《星際穿越》裡布蘭德教授寫在黑板上的公式是什麼公式？

12-08

讀了一下編劇，著名黑洞物理學家基普.索恩(Kip Thorne)的書，試著解釋一下吧。下文中未特彆強調的圖片，都來自劇照，或索恩的書（Amazon.com: The Science of Interstellar (9780393351378): Kip Thorne, Christopher Nolan: Books），裡面的解釋大多是根據電影需要給出的，未必在物理上成立。

這並非索恩第一次與電影界合作，早在八十年代，著名天文學家、科普界的老前輩卡爾.薩根在創作其名著《接觸》時，曾設想利用黑洞和時空彎曲來進行穿越，但他對技術細節不太有把握，所以向索恩求教。索恩建議薩根改用蟲洞。在傳統的廣義相對論中，蟲洞研究不受重視。但Thorne經過仔細研究發現，在一定的特定條件下蟲洞是可以穩定存在的，只要存在足夠多的負能量奇異物質。之後，蟲洞的研究成為一個重要的科研對象。負能量的物質雖然未必存在，但是量子力學的卡什米爾效應（Casimir Effect,Casimir effect）從效果上看能夠產生低於真空的能量。這可能是有史以來，文學藝術第一次反過來影響科學研究。1995年，小說被改編為同名電影《接觸》（或《超時空接觸》），這次《星際穿越》電影，Thorne的作用更大，很多重要的設定是索恩提出來的，當然導演也有自己一定要堅持的設定，比如末日景象，時間循環，超立方體等等，所以最後的電影，在科學和邏輯上仍有一些漏洞。

在影片中，小女孩的書房裡出現了奇怪的幽靈，書本會莫名其妙地掉到地上；沙塵暴肆虐而過，在地板上形成了二進位的圖案；自動收割機莫名其妙地聚集在房間門口，這一切看似玄幻。在揭秘的過程中，男主角庫伯和女兒居然無意中闖入NASA。到此，謎題才揭開。原來，所有的一切，都是源於重力異常（gravity anomaly，不是量子理論中的gravitational anomaly）：由於一些奇怪的原因，地球上不同地方的重力大小發生了改變。這裡順便提一下自動收割機為什麼也要收到影響：自動收割機要靠GPS系統來定位，由於GPS衛星是運行在高空的，引力不同與地面，時間流逝速度不同於地表，須考慮廣義相對論效應（全球定位系統 (GPS) 是相對論的應用嗎？），如果地面附近出現了引力反常，那麼GPS系統也會紊亂，所以收割機們都跑到他家門了。請注意，重力異常並未影響電磁場，電子線路還是正常工作的，收割機並非是電路收到干擾而受到影響的。

地球的重力是由萬有引力產生的，由於地球的自轉，不同地區的重力加速度數值會略有不同：赤道較小，兩極較大；離地心越遠，地球的重力加速度也越小。此外，地下所含的礦物的密度不同，也會造成重力加速度的變化。如果地下岩層含有鐵礦等密度較大的礦石，那麼地表的重力加速度會略高於普通岩層構成的地表；如果地下岩層含有空洞、地下湖泊或者礦物燃料，那麼地表的重力加速度會略低。所以，測定地表的重力加速度，反過來可以初步猜測地下有哪些礦物。

地球的重力加速度，其中藍色出重力加速度較大，來源：GOCE衛星（地球重力場和海洋環流探測衛星）

重力儀，可用於初步探礦

即使在地球同一地點，在不同時刻，重力場的大小也會隨著時間而變化。這是由於潮汐作用，由於月球繞地球轉動的時間和地球自傳的時間不同步，造成地球表面的岩石和海水受到的引力發生周期性變化，產生重力潮，這就是海水為什麼每天會漲潮兩次的原因。

影片中，當庫伯闖入NASA，聲稱發現重力異常以後，大家都笑了。布蘭德教授這才解開謎底，原來，早在五十年前，他們就已經發現重力異常了。最開始，在一些地下油礦的監測設備中，發現重力場在周期性地發生變化，很像潮汐。但是，研究人員仔細分析了所有可能的重力異常起源後，都無法解釋。在排除掉所有其他可能性後，加上在土星附近觀測到的蟲洞，布蘭德教授猜測到，很可能是由於我們的宇宙結構導致了重力異常。

