歷史上有哪些著名的數學定理在當時證明非常冗長，但是用現代的觀點有簡潔明了的證明？

12-08

不知道若干年後現在用幾百頁才能證明出來的費馬大定理、龐加萊猜想、有限單群分類……這些定理以後會不會有自然而簡潔的看法和證明……

Calabi猜想可以算一個吧。Yau的幾十頁論文硬估計做得相當精彩。但是Lions, Cafferelli建立了非線性橢圓方程的一般理論之後，再加上2014年幾個人發現的一種用實MA方程方法解決復MA方程的技巧，現在我可以用2頁紙寫出Calabi猜想的完整證明。

應評論區要求，補一個證明概要。
1.問題可以用連續性方法約化為C^{2,alpha}先驗估計。(這是很一般的方法)
2.由14年那篇文章，這個估計可以約化到實的對應情況。
3.由Evans-Krylov理論，這可以約化到C^2估計
4.由線性代數，問題可以約化為Laplacian的估計。
5.模仿Blocki的方法，可以用大概一頁紙寫出這個估計，前提是知道了L^infty估計
6.L^infty估計可以很容易地由Cheng-Yau的L^2穩定性導出，或者用Moser循環證明。

皮卡小定理。據稱皮卡的原文有100多頁，後人使用了微分幾何方法，將皮卡小定理的證明壓縮到10頁以內。證明細節見龔昇的小書《簡明複分析》。

不過，我後來看過一個評論，說皮卡的證明思路非常清晰深刻，但相關概念、方法用複雜了，繞了彎路，導致證明冗長複雜。數學大師阿爾福斯認為，儘管證明皮卡小定理有很多相對簡潔初等的證明，但都不及皮卡的原證明深刻透徹（如果你了解橢圓模函數j的基本性質，比如模函數j的反函數有三個奇點0，1，無窮遠點）。於是，阿爾福斯仍然在他那本《複分析》中收錄皮卡本人的證明（經後人化簡）。主要思路是利用橢圓模函數的反函數的兩個奇點0和1：

附錄：
1.橢圓模函數j的一種引入方式（摘自《模的奇蹟》，此文即上文初見之文）：

2.為什麼至多只有一個洞（q&<=1）的拓撲解釋：

最簡潔的證明莫過於一句話證明了. 我喜歡一句話證明, 因為這樣可以少打字.
看過一個一句話證明費馬二平方和定理的方法:
考慮有限集 $S={(x,y,z)in mathbb{N}^3|x^2+4yz=p}$ 上的對合: $(x,y,z) o egin{cases} (x+2z,z,y-x-z) ext{if}~x<y-z \ (2y-x,y,x-y+z) ext{if}~y-z<x<2y \ (x-2y,x-y+z,y) ext{if}~x>2y \<br /> end{cases}</p> <p>$
有唯一的不動點. 所以 $|S|$ 是奇數. 於是對合 $(x,y,z) o(x,z,y)$ 也有不動點.
現在看來這個定理沒有那麼困難, 可是它從提出到證明也足足花了100多年的時間.

Zagier, D. (1990), "A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 (mod 4) is a sum of two squares", American Mathematical Monthly, 97 (2): 144, doi:10.2307/2323918, MR 1041893.

代數基本定理的高斯證明，和現在利用複分析方法(最大模原理)的證法……

不能說是多現代的方法，但是絕對簡化了很多：
Siegel Theorem 的證明,據說原證明很長。

費馬小定理。不知道最初費馬和歐拉是怎麼證明的，如果用群論的觀點來證明，那麼這個定理看起來相當的trivial.
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再添加兩個，這兩個有個共同之處，就是原始定理的表達非常的晦澀難懂，但是一旦採用了現代數學符號的話，這兩個定理就變得非常易懂了。

其一，高斯絕妙定理。這個定理是說，計算一張二維曲面的高斯曲率不必用曲面的第二基本形式，只需要知道曲面的第一基本形式就可以了。這個定理應該是內蘊微分幾何裡面最重要的定理，從這個定理也很容易導出整體微分幾何中的Gauss-Bonnet定理。高斯最開始證明這個定理時用的是當時的一套數學符號系統，當時沒有矢量和張量的概念，所以高斯的原始論文裡面這個定理的證明過程非常的繁瑣（這個是不可避免的，因為現在我們知道這個定理的證明依賴於一個四階張量，也就是黎曼曲率張量，而高斯做的應該是相當於把這個四階張量的每一個分量都寫出來了），但是用了現代的數學符號之後，藉助於矢量，張量以及愛因斯坦求和約定，這個定理的證明就變得非常清晰易懂。
其二，麥克斯韋方程組。跟高斯絕妙定理一樣，麥克斯韋方程組也是出現在矢量符號出現之前。我們現在知道麥克斯韋方程組是一個矢量方程組，但是當時沒有矢量符號，所以麥克斯韋只能把方程組的每一個分量都寫出來。這就導致了麥克斯韋方程組顯得十分的臃腫，也很難被當時的物理學界接受。現在物理學書裡面還留有當時麥克斯韋原始符號的痕迹，那就是磁場用H表示。麥克斯韋用E, F, G表示電場的三個分量，於是當麥克斯韋寫到磁場的三個分量時，就從H開始了，這個符號保留至今。矢量符號以及矢量的叉乘直到二十世紀初才由Heaviside 和 Gibbs 發明，而現在教科書裡面常見的麥克斯韋方程組的矢量形式就是由Heaviside第一次寫出來的。

由此可見，簡潔明了的符號系統能對一個學科產生多麼巨大的促進作用。

素數定理其實就是一個例子。大約可以算從二十多頁簡化到四五頁。可以參見http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.2307/2975232/fulltext.pdf，最後一段有講證明的歷史。

我畫蛇添足，說一個古老的吧！關於球的表面積的定理，阿基米德用了很多數學和物理知識，用對話形式給出來證明。如今是微積分課程上的一道例題。

Gauss-Bonnet theorem 第一個證明是Weil的，證明就很冗長，Chern內蘊證明就很簡潔。

讓我來答一個平凡的……沒有多項式f恰在n處生成第n個素數……

deg f=1時是平凡的，deg f&>1時考慮g(n)=f(n+1)-f(n)，很顯然g(x)趨於正無窮，但根據張益唐的工作，我們知道有無窮多對素數之間的間隙小於某個常數，矛盾。

關於π是無理數和超越數的證明。不過之前也不能算冗長，但是現在確實做了相當的簡化

代數基本定理，當年高斯（歐拉？）給出了四種初等的證明，但是十分繁瑣，用複分析的觀點去看就變得異常簡便。

理論力學和材料力學，前幾章內容直接應算是多困難呀，但是用後幾張的虛功位移和能量發計算，多簡單啊！從單純力的概念到能量的概念，差不多就算過去和現在的歷程了吧