如何看待關於 1 與 0.9999… 的大小的爭論？
1770年歐拉曾經在《代數的要素》中證明過10＝9.9999??，後來也有巴圖和謝波特在《實分析引論中》用閉區間套進行過證明，也有人用戴維金分割證明過1與0.99999??分割一樣，但是如何看待這些證明，與其大小的爭論？ps：本人覺得0.99999??更像是一個不斷增加的過程量，而之前的證明多是當做了一個具體數。
謝邀。
這種日經問題實在是不想答，最近果殼網居然也發了篇文章講這個。。真不明白有什麼好講的，我從小學起就覺得這個是自然成立的啊。。
要談證明，首先要有論域。如果我們是在標準實分析框架內討論問題的話，我們首先要給0.999...一個合理的定義。定義在數學裡面是一件無比重要的事情，一篇10頁的數學論文裡面，把所有的定義放在一起有時候能寫滿一頁。比如我們可以定義成0.9,0.99,0.999,..這個數列的收斂極限，或者這個級數的和。In either case，顯然都是等於1的。
關於 1 與 0.9999... 的大小的爭論其實是沒有必要的，因為相同大小的數字允許有不同的表示方法。
類似的問題下，很多回答都指出通過定義和極限可以證明 1 與 0.9999 是相等的。不過，印象中還有一個更加直白和簡單的方法，可以說明為什麼這兩個數字沒有大小之分。即使是沒有什麼數學基礎的人也應該不會有理解上的困難：
如果令 x=0.9999...，那麼 10x 就是 9.9999...。現在，用 10x 減去 x，可以得到 9x=9，那麼 x 就等於 1。然而，我們先前設定的卻是 x=0.9999...，這說明了 0.9999... 確實是等於 1 的。
需要注意的是，這並不是一個錯誤或者悖論，只是同一個大小的數字有不同的寫法而已。類似地，0.949999... 與 0.95 也是相等的。只要接受了這一點就好，沒有什麼可爭論的。
可以參考一下其它更為嚴密的說明方法：知乎問題：怎樣證明0.9循環（0.999999...） = 1？ - 數學
理解不了這個問題的人基本告別了高中以上的數學。多學習，多思考，題主明顯就沒理解什麼叫數。
百度貼吧既視感，多讀書，少上網。
問題本身已經被討論爛了，我實在沒有什麼補充的了。如果非要說，那就是希望每一個好奇的人慢慢去學習，具備一定的知識之後你就會覺得，這不是自然的嗎？
我想借這個問題解釋下為何很多數學人沒有耐心回答這類問題，而總是像我一樣擺出一副「看書去」，「想得太多讀書太少」這樣的態度。這種態度見諸各種數學問題之下，尤以此類日經問題和另一類數學與玄學結合的問題之下為多。
原因在於，對於數學問題來說，系統地領悟知識、看書按部就班認知是最有效率的學習方法。數學問題的幾個特點——嚴格性、知識階梯性——決定了大家很難在網上通過幾段話通俗而不失嚴謹地給你解釋清楚。而且即便能解釋清楚，也是把我們當年學的與問題有關的事情又組織了一遍。與其這樣，還不如扔一兩本參考書：如果真的感興趣的會去一點點看書搞懂，不需要別人費口舌。不是迷信課本，只是說已經出版的書總比我們隨性寫一些東西嚴謹得多、有條理得多。
我們當然要鼓勵大家去思考，哪怕囿於所知思考得並不成熟，這時勇於提問當然是值得肯定的。然而提問之後其他人並沒有理由把所有相關信息擺在你面前。別人告訴你，這個問題學基本的微積分或者其他什麼問題學基本的概率論就很容易理解，這已經是對提問者很大的幫助了。
後面幾段不是針對本題提問者的，而是最近太多玄乎的數學問題搞得我不吐不快了～摺疊吧本質上是「實無窮」和「潛無窮」的爭論……當然這個沒有對錯，只有選擇。實無窮比較反直覺（想想那些有關無窮的結論就知道了），但又比較實用（比如建立微積分啥的），所以保留了下來。當承認實無窮時，等式是成立的；反之，也可以不成立（就像樓主ps里說的，是個無限的過程）。
推薦應行仁老師的這篇：科學網—重修微積分1——無窮及相關文章~
寫法不同而已。。。有什麼好討論的。。。