在現代物理學中，對物質結構和相互作用最透徹的理論是超弦理論，這一理論認為，物質是由非常小的振動的弦構成的，弦的不同振動方式，產生出不同的微觀粒子。超弦理論有希望能將傳統的廣義相對論和量子場論協調起來，所以大家對這一理論抱有著很強的信心。超弦理論中，時空是10維的，其中空間有九維，時間有一維；在這一理論中，不僅存在一維的弦，還存在從-1維到9維的所有客體，一般稱為膜（brane）。

超弦是十維，而現實世界是四維的(為什麼空間是三維？ - 物理學)，為了與這一明顯的觀測事實相協調，通常認為，其他六維空間是高度捲曲的，通常認為這些捲曲的空間具有一些特定的數學結構（Calabi-Yau），來產生我們所想要的四維模型。這種做法，給很多物理學家以啟發，紛紛構造出很多不那麼精緻的高維時空模型出來，其中最著名的可能是1999年的Randall-Sundrum模型。這一理論認為，時空是5維的，一維時間，再加上四維空間。我們生活在5維時空的一個1+3維超空間上，一個特殊的膜。物質在這個1+3維膜上，物質之間的電磁力，強核力，弱核力都只在膜上傳播，不會進入第五維，而引力在所有維空間中傳播，所以引力相對其他力很微弱；由於電磁力只存在於膜上，無法進入高維空間，所以影片中自動收割機的電路系統沒有發生故障，不受影響。RS模型最初就是為了解釋引力為何比其他作用力小很多而提出來的。很快，物理學家們發現，從超弦理論出發，對高維空間的某些維數進行壓縮，能夠得到RS模型。

不過，RS模型中，由於現在時空結構有所變化，萬有引力的表現形式有所不同了。為了讓我們熟悉的萬有引力與距離平方呈反比這一實驗結果還能以很高的精度成立，這就需要對時空結構和膜的特徵採取一些限制，在不同的模型中有不同的方案，下圖就給出了幾個例子：
（源自綜述文章http://arxiv.org/abs/1105.2997， http://arxiv.org/abs/1004.3962）

影片對時空的具體設定是，在我們的膜世界兩側各放置一個的AdS膜，這類似於上面第二種方案。索恩選擇這樣的模型，是為了能夠實現影片所需要的快速時空穿越。根據AdS時空的特性，只要稍微飛離我們所處的膜，我們在時空中行為就會非常古怪：如果你和朋友（相距1000m）同時垂直離開我們所處的膜，進入第五維，你們之間的距離會指數減小，如圖所示。如果你在我們的膜之外走到你朋友那裡，沿著你的朋友的來路回去，那麼你可以在很短的時間內跨越很大的距離（1000m），因為在你自己看來，你只走了0.3mm+1m+0.3mm。這其實就是一個蟲洞了。製作蟲洞是很麻煩的，如前文所說，一般需負質量的奇異物質才行，並且這樣的蟲洞也不穩定。

索恩設定，我們的膜和AdS伴隨膜之間的距離為1.5cm，這樣一來，我們沿著第五維方向前進，相對於普通的四維（我們的膜）的長度來說，所走的路程要少10^15倍。電影中巨型黑洞Gargantua離我們的地球有100億光年遠，如果走前文所說的捷徑，只需要在與我們平行的AdS膜上走1個天文單位（500光秒），就能輕鬆到達了。如果膜之間的距離更遠，實際所走的距離會更短，更省時間。

如前文所說，RS模型這樣的等效模型可以從超弦理論，比如Type IIB超弦理論中，加入一些條件推導出來。下圖是Type IIB弦論的作用量，在電影中出現過。

從上述公式出發，通過維數約化，原則上可以得到下圖中的5維膜世界模型的等效作用量，這也是本片中出鏡率最高的公式。這是一個比較複雜的模型，相對原始RS模型做了一些修正，包含了膜上的規範場。這是一種特殊的統一理論，用一個公式描述了五維時空中的全部物理，包含了所有的物質結構，比如規範場，引力場，空間場（不同於四維膜上的物質，空間場是可以在第五維傳播的），以及它們之間的相互作用。其實，索恩所選擇的這個模型，是相當簡單粗暴的，直接規定了時空的主要結構，規定了膜上的物質就是我們普通的標準模型所描述的物質，沒有從第一性原理推導出來，所以只是一個等效作用量，人為因素太多。不過，對電影來說，這樣的一個東西，應該足以應付觀眾了。

