正則表達式如何匹配 3 的倍數？

12-08

儘管正則表達式是用來匹配字元串的，如果要確定某個字元串表示的數字是否是3的倍數，一般的做法是先轉換為數字然後再除以3，但似乎可以用正則表達式直接匹配3的倍數（我猜可能是3的倍數構成的字元串有什麼規律），同樣可以匹配的有7的倍數。

匹配3和7倍數的正則表達式分別如何寫？

可以通過以下鏈接測試
Regex Golf

^[0369]* ( ( [147][0369]* | [258][0369]*[258][0369]* ) ([147][0369]*[258][0369]*)* ( [258][0369]*

| [147][0369]*[147][0369]* ) | [258][0369]*[147][0369]* )* $

得分 488 點，應該還可以優化不過懶得弄了。這個正則是真正正確的，適用於任意十進位數，而不是下面那樣作弊的手段。
從下面這個有限自動機逆變得到：

其實，寫一個正則匹配 10 進位下 n 的倍數的思路是這樣：

構造一個有 n 個狀態的 DFA，狀態為 $q_0,q_1, ..., q_{n-1}$ ，其中起始和接受狀態都是 $q_0$ 。DFA 中 $q_k$ 的含義是「當前讀入的數可以被 n 除余 k」。
對每個 $q_k$ 和 $min{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ ，計算 $r=(10k+m);mathrm{mod};n$ ，構造一條 $q_kxrightarrow{m} q_r$ 的轉移邊

這張 DFA 就可以匹配能被 n 整除的十進位數。
下面是被 7 整除的十進位數的正則，長達 12000 余字：

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|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))(1|8|65*[07]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))*(2|9|65*[18]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(5|[29]5*[18])))*(2|9|35*4|(4|35*6)(3|[29]5*6)*(1|8|[29]5*4)|(5|35*[07]|(4|35*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))(1|8|65*[07]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))*(5|65*4|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(1|8|[29]5*4)))|(1|8|45*[29]|(5|45*6)(3|[29]5*6)*(6|[29]5*[29])|(6|45*[07]|(5|45*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))(1|8|65*[07]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))*(3|65*[29]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(6|[29]5*[29]))|(0|7|45*[18]|(5|45*6)(3|[29]5*6)*(5|[29]5*[18])|(6|45*[07]|(5|45*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))(1|8|65*[07]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))*(2|9|65*[18]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(5|[29]5*[18])))(6|35*[18]|(4|35*6)(3|[29]5*6)*(5|[29]5*[18])|(5|35*[07]|(4|35*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))(1|8|65*[07]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))*(2|9|65*[18]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(5|[29]5*[18])))*(0|7|35*[29]|(4|35*6)(3|[29]5*6)*(6|[29]5*[29])|(5|35*[07]|(4|35*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))(1|8|65*[07]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))*(3|65*[29]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(6|[29]5*[29]))))(4|[07]5*[29]|(1|8|[07]5*6)(3|[29]5*6)*(6|[29]5*[29])|(2|[07]5*[07]|(1|8|[07]5*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))(1|8|65*[07]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))*(3|65*[29]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(6|[29]5*[29]))|(3|[07]5*[18]|(1|8|[07]5*6)(3|[29]5*6)*(5|[29]5*[18])|(2|[07]5*[07]|(1|8|[07]5*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))(1|8|65*[07]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))*(2|9|65*[18]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(5|[29]5*[18])))(6|35*[18]|(4|35*6)(3|[29]5*6)*(5|[29]5*[18])|(5|35*[07]|(4|35*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))(1|8|65*[07]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))*(2|9|65*[18]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(5|[29]5*[18])))*(0|7|35*[29]|(4|35*6)(3|[29]5*6)*(6|[29]5*[29])|(5|35*[07]|(4|35*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))(1|8|65*[07]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))*(3|65*[29]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(6|[29]5*[29]))))*(6|[07]5*4|(1|8|[07]5*6)(3|[29]5*6)*(1|8|[29]5*4)|(2|[07]5*[07]|(1|8|[07]5*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))(1|8|65*[07]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))*(5|65*4|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(1|8|[29]5*4))|(3|[07]5*[18]|(1|8|[07]5*6)(3|[29]5*6)*(5|[29]5*[18])|(2|[07]5*[07]|(1|8|[07]5*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))(1|8|65*[07]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))*(2|9|65*[18]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(5|[29]5*[18])))(6|35*[18]|(4|35*6)(3|[29]5*6)*(5|[29]5*[18])|(5|35*[07]|(4|35*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))(1|8|65*[07]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))*(2|9|65*[18]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(5|[29]5*[18])))*(2|9|35*4|(4|35*6)(3|[29]5*6)*(1|8|[29]5*4)|(5|35*[07]|(4|35*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))(1|8|65*[07]|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(4|[29]5*[07]))*(5|65*4|(0|7|65*6)(3|[29]5*6)*(1|8|[29]5*4))))))*

