怎樣理解概率空間這個概念和概率空間的三要素（Ω，F，P）？

12-19

假設你是全知全能的上帝。你決定要創造一個隨機的世界。

第一天，你創造了一個靜態的世界。
你對你今天的工作很滿意。

第二天，你決定增加一些隨機的「事件」來為你的世界增加隨機性。
隨機的事件包括：某人扔一枚硬幣結果是正面還是反面；你隨機從天上扔下去一張餡餅，餡餅落到了哪裡……等等。
你描繪出了這個世界所有可能出現的結果。
你用一個隨機種子 $omega$ 唯一地表示世界的某一種確定的可能，也就是每一個隨機事件的結果都可以由 $omega$ 確定。
這個「隨機種子」 $omega$ 通常被稱為樣本。
你把所有"種子"的集合稱為樣本空間 $Omega$ 。
你對你今天的工作感到很滿意。

第三天，你決定對所謂的隨機事件給出嚴格的定義。
你把一個事件描述為「要麼發生，要麼不發生的一件事」。
你把事件本身定義為所有令事件發生的隨機種子的集合。
這樣一來，「事件」這個概念既有明確的物理意義，又有嚴格的數學定義並可以參與運算。
你對你今天的工作感到非常滿意。

第四天，你發現事件其實應該是可以比較的。
例如「連續扔10枚硬幣都是正面」這個事件明顯比「連續扔10枚硬幣至少有一次反面」更難發生。
均勻地從天上扔下一張餡餅扔到中國的可能明顯大於扔到日本的可能。
你決定給每個事件分配一個「概率」，用 $P$ 表示。
你希望這個概率滿足一定的性質，並且可以參與運算。
你規定全集的概率是1。
你規定所有事件的概率必須非負且不大於一。
你規定可列個互斥事件的並的概率等於這些事件概率的和。
如此這般，你給出了非常優美的概率的定義並且可以推導出很多漂亮的結論。
你對你的定義非常滿意，在組會上present了你的idea。
你的老闆聽完搖了搖頭說：
「這裡還是有問題的。
如果你承認選擇公理，那麼如果樣本空間是像實數集這樣的不可數集，你不可能對每一個樣本空間的子集定義概率並滿足你的性質。」
你聽了老闆給出的證明，大呼一聲：
「我艹，這不坑爹呢么」
你今天感到很鬱悶，擼了一盤睡覺去了。

第五天，你苦思冥想一天，不得要領。
你很抑鬱，擼了一盤睡覺去了。

第六天，你仍然沒有實質性進展。
你對你的碌碌無為感到羞恥，擼了一盤睡覺去了。

第七天，paper的deadline要到了。
你決定對事件給出嚴格的限制。
你定義了一個樣本空間子集的集合的一個子集為事件的集合。
亦即，你認為只有你認為是事件的事件才是事件，你認為那些你認為不是事件的事件不是事件，因為你是上帝。
你把所有你認為是事件的事件的集合用 $mathcal{F}$ 來表示。
你認為 $mathcal{F}$ 應當滿足如下性質：
1.樣本空間這個集合本身(全集)是一個事件(這是一個必然會發生的事件)；
2.如果一個集合是事件，那麼它關於樣本空間的補集是事件(表示「一個事件不發生」的事件)；
3.可列個事件的並也是事件。
在新的框架下，一切又恢復正常了。
你對你的修補感到很滿意。

你在小學數學課上做拋硬幣實驗，心中早知正反各半卻仍露出一副天真的笑臉的時候，你便以為你已經知道什麼是概率了。而我情願你先忘記它，下面所講的概率——你將它稱為別的什麼也沒有關係——或許只是與你心中的概率有幾分相似而已。