綜述1004.3962里給出的作用量則要稍微簡單一些，沒有考慮radion場：

但是這只是一個指導性方程，沒有告訴我們，這些場的具體相互作用的方式是什麼，比如描述Q場之間相互作用的勢能U（Q）的具體形式是什麼，空間場與物質場相互作用的強度W是多大,空間場動能項前的矩陣H的具體值是多少，時空的具體結構是怎麼樣的，等等。作為一個比較，我們來回憶一下力學的出發點，牛頓第二定律，這也是一個指導性的基本方程。如果不給定其他一些條件，你是沒有辦法描述物體具體的運動情況的，是直線運動，拋物運動還是簡諧振動。只有給定一些條件，比如給定初始位置和速度，以及物體的外力，才能根據牛頓第二定律準確描述物體的運動。

在這裡，上兩個圖中的作用量相當於牛頓第二定律，只是綱領性的；要描述清楚這個世界的運行模式（比如粒子有哪些種類和代的數目，相互作用有哪些類型和強度，時空結構，宇宙學常數等），你得對上述作用量進行變分，得到運動方程，解出這組方程。大部分情況下，你讀到的論文里，給出的都是一些非常特殊非常簡單的解，是一些toy model。因為，這裡僅僅用一個方程就描述了自然界中所有的物質和相互作用，看似簡單，實則極為複雜，很難求解。比如，膜上的規範場，我們在黑板上就看到一行字： +（Standard Model Term）

實際上這一項頗為複雜，展開後的形式是：
(來源：2006 November : Cosmic Variance)

為了早點把自己的想法呈現出來，物理學家通常會給定一些限制，極大地簡化解方程的難度。不過，即便如此，目前我們能解出的toy model也非常少。

上圖的黑板上，列舉了布蘭德根據一些物理和數學原理所猜測出的三組不同的解。比如，圖中的W_{yy,yw,ww}描述的bulk場與物質場發生相互作用的耦合係數。布蘭德先猜測出解的大致形式，然後進行計算（包括計算機驗證），再與觀測結果進行對比，影片中說五十年前他們就已經觀察到重力異常現象了，積累過很多數據了，如果不吻合觀測，再做調整。這當然是實際研究中大家經常乾的事情。

這些公式有一些是由thorne本人親自寫出的，字體特意設計得比較臃腫，反映了老年人布蘭德的特徵，另一些由Caltech的Elena Murchikova, Keith Matthews來寫，字跡簡明幹練，反映了影片里中青年科學家Murphy的風采。

方程中最關鍵的是bulk場，不同與我們熟悉的規範場和引力場，這是新玩意。與引力場一樣，也能在空間中傳播。由於bulk場與我們所在的膜的相互作用，使得地球上不同地方萬有引力常數不同，且隨時間變化；Bulk場還能夠維持蟲洞的穩定.因此，bulk場非常重要。電影中有這樣的畫面，布蘭德在辦公室里沉思，黑板上寫著Auxiliary bulk fields {/phi ^i} may be the key! (輔助空間場可能是最關鍵的).

上圖的3.給出了Bulk場與物質相互作用方式。當它通過我們的膜時，它會改變我們膜上的的萬有引力常數。這樣就解釋了影片開始時重點渲染過的重力異常。

上圖是假設bulk場構成的物體穿過我們的世界時，扭曲了時空時造成的華麗效果，它影響著地球的重力場。下圖是今天地球的重力場，是前文配圖的平面版本，數據來自前文提到的GOCE衛星；下下圖是Thorne假想的受到擾動後的重力場。按照電影，這種擾動某一天突然發生的，已持續50來年了，出現重力異常的原因是bulk場在相對地球運動。

順便提一下：最近十幾年，一直有物理學家根據天文觀測數據在探索這樣一個問題：基本物理常數是否隨時間和空間變化？比如這個知乎提問：光速會變嗎？我所指的不是通常意義的光速可變，而是基於一個更高的維度，譬如宇宙產生初期的光速和現在的光速一樣嗎？ - csxiao 的回答

前面說過，Bulk場除了改變地球的重力場之外，還能維持蟲洞穩定，且能避免我們的膜世界與旁邊的膜發生碰撞。實際上，有一些物理學家曾經提出過烈火重生宇宙學(Ekpyrotic universe)，就是以平行膜之間的碰撞作為大爆炸的起源的。本片中，索恩的設想正好相反，希望不要碰撞。

在影片中，布蘭德臨死前說，自己其實早就解出方程了。按照設定，實際上布蘭德得出的解只描述了黑洞的外部。只有當墨菲在獲得老爸傳遞的信息之後，才把方程完整解出。這只是劇情需要，為了讓庫伯進到黑洞里去。對統一理論的研究已經持續很多年了，大家都沒有進過黑洞啊，我們不需要黑洞內部的數據。（更正：索恩書中解釋為：傳遞的信息是飛船上黑人科學家在黑洞外艱苦工作23年所得到的黑洞共振異常數據，並非黑洞內部信息，仍然是黑洞外部可以獲取到的信息）

