 讓調和級數收斂

我們從調和級數中抽去某些項，相當於加快調和級數的收斂速度，看看能否收斂：

$n$ 全部為質數： ${1 over 2}+{1 over 3}+{1 over 5}+{1 over 7}+{1 over 11}+{1 over 13}+cdots ightarrow infty$
$n$ 為 $n!$ ： ${frac{1}{1}}+{frac{1}{1}}+{frac{1}{2}}+{frac{1}{6}}+{frac{1}{24}}+{frac{1}{120}}+cdots =e$
$n$ 為斐波拉契數： ${frac{1}{1}}+{frac{1}{1}}+{frac{1}{2}}+{frac{1}{3}}+{frac{1}{5}}+{frac{1}{8}}+cdots =psi$

大家感興趣的話，可以搜索貧化調和級數，挺有意思的概念。

6 結論

通過速度比較並不能確定一個級數發散還是收斂，但是速度變化會帶來本質的變化。

我覺得呢，這個問題的根本原因，是該級數通項所對應的函數積分的斂散性（柯西積分判別），調和級數對應的負一次冪函數的積分為lnx，其在（1，＋∞）區間的積分和為發散的，而比它次數更低的積分都為冪小於0的冪函數，其值收斂，同理，比－1冪次高的函數積分後都為冪次大於0的冪函數，其和發散。
所以，這個問題的核心是，-1次冪函數積分的奇異性！

樓主你是不是想問：為什麼 $sum_{n=1}^{infty}{n^{-p}}$ 在 $pleq 1$ 就收斂，在 $p>1$ 就發散呢？

把它展開，拉出所有第 $2^n$ 項——
$s=1+2^{-p}+...+4^{-p}+...+8^{-p}+...+16^{-p}+...$

我不是只加這幾項！省略號也是算的！

當 $pleq 1$ 的時候，
$s=1+2^{-p}+...+4^{-p}+...+8^{-p}+...+16^{-p}+...$ $geq 1+2^{-p}+2 imes 4^{-p}+4 imes 8^{-p}+8 imes 16^{-p}+...$ $=1+frac{1}{2} (2^{1-p}+4^{1-p}+8^{1-p}+16^{1-p}+...)$
括弧裡面是個等比數列， $pleq 1$ ，公比 $2^{1-p}geq 1$ ，所以最後就發散咯。

當 $p>1$ 的時候，

$s=1+2^{-p}+...+4^{-p}+...+8^{-p}+...+16^{-p}+...$ $leq 1+2^{-p} imes 2+4^{-p} imes 4+8^{-p} imes 8+16^{-p} imes 16+...$ $=1+(2^{1-p}+4^{1-p}+8^{1-p}+16^{1-p}+...)$ $=1+frac{2^{1-p}}{1-2^{1-p}}$

還是剛才那個等比數列，因為 $p>1$ ，公比 $0<2^{1-p}<1$ ，所以最後就收斂咯。

可以這樣理解，因為1/n趨近於零的速度比較慢。。。

提示： $frac{1}{1}+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{1}{6}+frac{1}{7}+frac{1}{8}+dots>frac{1}{1}+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+frac{1}{8}+frac{1}{8}+frac{1}{8}+dots=1+frac{1}{2}+frac{1}{2}+dots<br />$

答主思維可以再發散一些，提問更高大上：為什麼冪函數y=x^s的原函數只有當s=-1時不是冪函數。

$f(varepsilon )=sum_{n=1}^{+infty}{frac{1}{n^{1+varepsilon } } } =int_{1}^{+infty}frac{1}{n^{1+varepsilon }}+C=frac{1}{varepsilon } +C$

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第二三項相等的一個直觀證明：
$p(a)geq int_{a}^{a+1} p(x)dxgeq p(a+1)$ ，當 $p(x)$ 單調遞減。
$sum_{n=1}^{+infty}{frac{1}{n^{1+varepsilon } } } geq int_{1}^{+infty}frac{1}{n^{1+varepsilon }}geq sum_{n=2}^{+infty}{frac{1}{n^{1+varepsilon } } }$
（積分變數加上好醜啊……就不加了。）

代數證明很簡單我就不說了，實際上，
1/n^（1+p），p只要比零大一點點都會收斂
這大概是上帝的意思

你們這些科奴，調和級數收斂—三江

感覺是因為對數函數在無窮遠處是趨於無窮的，而負指數冪函數在無窮遠是有界的吧。

個人覺得，是因為按照人為的規定他才收斂的，如果說有陰莖的人定義為女的，那麼世界法則會重新改變，這個道理也是一模一樣

$displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac{1}{n}}=lim_{n ightarrowinfty}{n}=infty. displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac{1}{n^{2}}}=lim_{n ightarrowinfty}{n^{-1}}=0$

原理：微積分定理。把N看做連續的實數x，求積分。

一般地，如果數列$a_n$的和s_n發散，那麼數列a_n /s_n$的和發散，並且$a_n/s_n^2$的和收斂。
謝胡大佬提醒

考慮函數 $1/x^p$ ，
當 $p=0$ 的時候，這個函數的圖像是一個水平線，與x軸永遠保持1的距離。
但只要 $p>0$ ，哪怕只比0多了一點點點，但只要有這麼一點點，在 $x ightarrow infty$ 時就會有 $1/x^p ightarrow0$ 。

大概和題主問的問題是一個意思。