1. 我們要有一個集合Ω，它是所有可能結果的集合。

2. $mathcal{F}$ 是一些Ω的子集構成的集合。 $mathcal{F}$ 中的元素稱為事件。

3. 我們將在 $mathcal{F}$ 上定義一個函數 $mathbb{P}$ —— $mathbb{P}$ 是一個集合的函數，它的自變數是集合——稱為概率。

這裡的 $mathcal{F}$ 與 $mathbb{P}$ 需要滿足一些數學條件（寫在你的數學書上）

你一定不要馬上去看那些條件，你先開始想，你想一想在你先前的概率概念中有沒有上述三者存在：結果，事件，事件的概率。你能不能分別它們。我假設你已經做到了。

然後你別再想下去，你聽我說。

這講出了數學眼中的概率是什麼——是的，它只是這樣一個函數——那些可能性、沒有規律的隨機之類的說法都是你先前的念頭，是你的，與我無關。

它大概說了這樣一件事：

一個隨機事件有許多可能的結果，數學君給一些代表某些結果發生的事件每一個定上一個數。
然後這個數就是概率。

有人會覺得很奇怪，似乎少了點什麼，然後問一些諸如這和自然中的「概率」有什麼關係——連帶那些關於可能性、沒有規律的隨機是什麼之類的問題——回答是這樣的：

自然中的概率是什麼，數學君不知道。但是數學君定這個東西的時候定的很有規律的，於是物理君說「是的是的，就是這樣。」你說的都是數學以外的問題，你去問物理君吧：）

一個使自己接受這樣一個奇怪的定義的辦法是意識到自己之前的概念同樣奇怪。事實上，拋一枚硬幣正反概率各半這樣的觀念在古人看來是不可理解的。用一個數來描述甚至度量不確定的結果是人類不平凡的嘗試——所以你今天看它像日出日落一般稀鬆平常的時候，不要忘記五百年前的賭徒迷惑的眼神。

在回答另一個問題的時候想到了會不會有人探討概率空間三要素的理解，一搜果然有，就過來回答一下~

前面好多回答已經答的很棒了，尤其是包含貝特朗悖論的回答著重強調了定義樣本空間的重要性，很有啟發。我就是算作打個小工吧，補充一下下具體的嚴格定義以及我對其儘可能細緻的解讀~

其實在概率空間三要素中( $Omega$ , $mathcal{F}$ , $P$ ) $mathcal{F}$ （必須是 $sigma$ －field）是最脫離與人的既有認識的一個概念，所以最難理解。要理解這三要素，這三者的定義是最最最重要的，我盡我所能說到最準確（說實話我其實覺得英語的定義更好看些，中文有好幾種翻譯，並且會讓人誤解）：

$Omega$ －Sample space 樣本空間，試驗中所有可能結果的集合。（註：每個結果需要互斥，所有可能結果必須被窮舉）
$mathcal{F}$ －Set of events 事件集合，是 $Omega$ 的一些子集構成的集合，並且它需要滿足以下三點特性（也就是必須是 $sigma$ －field）：

$Phi in mathcal{F}$ （也就是必須包含不可能事件）
如果 $Ein mathcal{F}$ , $E^cin mathcal{F}$ 。
如果 $E_1,E_2,...,E_i inmathcal{F}$ ,那麼 $U_{i=1}^{infty }E_iinmathcal{F}$ （似乎我記得有翻譯成可列可加和
PS：這裡注意哦，這個集合的每個元素也是集合哦，舉個例子你描述一個理想骰子的事件集合直接寫1，2，3，4 是不對的，應該是{1},{2},{3},{4}等。你很可能覺得1，2，3，4這麼寫雖然感覺無足輕重，但是你這種隨便寫寫本質上表明了對概率空間認識的不準確。（我好像上綱上線了呢 ???????）

$mathcal{P}$ －Probability measure 概率測度（或概率），描述一次隨機試驗中被包含在 $mathcal{F}$ 中的所有事件的可能性。並且它「碰巧」也需要滿足三點特性：

$0leq P(E)leq 1$ （實際限制了總測度為1）
$P(Omega)=1$ （包含樣本空間並且概率為1）
如果 $E_1,E_2,...,E_i$ 是互斥事件,那麼 $P(U_{i=1}^{infty }E_i)=sum_{i=1}^{infty}{E_i}$

你發現了沒有, $mathcal{F}$ 與 $mathcal{P}$ 雖然有一點點不同，但整體上幾乎就是對應的～

$mathcal{P}: mathcal{F} ightarrow R$ 也就是我們習慣意義上的概率似乎是定義在 $Omega$ 上的，然而概率裡面的 $mathcal{P}$ 定義卻是在 $mathcal{F}$ 上的函數。這點非常重要！
$mathcal{F}$ 的第1. 與2.點可以推出 $phi^c=Omega in mathcal{F}$ ，發現了不，它和 $mathcal{P}$ 的第2. 點對應。
$mathcal{F}$ 的第3. 點和 $mathcal{P}$ 的第三點對應
$mathcal{P}$ 相對於 $mathcal{F}$ 就是就多了個限制－「總測度為1」，其它幾乎一一對應，其實你非要定義個2也行，但是數學家已經這麼定了哦～～