在電影里，墨菲在解出方程之後，人類很快就具備了對引力的控制能力，具體方案就是減小地球附近的重力場強度，輕易地把能容納大量人口生存的太空倉發射到原理地球的軌道上。影片甚至暗示，後來的人類能夠突破高維，建立了五維超立方體(這到底是啥？)！還形成了閉合時間線（這暫時還無法理解），傳輸數據回之前的地球，拯救了庫伯和人類的未來。

不過，這就是純粹的幻想了。影片中庫伯利用引力控制著地球上的時鐘。問題是，黑洞外部是無法得知黑洞內部的信息。也許，唯一可能的途徑就是量子糾纏，把處於糾纏態的兩個粒子，一個放進黑洞內部，一個在黑洞外部。有人相信，可以通過這個途徑研究黑洞內部的結構：黑洞內部的粒子會受到黑洞的影響而變化，相應地，外界的粒子會響應其變化；觀測外界的粒子，可以間接得知黑洞內部的一些信息。庫伯的手錶和他女兒的手錶，就相當與一對處於糾纏態的物質。但是，最近的研究表明，糾纏態很可能無法穿透黑洞，在進入黑洞的過程中，糾纏態可能就被破壞掉了，這就是火牆模型（再論黑洞火牆與量子糾纏）。

一般說來，理論被研究透徹後，我們未必馬上就能利用這些理論。以粒子物理為例，我們對粒子物理的了解和認識，已經達到相當完備的程度了，連希格斯粒子都已經被發現。不過，在現實生活中，我們基本上不能利用粒子物理來改變我們的生活，原因比較複雜，見鏈接（耗費巨資做實驗證實希格斯玻色子，何時能產生回報？ - csxiao 的回答）。由於引力在大多數情況下極端微弱，即使我們了解了量子引力的具體工作機制，很可能還是無法控制時空的結構。

當然，理論研究獲得突破後出現技術爆炸，這樣的先例也很多。狹義相對論和量子力學剛建立時，人們也沒想到對微觀世界的純理論研究，會帶來那麼多重大的變革。但是，在半個世紀內，核彈和核反應堆成功被研製，激光、半導體和信息技術等基於量子物理的技術獲得了高度發展，徹底變革了我們的生活面貌。也許，對引力達到透徹的認識之後，也會有類似的事情發生。

不過，在把太空艙發射到軌道的過程中，由於岩石的重力減小，地核受到的壓力猛地減小，會產生極為劇烈的地震，火山和海嘯。當太空艙發射升空後，再增加重力，這時地面再慢慢恢復平靜。問題是，真的需要這樣炫酷么？有這等能力，生物學上還不能解決枯萎病么？我知道了，那個時候地球上的公知和環保分子仍然在反對轉基因，科學家無法利用轉基因技術拯救植物，所以，二十年前轉基因拯救中國棉花產業這樣的壯舉不能重演。轉基因食品安全嗎？轉基因作物在中國不受待見的原因是什麼？ - 匿名用戶的回答

「如果有兩種或兩種以上的方式去做某件事情，而其中一種選擇方式將導致災難，則必定有人會做出這種選擇。「——墨菲定律。庫珀的女兒叫墨菲，我想是為了暗合於此。老布蘭德及馬克達蒙所演曼恩博士做出的均是「災難性」的選擇，庫珀深愛著女兒墨菲，為此，他不惜一切代價要回到地球，回到女兒身邊，這是「愛」的力量，愛因斯坦在最後寫給女兒的信中寫到：「有一種極其強大的力量，在科學屆也無法解釋。這是一種統治其他所有的宇宙運行的現象卻不被我們認知的力量。這種偉大的力量叫「愛」。」正是在愛的力量的衝擊下，庫珀進入黑洞，最終把信息通過改變引力以摩斯密碼的形式傳送給女兒。。。。。。
以上有寫影評的味道，哈哈。讀了csxiao的解釋，作為一個非理科生來講，很多概念，理論弄不懂，但不妨礙我對此的興趣，感謝綜合整理及分享，讀後，慢慢消化。再次多一想，弦理論、超弦理論等是否與赫爾墨斯振動原理有某些契合，或者說，弦理論受到振動院原理的啟發。非理，故感。

此影片中量子糾纏與大劉三體中質子態監視器可否理解為同種現象？