//
下面教你怎麼把 DFA 轉正則：
還是從它開始

我們記 A 為終止到狀態 A 的字元串集合，BC 類似，那麼可以列出三個方程：

A = A[0369] | B[258] | C[147] | B = A[147] | B[0369] | C[258] C = A[258] | B[147] | C[0369]

根據正則語言的特性，可以推導出如下形式的方程

L = LU|V

有解

L = VU*

因此上面方程可以修改為

A = (| B[258] | C[147])[0369]* (1) B = (A[147] | C[258])[0369]* (2) C = (A[258] | B[147])[0369]* (3)

將 (3) 代入 (1) (2) 得

A = (| B[258] | (A[258] | B[147])[0369]*[147])[0369]* (4) B = (A[147] | (A[258] | B[147])[0369]*[258])[0369]* (5)

用分配律展開 (5) 中的豎線得到

B = A[147][0369]* | A[258][0369]*[258][0369]* | B[147][0369]*[258][0369]*

故

B = A[147][0369]*([147][0369]*[258][0369]*)* | A[258][0369]*[258][0369]*([147][0369]*[258][0369]*)*

把它代入 (4) 得

A = (| B[258] | (A[258] | B[147])[0369]*[147])[0369]* = [0369]* | B[258][0369]* | A[258][0369]*[147][0369]* | B[147][0369]*[147][0369]* = [0369]* | A[147][0369]*([147][0369]*[258][0369]*)*[258][0369]* | A[258][0369]*[258][0369]*([147][0369]*[258][0369]*)*[258][0369]* | A[258][0369]*[147][0369]* | A[147][0369]*([147][0369]*[258][0369]*)*[147][0369]*[147][0369]* | A[258][0369]*[258][0369]*([147][0369]*[258][0369]*)*[147][0369]*[147][0369]* = [0369]* ( [147][0369]*([147][0369]*[258][0369]*)*[258][0369]* | [258][0369]*[258][0369]*([147][0369]*[258][0369]*)*[258][0369]* | [147][0369]*([147][0369]*[258][0369]*)*[147][0369]*[147][0369]* | [258][0369]*[258][0369]*([147][0369]*[258][0369]*)*[147][0369]*[147][0369]* | [258][0369]*[147][0369]* )* = [0369]* ( ( [147][0369]* | [258][0369]*[258][0369]* ) ([147][0369]*[258][0369]*)* ( [258][0369]*

| [147][0369]*[147][0369]* ) | [258][0369]*[147][0369]* )*

加上 ^ 和 $ 就行了，放去測試，全部正確。

^([0369]|([147]|[258][0369]*[258])([147][0369]*[258]|[0369])*[258]|([258]|[147][0369]*[147])([258][0369]*[147]|[0369])*[147])+$

503分
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

^([0369]|([258]|[147][0369]*[147])([0369]|[258][0369]*[147])*([147]|[258][0369]*[258])|[147][0369]*[258])+$

