在拍賣會上如何拍到 100 元？

12-08

假設在一個拍賣會中拍賣100元，你出價35元，對方最高出價45元，拍賣中價高者能得到這100元，而最高出價和次高出價將被賣家所得。為了獲得最大的利潤，則應該在下一輪出價（）元。

博弈論問題，想了很久，沒有得出答案！
題目如上，為何在你出35時，對方最多出到45，不解；最大利潤，我理解成是我的收益最大，或者損失最小，小夥伴認為理解不對。還需要考慮到拍賣者。。

謝邀，這就是Dollar auction
"為何在你出35時，對方最多出到45"——應該有誤。對方如果最多出到45，那麼你出45+x（其中x是拍賣者要求的最低加價）不就確定贏了么。這時候對方要付45，什麼還得不到。這還不如直接在你出35的時候放棄呢，這時候損失還小。

容易證明，如果兩個買家都是理性人，並且雙方的策略空間限制在 $mathrm{R}^+$ 上(你能接受的最高報價是多少？)，那麼不存在純策略納什均衡。你報任何一個價b，對方報b+x總是好於直接放棄的，反過來你再繼續報b+2x也是好於停留在b+x放棄的。在這種情況下，如果「雙方都是理性的」是公共知識，那麼理性人似乎不該參與這種拍賣。

但如果放寬策略空間的限制——這本質上是一個動態博弈嘛，一個完整的策略對於對方每一期的任何可能行為都要做出反應，有可能會出現很複雜的策略，相比之下「你能接受的最高報價是多少」就太簡單了。可以證明「一方永遠繼續，一方永遠叫停」是一個納什均衡，而且是一個subgame perfect equilibrium，即在博弈的每一步看起來都是一個均衡。
但也可能有一些特別複雜的結果，特別是考慮到雙方的信念和知識。雙方有沒有理性？我是否該假定對方一直以來都有理性，因此過往的行為都是基於理性的(forward induction)？我是否該假定對方不管過往是否發瘋，從今以後他都是有理性的(backward induction)？有一篇文章（A Simple Case of Rationality of Escalation）就說，只要雙方都用backward induction，雙方都相信對方下一輪就放棄（這個信念不違反對方是理性的這一假設），那麼雙方永遠咬牙堅持也有可能是一個subgame perfect equilibrium

所以這個問題很複雜，作為買家，你的最優策略取決於你對另一個買家的看法。作為賣家，不確定性很大。「（利潤最大化）還需要考慮到拍賣者」這是有問題的，因為這是一個給定的機制，賣家做不了什麼來提高利潤。

博弈論啊，這個我學得不多，也忘得差不多了。
我想了想，感覺同質的、理性的參與人，一定會選擇不參加這個拍賣。
仔細想想，這個博弈的反應函數永遠是比對方多加價一點點，以至於無窮。
因為即使a拍賣到了100元，肯定是因為b拍賣到了99元，那麼他就要賠99元，b如果加到101，就可以只賠1元，不過這樣a就賠了100元，所以他寧可加到102元，這樣只賠2元。
所以理性的人是不會玩這個遊戲的。
但是既然有人玩了，他可能比較二，這時候你可能會覺得可以利用他的二，賺一把錢，這樣結果就取決於他有多二（或者說你有多二），結果就不可知了。
至於賣者的利潤，他肯定是要設計一個機制，去實現自己利潤的最大化，這個利潤最大化，是在給定機制下參與人利潤最大化的前提下實現的。假如沒人玩這個遊戲，他的利潤也就沒有了。
所以很奇怪，我沒想明白，您另請高人吧。