你可能會覺得 $mathcal{F}$ 有啥用呢，我咋平時做題從來沒管過他呢？實際上你在不知不覺中就這麼用了，知識有的時候用的「太過自然」，以至於忘了最初的夢想！不對。。。是最初的嚴格限制。

舉個極簡單的例子，比如如果一輛車在0點到1點的任何時間都可以到達，這個時候 $Omega$ 有無窮多個，並且還他喵的「不可數」，然後你就會發現你沒有辦法對任何一個「結果」 $omega$ 進行概率的分配。這個時候不關你咋想的，甚至你做題都會自然的寫出來的概率表達式其實建立在如下的一個 $mathcal{F}$ 和對應的 $mathcal{P}$ 上。

對於任意的 $[x_1,x_2] (0le x_1le x_2le1),P([x_1,x_2])=x_2-x_1$ 。

來來來，總結總結剛才討論的：

我們現代的概率與經典概率不同，我們的概率是定義在一群符合某些條件的「事件」上的。而經典概率是定義在不同「結果」上的。
概率空間中的 $mathcal{P}$ 是定義在 $mathcal{F}$ 上的函數。 $mathcal{F}$ 與 $mathcal{P}$ 各個性質幾乎完全相對應，其實構建 $mathcal{F}$ 實際上是為了讓我們得到一個自洽的體系。因為面對某些「不可數」的概率空間，經典概率理論可以說是懵圈了~~?o??o?

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謝謝看完這麼多字，相信你可能會有一定收穫的，也歡迎探討~

最直觀的講 Ω包含概率空間最小不可分的獨立事件，F定義事件可能的相互組合，P給定F中組合發生的可能性大小

舉個例子
Ω中有兩個事件{a,b}
F可以為{空集,{a,b}} 兩著要麼同時發生要麼同時不發生也可以為{空集,{a},{b},{a,b}} 兩者可以同時發生可以同時不發生也可以恰有一個發生。這裡的事件組合，需要滿足代數定義。
如果理解F沒有障礙，那麼P就是把F中的元素{空集,{a,b}}分別映射為兩個和為1不小於0的實數。該實數成為概率，大小反應事件發生可能性的大小。對於 {空集,{a},{b},{a,b}} 映射的四個實數分別就似乎兩件事均不發生的概率恰只發生a的概率恰只發生b的概率 ab同時發生的概率。古典概率模型中，事件a的概率即是指，假定試驗可以重複n次，n接近無窮時，恰有p(a)*n次試驗發生了事件a。

謝邀。很抱歉我不是統計方向的，本科之後對它的唯一接觸就是給工科學生上過一學期概率統計課，所以只能講一點點外行的粗淺認識。希望概率或統計方向的大神莫要見笑。

古典概率起源於對隨機事件的「觀察」。雖然隨機事件在單次試驗中的結果是偶然的，但在大量試驗中表現出的頻率穩定性卻呈現出必然性。換句話說，一個隨機事件出現的頻率往往在某個固定的數值附近擺動。於是，古人把這個頻率稱作」統計概率「，而把頻率的穩定值稱作概率。

注意在這個「概率」的初等定義中，並沒有對「隨機」、「事件」等術語做出嚴格的數學描述（而只停留在直觀的層面上）。在概率論的發展史上，這導致了許多難以解釋的矛盾。

首先是貝特朗奇論（Bertrand』s paradox），可參考：http://www.charlesgao.com/?p=130
事實上，該問題的三種答案針對的是三種不同的隨機試驗。對於各自的隨機試驗而言，它們都是正確的。因此，我們在使用「隨機」這個術語時，必須明確指定其含義。這是根據試驗的不同而不同的。