首先啊，你先定義一下什麼是等於
我個人認為基本可以寫成，
任意ε＞0，|A-B|＜ε，則A=B
手機答。我來換個方式說明：首先定義兩個數相等：如果在數軸上，兩個數在之間無法插入其他數，那麼我們就認為這兩個數是相等的。
現在我們再看1和0.999…這兩個數，在此二數之間已經不能插入任何數，即沒有一個正數比這兩數的差更小，所以它們是相等的。
1/3=0.333333…，3*1/3=0.999999…=1。這看也看不出花啊。
題主問的是對這種爭論的看法，而不是對問題本身的看法，我認為：
1、在完備的實數理論建立起來之前，當時的數學家們對這種問題的爭論促進了實數理論的完善。
2、現在看來這種爭論只能反映數學基本功不紮實。
不邀自答，強行回答兼胡說一波。如果1不等於0.9999……的話，那麼它們之間的差距是多少呢？心中默念，0.00000……始終看不到1是不是？所以1等於0.9999……啦
假如AB兩個數A&>B
那肯定存在一個數X
使得A&>X&>B
現在你說1&>0.9999..
那你告訴我這個X是多少
不用你表現出來，你能描述出來就行
如果你也找不到這個X
那麼A和B就是相等的
我把我喜歡的一個證明改良了一下：
設
A=0.999999……
B=A * 10 - 9
則
B=A * 10-9
=0.999999…… * 10 - 9
=9.999999…… - 9
=0.999999……
B也是0.999999……，那麼A與B是否相等呢？
若
A = B
則
B=A * 10 - 9=A
A * 10 - A=9
A * 9 = 9
A = 1
也就是
0.999999……= 1
若
A ≠ B
則
0.999999…… ≠ 0.999999……
？？？
0.999999…… ≠ 0.999999……？？？？
也就是說若0.999999…… ≠ 1，那麼我們可以任意構造多個互不相等但是形式上完全相同無法區分的多個0.999999……
不怎麼看。
這些人八成也理解不了更反直覺的波粒二象性和SG實驗。
閉嘴，計算！我覺得提問者的本意肯定不是自己不會證明或不理解證明，而是不理解為什麼，或猜測這是不是數學給人類開的玩笑或其他的什麼。而其他回答者都在裝清高，就好像和提問者說兔子＝公雞，所以100隻公雞＝100隻兔子一樣。
我大學高數老師教我理解的，我特別接受。她說0.99999……後面的9999你要多少有多少，在某種程度上和1是不是就是一樣的呢。你永遠不會用完小數點後面的99999。就像你存了一筆錢在銀行，你有可能不能一下提取出全部，但你可以隨時提取任意金額，不存在擠兌的風險，那你也就不急著要全部提出來，就像你完整擁有所有的錢一樣
這個0.9999…啊，我們有幾年就用級數求和，旁邊一個公式，墜痛苦的就是函數求極值，所以中國有句古話叫，一尺之錘，日取其半，萬世不竭。
知乎的人除了裝還會幹啥？一道題在不同的場景下可能有不同的答案，秀雞毛優越感。你們確定自己真的懂了嗎？背公式說結論誰不會？
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我不懂，我只提供個角度。
如果兩個實數相等，是不是可以說，這兩個實數乘以任意的數的值也相等。
那麼，0.99999....9*10^n - 1*10^n，n趨於無窮大的極限是-1吧。
你們就是利用無窮大無法窮盡這個特徵，裝高深。
說起無法窮盡，兔子還永遠追不上烏龜呢。
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我的結論，數學是工具，不同的應用場景有不同的解釋。你問我0.99999...＝1有沒有問題，我認為沒啥問題，但如果你認為0.99999....就是1，我認為你該吃藥了。
我想從歷史的角度來回答這個問題，
…
…
九九歸一
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