嗯..523分了，這個應該是標準答案了

我來說一個更高（sha）級（gua）的做法吧：
有一個演算法叫做Anluin"s Learning Algorithm，這個演算法簡單來說有以下步驟：

1. 用戶給出你要學習的正則語言涉及的字符集，比如本題目中的 0123456789
2. 然後程序會反覆詢問你某個句子是否屬於該語言，你就回答yes或者no就行了，然後程序會給你返回一個可能的正則語言（用DFA的形式）。
3. 如果你發現這個生成的正則語言和你想的不一樣，你可以給出一個反例，然後程序繼續給你計算你可能想要的自動機

這裡有一個我剛剛寫好的實現 xuanhuangyiqi/AnluinLearning · GitHub ，目前只能處理基本字元，另外這個演算法輸出的是自動機，不是最終的正則表達式，而且我還沒找到比較完美的自動機轉換成正則表達式的方法，所以目前我的實現生成的正則表達式是有bug的。本來這個東西是打算考完試再寫的，剛好看到了這個問題，就手抖寫了個簡單的，考完試再慢慢完善。

如果打算理解這個演算法可能需要一些基本的自動機理論基礎：
1. 能看懂其它答案的做法，理解正則語言、DFA、正則表達式的關係
2. 理解最簡DFA、狀態/句子之間的等價
3. 理解這個演算法的目標是維護一個自動機的封閉性和一致性

從前有一個問題。你選擇了正則來解決，現在你有了兩個問題~~~

這個是二進位的…

if (num % 3 == 0) {
// 妹子在那等你呢，你還研究正則
}

// 何苦呢……

首先把數字分成三組，a：餘0(0,3,6,9)，b：餘1(1,4,7)，c：餘2(2,5,8)
然後上面的人也提到了3的倍數是數字合可以被3整除，那麼a組的數出現的次數就可以不考慮了，只要考慮b，c出現次數，設次數分別是n1,n2,n3吧，n1無所謂了，n2=3k2+b,n3=3k3+b 次數時可行b=0or1or2，狀態機圖我畫了一下，不過我畫圖能力實在太糟糕了，正則表達式我也不清楚可不可以寫，算了要趕班車了

就貼兩個圖，都是regexper生成。

正則表達式如何匹配 3 的倍數？ - 知乎用戶的回答這是3的倍數7的倍數來自正則表達式如何匹配 3 的倍數？ - Belleve 的回答，svg有2.8MB，生成大概需要幾分鐘，像素尺寸為61034×5457……
查看與下載：http://imgh.us/regexp7x.svg

先轉為二進位

^1((10*1)|(01*0))*10*$ 然後用這條正則匹配就對了

思路是 finite automata 和二進位

有一個詳細的解答，參考地址：

正則判斷數字是否能被5整除-趣味Python每周一題20170912

構造一個接收3的倍數的串的自動機（狀態是模3的餘數），然後把自動機轉為正則表達式（比較容易，類似於floyd warshall演算法一樣的動態規劃）

^(?:([0369]*+)|([147](?1))(([258](?1))|(?2)(?5))|(?4)((?2)|(?4)(?3)))*$

效率應該比你轉成數字除3低的多

這裡有一些答案 Regex Golf Answers (http://regex.alf.nu/)
HN: https://news.ycombinator.com/item?id=6941231

我的天，為啥要用腦殘的正則表達式？直接使用

if(x%3==0)

{

printf("factor of 3")

}

else

{

printf("not factor of 3")}

}

不就行了

人生苦短，得找捷徑

我是我要黑，正則表達式本身不帶任何計算功能，即使簡單的計算匹配都很難搞定，不信你看看其他答案那一堆「369」「258」的，全是靠枚舉出所有可能的組合情況……

而且這麼匹配效率還會很低…

這題應該用投機取巧的方法吧。。。

^(0{8}[0369]|0{7}1[25]|[069]{9}|14|173|3[1269]|4[04]|7[14]|8[17]|9[05])

559 points.

判斷是否能被整除，只要計算餘數就好了。
如果是除3，那麼根據餘數會有3種狀態。然後每次讀入一個數就會進位。再次取余，依然在3種狀態之內。

比起第一的答案不知道簡單到哪裡去了。其實方法是一樣的。只不過10進位會有10條邊，充分說明了10進位的劣根性。