應該放棄，並拿出一份不再競價，與最高價平分利潤的協議，這樣還能賺到（100-35-45）/2=10元。
只要再出價，所得利潤都會減少。

先說結論：這個遊戲在博弈論環境下有且當然有正確答案。
我記得這個遊戲是耶魯大學經濟學家蘇比克發明的，翻譯中文一般叫「萬元陷阱」。你這題目就算是個百元陷阱吧。
我看有答案洋洋洒洒寫了一大堆，最後一段總結說「這個問題很複雜」。。。。好吧，不說全是廢話，反正是解決不了你的問題吧。包括你在排名第一答案下的總結——全錯，考慮的點錯了，這個博弈論遊戲跟對方每次漲多少沒有關係，並且最優策略也不會如你所想100，100的往上漲。
唯一靠譜點的答案是王蒙的。他思路是對的：倒推——搶點。

OK我們就假設拍賣1W塊，每個人都只有10W塊，多了沒有。每次出價最少100。開始倒推搶點。
1、10W是第一個點。因為我一旦搶到這個點，不能更多，遊戲結束；
2、90100是第二個點。我搶到90100這個點就=我搶到了10W的點。我出90100，說明之前你是低於這個數字的。一旦你叫高於90100這個點，則我一定搶10W的點。
WHY？因為我搶到10W的點，我只虧9W。比我虧90100少虧100。而對方是沒有必要搶10W的，因為搶10W，虧9W；對方目前出價小於等於9W，對方虧1W。就算對方搶到10W了，仍然虧9W。這與對方目前的虧損額度相同！因此我只要搶到90100，對方就不可能再往上加了。
以此類推：
3、80200是第三個點。跟上面一樣，誰先搶到此點，對方應該立即放棄。你說如果對方不放棄呢？
如果對方繼續出價，我虧80200，則我必然出到90100.WHY ？因為此時我虧80100，比我虧80200少虧100。對方知道我會這麼做，則對方一定放棄。——這是重點，博弈論，雙方均極聰明，並且想他人所想，雙方的策略為公共知識。
4、70300。。。如上
5、60400。。。如上
6、50500。。。如上
7、40600。。。如上
8、30700。。。如上
9、20800。。。如上
10、10900是第十個點。。。如上
11、1000元是最後一個點

總結：如果我先叫，我叫1000，對方放棄，結束。
對方叫1000以下，我叫到1000.對方叫1000及以上，我放棄。結束

明白么？不明白你從點11——即我先出1000元往上推，你假設萬一有一方是不聰明的，叫了1100，然後接下來會發生什麼。你就懂了。

買一：99

46-48都可以？按照每次最高加10元來看，只要我最後搶到99那我就是賺的雖然只賺一塊（不搶100是考慮題目中利益最大化的條件），而對方作為第二位要付錢。倒推著來99（我），89（他），79（我），69（他），59（我），49（他），對方現在出到45，意味著我加價的區間應該在46-48之內，這樣就算對方一直加10元，他最高也只能搶到96-98，而我搶到99，我成為最高價買家。

你出35對方出45應該是拍賣條件，但是這個條件表述太模糊，沒有什麼有用信息。
個人觀點，此題不能用萬元陷阱的思路來作答，因為bid沒有上限，理性人的決定應該是在對方報價後放棄bid，直接退出。

100元以下:
a報價一元，b報價2元:a此時放棄虧損1元，跟價盈利97-(-1)=98元，此時決策，跟價，此情形同b。

100元及以上:
互相跟價到了100，按照前面假設，此時bid已經到了0獲利了，但是，a出價101元的時候，b如果放棄，虧損100元，跟價只虧損2元，決策，繼續跟價。

如果是非理性參與者，為了止損，此拍賣永遠不會停止;除非一方報價x元，另一方直接報價≥x＋100，此時拍賣結束。
理性參與者會在一開始選擇後bid，然後對方bid後直接放棄退出。

以上。

也就是最多出十元咯。所以要讓最後一次逼近100元的機會在自己手裡，也就是抓住89元的叫價權，叫到89元就停下來。反推即可。

這等於是三條不相交的射線求交點的問題
最後收益分別是

-Y. 100- X. （X+Y-100）

主辦方收益加一萬也與你無關，捨去

放100-X
原文我也看過，就是個不存在的極值求極值的故事