圓是特殊的橢圓嗎？

12-09

按照圓錐曲線，橢圓上的點到定點的距離，與到定直線的距離是個小於1的定值，而對於圓，不存在這樣的直線，所以不能這麼定義，所以圓不是橢圓。

但是，橢圓是到兩個點距離和為定值，
圓也能這麼定義（只不過是兩個重合的點），
從這個角度圓是特殊的橢圓。

橢圓的面積是pi*a*b
圓的面積的pi*a*a
從這個角度圓是特殊的橢圓，

問題來了：為啥會出現這麼不協調的情況？
我覺得圓要麼是橢圓，要麼不是橢圓。
如何協調上面的矛盾呢？
我覺得好的數學應該是美的！

圓是不是特殊的橢圓，取決於我們如何去定義橢圓。在排除圓的前提下，用到兩焦點距離之和為定值和到焦點距離和準線距離之比為定值兩種方式定義橢圓是等價的。但第二種定義方式涉及準線，不能容納圓的情況。如果從幾何的角度去考慮，那麼兩種定義方式就可以協調統一地存在。

圓錐曲線，顧名思義，和圓錐是有關係的。用平面截圓錐面所得到的曲線就是圓錐曲線。而平面的傾斜度不同，得到的曲線也不同。具體來說：

1、平面垂直於圓錐的高，即 $eta=90,^circ$ 時，截線為圓。
2、平面稍有傾斜，但不超過圓錐的母線，即 $alpha<eta<90,^circ$ 時，截線為橢圓。
3、平面與某一條母線平行，即 $eta=alpha$ 時，截線為拋物線。
4、平面傾斜超過母線，直到與圓錐的對稱軸平行，即 $0le eta<alpha$ 時，截線為雙曲線。

我們暫且稱這種定義方式為圓錐定義法（我自己起的名，僅適用於本題）。在這種定義方式下，圓是圓錐曲線的一種，而且就是橢圓在 $eta ightarrow 90 ,^circ$ 的極限情況。

但圓錐定義法必須依賴與立體圖形，而對於平面曲線的研究，這顯然是非常麻煩的，這就促使我們尋找平面內的等價的定義方式。很明顯，平面把圓錐切割成了兩部分。對於包含頂點的部分，我們作它的內切球，該球與平面的切點就是圓錐曲線的焦點。這個球還與圓錐曲線相切於一個圓，這個圓所在的平面，與切割圓錐的平面，如果不平行，則相交於一條直線，這條直線就是圓錐曲線的準線。

藉助這個內切球，我們可以用純幾何的方法證明，圓錐曲線上任一點到焦點和準線的距離之比為定值，該比值即為圓錐曲線的離心率。反之，給定某條曲線，如果存在一個定點和一條定直線，使得該曲線上的點到定點和定直線的距離之比為定值，則存在一個圓錐和一個平面，使得原曲線為該圓錐與該平面的交線。也就是說在準線存在的情況下，我們找到了一種和圓錐定義法等價的方式去定義圓錐曲線。我們稱這種方法為準線焦點定義法。但準線的存在就要求截面不能與圓錐的高線垂直，即 $eta e 90 , ^circ$ ，因此準線焦點定義法定義的圓錐曲線並不包含圓。而在橢圓趨於圓，也就是 $eta ightarrow 90 ,^circ$ 的時候，準線也趨於無窮遠。

我們再來考慮圓錐的另一部分，也就是不包含圓錐頂點的部分。對於圓和橢圓的情況，因為曲線是有界的，因此另外半個圓椎也是「完整的"，我們可以在這部分裡面也做一個內切球，該球與平面相交於另一個焦點。橢圓的情況下，兩個交點不同，而圓的情況下二者重合。我們同樣可以通過幾何方式證明，橢圓或圓上任一點到兩個焦點的距離之和為定值。反之滿足這樣性質的曲線也必然是圓或者橢圓。而對於雙曲線，不包含圓錐頂點的部分不存在內切球，但由於平面會和極對稱的另一個圓錐相交，我們還是可以用類似的輔助內切球得到另一個焦點，並證明雙曲線上任一點到兩焦點距離之差為定值。反之滿足這樣性質的曲線也必然是雙曲線。這樣一來，在存在兩個內切球的前提下，我們又找到了一種等價的定義方式，我們將其稱為雙焦點定義法。而拋物線只與一個圓錐相交，且這個圓錐的兩部分中只有一個部分存在內切球，因此拋物線不能用雙焦點定義法定義。