其次是無法定義概率的事件（其本質是「不可測集」）。在定義概率時，我們很自然地希望概率滿足「可加性」。也就是說，如果一些事件是互斥的，那麼「它們之中有一個發生」的概率應該等於其中每個事件發生的概率的和。然而，對於不可數的樣本空間，如果選全部的子集作為事件的話，我們總會遇到一些子集，無論怎樣為他們定義概率，都不滿足「可加性」。可參考維基百科裡的這個著名的反例（見下面鏈接里的「假設小明和小華玩一個遊戲……」的那一段）：
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/事件_(概率論)
因此，「事件」也不能隨意指定。對於不可數的樣本空間來說，如果把它的一切子集都作為事件，我們會在定義概率時遇到很大的困難（主要由「不可測集」導致）。
但另一方面，我們又必須把實際問題中感興趣的事件都包括進來。至少，我們應該保證能在這些事件中作基本的交、並、逆等運算。設F是樣本空間Ω的一些子集構成的集族，如果它包含全集和空集，且對子集的可數交、可數並和取補運算都封閉，我們就稱F為一個事件域。F中的元素稱為事件，Ω稱為必然事件，空集稱為不可能事件。

於是，為了解決概率的古典定義所導致的種種問題，前蘇聯數學家Kolmogorov在1933年提出了概率論公理化結構。概率的公理化定義並不明確指出「概率是什麼」（具體的概率定義留給不同的隨機試驗中具體指定），而只指明概率應該具有的基本性質。

具體地說，概率的公理化定義指定了一個三元組（Ω，F，P），稱為一個概率空間。其中Ω是樣本空間，F是事件域，P是定義域為F、值域為[0,1]的一個集合函數，滿足非負性、規範性、可列可加性三個條件。可參考：
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/概率#.E5.85.AC.E7.90.86.E5.8C.96.E5.AE.9A.E4.B9.89
直觀理解，樣本空間Ω是試驗前已經預知的一切可能結果的取值範圍，事件域F規定了哪些Ω的子集能夠稱作「事件」（從而避免產生不可測集導致的悖論，實際應用中經常採用的事件域是Borel點集），滿足三條概率公理的集合函數P指定了每個事件對應的概率。

其實概率是一種測度，測度這個概念最直觀的就是二維歐式空間中的「面積」，三維歐式空間中的「體積」。所以概率空間滿足測度的定義，所以是一種特殊的測度空間，而測度空間有一個最關鍵的性質就是可列可加性，也就是有無限但可數個元素求和，滿足加法放在測度符號內外等價，這也是概率空間的最重要的基本性質。

所以如果你想從本質上了解概率空間及其三要素的話推薦先去找一本實變函數的書看一下跟測度的引入有關的章節，並與概率空間加以比較。

Ω是隨機試驗 E 的所有可能結果組成的集合，也就是樣本空間。 Ω是一個集合，F 是Ω的某些子集構成的集合類，(Ω, F )為可測空間， F中的元素稱為事件，P(.)是定義在(Ω, F )上的實值函數，稱P為F上的概率測度，也就是概率。稱(Ω, F ，P )為概率空間。

概率論由賭博發展而來，所以用開桌賭錢的比喻來講會比較直觀。

Ω 主要討論的是用什麼賭具，也就是賭桌上最根本的隨機性來自於什麼。如果用骰子的話Ω 就是骰子的六面，如果用撲克牌的話那就是52張牌，用手的話就是各種手勢……
F 討論的是賭法，也就是骰子的玩法或者撲克的打法。你是賭大小？賭誰能抓到同花順？還是玩剪刀石頭布？F 集合就是收錄這些玩法組合用的，它直接構建在 Ω 上面。也就是說賭法 F 是賭具 Ω 的派生物。這個應該不難理解。
P 講的是勝算，或者概率、賠率、度量……等等一個意思。 P 集合是個高級貨，它用一個 0-1之間的數來表示賭法 F 中每種組合的勝算。這個概念其實是幫助賭博下注的，因為有了數字的度量就能比較大小，概率大的容易贏。

這三個概念綜合起來就構成了上賭桌的全部要素，每個集合都商量清楚才能文明娛樂。

思考題：如果用人的手當賭具，玩法是剪刀石頭布，那麼如果有個人比出中指的話怎麼辦？

正確答案：掀桌子。

講解：掀桌子不是因為比出中指姿勢不雅，而是因為這個手勢沒有包含在F當中（既不是剪刀，也不是石頭，也不是布），所以也沒辦法計算P概率。因此，這個比出中指的人實際上破壞了概率空間的定義，等於是來砸場子的。

第一個字母：集合
第二個字母：可測集
第三個字母：測度

實變函數教做人

首先要明白，數學的定義是為了解決問題而生的（按我現在的理解是這樣的）。
其次要明白，數學是個嚴謹的學科，每個名稱都有嚴謹的定義。
好，我們開始。

STEP1 問題是什麼？問題是，我們經常說「這件事的概率（更通俗的說法是可能性）是多少？」。對於古典概率，好像一切都那麼自然。但是，有時候，我們碰到這樣一個問題：

記集合Sq為」0到1之間所有的有理數「={q1,q2,q3,...}，記事件Ai為」從中隨機選一個數，選出的數為qi，i=1,2,3...」。問題來了，Ai的概率P(Ai)是多少？

由於「隨機」選，所以P(A1)=P(A2)=P(A3)=...
那麼，答案是0么？
如果P(Ai)=0，記事件A為」從中隨機選一個數，選出的數為q1，q2，q3...中的一個」。那麼P(A)=P( $cup Ai$ ,i=1,2,3...)=（有人思考過這個等號為什麼要成立么？） $Sigma P(Ai)$ ,i=1,2,3...=0+0+0...=0。但是另一方面P(A)=1，矛盾。
同樣，如果P(Ai)&>0，很容易推出P(A)&>1，也矛盾。

為了解決這個問題，我們必須嚴謹的定義概率和概率的對象（事件）。

STEP2 需要定義的名詞有2個，」概率「和」事件「（數學好變態，事件也需要定義），先定義哪個呢？

我們一開始的問題就是想知道一件事的可能性，所以先定義對我們有用的概率。
由於對於一件事，我們希望都有且只有一個對應的概率，概率又是一個實數。所以，（我們想要的）概率是一個函數，記為P（自變數是事件）。
很容易的，（我們想要的）概率這個函數必須滿足下列3條性質（不滿足這3條的概率違背常識，對我們實際生活沒啥用，被我們拋棄了），下圖是截了中文wiki 概率論的頁面：

除了紅框中的部分，別的都好理解。著重解釋一下。
紅框中的部分，叫可數可加性，又叫 $sigma$ 可加性，寫出來長這樣，繼續截圖測度：

這裡面首先涉及到一個名詞「可數」。什麼叫「可數個」，「可數個」包括「有限個和可列無窮個」，前面的「有限個」好理解，什麼又是「可列無窮」呢？顧名思義，就是類似上面的可以寫成「q1,q2,q3,...」，或者「E1,E2,E3...」這樣雖然是無窮個，但是可以（按照某一規則，這6個字很重要）列出來。

所有自然數是可列無窮個。按從小到大的順序寫成1，2，3...），
所有有理數是可列無窮個。這個稍微複雜一點，

先考慮所有的正有理數，都可以寫成p/q，p和q為互質的自然數的形式，
所以所有的正有理數可以寫成（1；2，1/2；3，1/3，2/3；4，1/4，3/4；5，1/5，2/5，3/5，4/5....），具體規則是每個自然數N對應的序列為（N，1/N，2/N，..(N-1)/N)，如果其中有和前面重複的則去掉。
記所有的正有理數為p1,p2,p3...，則所有的有理數可以寫成0,p1,-p1,p2,-p2,p3,-p3...的序列。

所有的實數，額，不是可列無窮，證明看這裡對角論證法。注意，不是可列無窮的集合不能寫成類似「q1,q2,q3...」的樣子哦，大家不要亂用省略號。記集合Sr為」0到1之間所有的實數「={r1,r2,r3,...}，這種寫法是錯的。

明白了什麼叫「可數」，「可數可加性」也就很好理解了。回過頭來，（我們想要的）概率為什麼要滿足這個性質呢？也就是，前面黑體字提到的，那個等號為什麼要成立呢？

先保存下。一會繼續編輯。

這是屬於測度論的部分，概率是一個特殊的有界測度。

其實就是定義在σ-代數F上的一個映射P(滿足特殊性質)，Ω是為了定義F而出現的。

學過實分析自然就懂了，要沒學過跟你講半天，還是暈的

說個我自己的理解。
$Omega$ 是universal的，包含整個宇宙未來的所有可能的集合，包含了硬幣落地的朝向，賭船的結果，英超的比分，巴拿馬運河的水位，股票的價格，下一屆政協的名單，星體的位置。一切一切的可能，都在這個 $Omega$ 裡面，在這樣的邏輯對於所有的概率空間下 $Omega$ 都是一樣的。

簡單的說，概率空間裡面包括以下幾個內容
1:你要研究的所有事件
2:你所要研究的所有事的概率
3:你所要研究的事件之間的關係