以上講了三種圓錐曲線的定義方法，它們的區別如下：

1、圓錐定義法是圓錐曲線最本質的定義方法，根據截面傾斜程度不同，截線可以是圓、橢圓、拋物線、雙曲線四種之一。
2、當截面不垂直於圓錐的對稱軸時，即截線不為圓時，圓錐定義法等價於焦點準線定義法。焦點準線定義法不能涵蓋圓。
3、當截面不與任意一條圓錐母線平行時，即截線不為拋物線時，圓錐定義法等價於雙焦點定義法。雙焦點定義法不能涵蓋拋物線。

我們再回到原本的問題，圓到底是不是特殊的橢圓，為什麼橢圓有些性質適用於圓，有些性質不適用於圓。

根據圓錐定義法，如果平面傾角趨於零，那麼橢圓的形狀趨於圓，橢圓的兩個焦點趨於重合，橢圓的準線趨於無窮遠，橢圓的離心率趨於零。如果研究的問題只與焦點有關，或者某種性質在 $eta=90,^circ$ 處是連續的（比如面積），那麼把圓當作特殊的橢圓並沒有什麼問題，橢圓的這些性質也可以適用於圓。但如果研究的問題和準線有關，那麼圓就不能當作特殊的橢圓來看待，橢圓的一些性質也就不適用於圓。

所以嚴格來說，圓並不是特殊的橢圓，因為圓沒有準線這個概念。但我覺得不應該過分糾結這個問題，對於一些問題的研究，把圓當成特殊的橢圓，也可以帶來很多方便，應該視情況而定。

相關回答：https://www.zhihu.com/question/54158310/answer/138290587

參考資料：

1、Conic section
2、Wikipedia 圓錐曲線
3、冰淇淋定理_百度百科
4、圓錐曲線_百度百科

圓的準線在無窮遠處，離心率為0。它是橢圓的極限情況，既然是極限情況，那麼有很多性質和橢圓不一樣也不奇怪，同時又很多性質和橢圓一樣也不奇怪。至於是不是橢圓，定義為不是的比較多。

因為美女也是女的(圓是特殊的橢圓，橢圓有的性質圓幾乎都有)
美女還會少很多普通女性所煩惱的問題(圓還有很多橢圓沒有的性質)

同意 @lixin liu的答案，現代數學中所給出的概念和定義，隱去了很多故事和歷史，因為這些概念和定義的來龍去脈確實過於曲折和複雜了。真要講起來，一時半會還真講不完。例如下面這幾個帖子中所說的故事。
第一個故事雖然與英語有關，但主要涉及到的是圓錐曲線的歷史。
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最後貼一個通過伸縮變換引入橢圓方程的圖片，這樣就把圓和橢圓聯繫在一起了。國內和國外很多教材都在提這種方式了。從這個層面講，圓和橢圓也是可以算作一類吧。但是真正的數學歷史並非是這樣走過來的。

如果考慮單純從性質層次來考慮的話，因為代數公式的關係，會出現一個反直覺的地方，即如果我們一般化公式中的ab以後[（a,b）數對取消a=b的條件，在這個層次上可以說圓是特殊的橢圓]，圖形的代數性質其實在增加，而不是減少。
如果我們認為橢圓是一些圖形性質的集合T，而圓是另一些圖形性質的集合R。
那麼命題：「圓是特殊的橢圓」意味著——
當 $asubseteq T$ 時， $asubseteq R$ ，等價於 $Tsubseteq R$ ，其中a是擁有的一些幾何性質的圖形（不一定是圓也不一定是橢圓）。
由圓和橢圓的性質可知 $Tcap R != T$ ，所以 $Tsubseteq R$ 不成立。
因此，圓是特殊的橢圓是一個假命題。
那麼 $Tcap R$ 是什麼呢？
在考慮極限的情況下：
$T-(Tcap R)$ 是與準線相關的性質。
讓我們換一個角度來思考。
令 $Q=Tcap R$ 。
顯然 $Qcap R=Q$ 成立。
等價於 $Qsubseteq R$ 。實際上，如果還有 $Rsubseteq Q$ 成立（懶得證了，直覺上應該是的，如果不是，當我什麼都沒有說過），
可以得到Q=R。
因此圓是一個一般化的橢圓，換句話說，橢圓是特殊的圓。

你研究橢圓得有射影平面吧……
有射影平面沒有無窮遠直線？
如果你能把無窮遠連起來看整個圓錐曲線都會順很多……

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