為什麼如圖的永動機不存在呢？

12-08

我愛白如冰：
這題解答是錯誤的把靜電場能（1/2E^2）和外界帶電粒子分開。帶電粒子之所以可以被加速，從一個觀點來看，可以說是電子的電荷受到電場力的影響。其實從場的觀念看，無非是電荷自己電場和電容器電場相互作用導致的。這樣的結果是，靜電場能轉化成動能（或者電磁輻射）。就算這個電荷最終不中止在極板上，他也一定會以這樣一種方式運動（或者靜止）：初始狀態的動能+電場能之和，等於終止狀態動能和電場能之和。實際上如果電荷不終止在極板上，或者極板不和原電容器連通，你會得到電荷集中在極板上抵消原來的電場（注意，不是白冰冰的電荷抵消），和在y方向上往複周期運動最後速度減少，y方向有些許速度的結果（但總的動能缺減少了）

很明顯你這裡面沒有考慮場的動量守恆，也就是你默認場是靜止不動的，這裡面本身就有個忽略，所以不是永動機

補充一點吧......

@白如冰大神的話我仔細想了一下，確實是那樣。那麼想了之後我也大概更好地明白我之前的理解是什麼意思了，大致上是建立在電荷分布的一個近似，或者說，我的這個答案算是一個稍微通俗一點的解釋
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謝邀。

這麼說吧，當你閉合開關的時候，那些粒子在不在他們出發的位置會影響電源做功的多少。

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題主要我詳細說說，就說一點吧。

首先能量是什麼？這個是一個關鍵點
整個宇宙能量守恆嗎？ - barries cran 的回答
直接貼以前答的東西了。

能量是一個很tricky的概念，但是在我們目前的遇到的絕大多數不涉及到廣義相對論的理論里，能量守恆都是適用的。可是能量守恆不僅僅是四個字，更詳細的是：

某些體系的能量在某些操作下維持不變

能量是物體的能量，守恆是時間的守恆。所以任何脫離物體的能量、脫離過程的守恆都是耍流氓。

明確這些之後我們再來看題主的問題：這是不是電場永動機？

答案顯然是不是。箇中原因我們一步一步分析。

這裡面的物有幾個？電源，電容器，α粒子【導線不考慮了，視為電阻為零不發熱損失能量】
過程有哪幾個？閉合開關給電容器充電，斷開開關使得電容器成為孤島，發射α粒子

圖中說「當α粒子加速時，電池沒有輸出電流，也就沒有輸出能量，因此構成永動機」

這句話對么？

我告訴你們，這句話是對的，沒問題，確實——α粒子加速，電路並沒有發生變化。但是粒子加速所消耗的能量並不是來自於電路，而是其本身自帶的電勢能！

這是什麼意思？

比如我把α粒子放在發射的位置等待發射，這個時候還沒有給極板充電，極板也還沒產生電勢差和電場。然後閉合開關，給電容器充電了，我們可以對全空間積分算出電池消耗的能量、轉化了多少到電場里
$We=intfrac{varepsilon E^{2} }{2} dV$
這個時候問題來了，沒有α粒子和有α粒子存在的時候空間中的電場分布並不同！

或者說簡單點，因為α粒子放在那裡，電池要做的功不單單是原本的只給電容器了，還要提供α粒子的電勢能！

所以圖中的問題出在少考慮了這部分能量，儘管最終這些能量都是從電池裡的非靜電力做功轉化而來，α粒子在射出前就已經收到了這部分能量，並不是想像中的那樣，原本沒有，經過一個極板加速無緣無故多了能量。

大致如此。

最後重要的話說三遍

所以任何脫離物體的能量、脫離過程的守恆都是耍流氓。
所以任何脫離物體的能量、脫離過程的守恆都是耍流氓。
所以任何脫離物體的能量、脫離過程的守恆都是耍流氓。

有兩點。
第一，向粒子源添加粒子並以Vo初速度發射是需要能量的。
第二，邊界電場問題，我們在平時做題中忽略了勻強電場的邊界效應。在畫完邊界及外部的非勻強場場線之後，我們發現最後大部分場線會回落到負極。若粒子飛出後沒有別的影響，最終會落回負極導致板間電勢下降(因為粒子帶正電)，最終會使板間電場歸零。永動失敗╮(╯▽╰)╭
這是以前想的，若有錯誤的地方請指出，歡迎一起討論哈。

隕石落到地球的時候也憑空多了動能呢

-- 8.13 update： --
一、粒子是否會落到極板上？
之前我沒有討論如 @曾博（at不出來）所說粒子最終落到極板上的情況，我是這樣考慮的:

對於平行板電容器激發的電場，其電勢分布和電場線是這樣的：
（代碼來自 Everett的相冊-Physics ，略有修改，後附）

紅色代表正電勢，越深電勢越高，藍色代表負電勢，越深電勢越低。

當粒子向左離開電容器範圍時，如果粒子和下極板距離較小（附近場強較大），由：
$E_{N}cdot q=F_{N}=frac{mv^{2}}{r}$ 其中N下標代表法向
如果初速度小一些，荷質比大一些，可以滿足：
$r=frac{mv^{2} }{E_{N}q} ll L$ ，那麼粒子就會落到極板上，這是可能且正常的一種情況。

但是，對於此題，這樣想沒有意義——如果粒子落到極板上，所謂「增加的動能」就不能利用了。

所以主要探討這樣一種情況：

二、我們探討什麼過程？/動能增加嗎？
簡而言之，初始態是何時？末態又是何時？

初始狀態為剛離開粒子源時，記為A，末態取兩個，一個是粒子近似有最大動能時，記作B，一點為無窮遠處，記作C，因為圖中x軸處電勢與無窮遠相等，就寫在那兒（不代表是那兒）：

現在有兩個過程：

過程1：A→B：
顯然， $varphi _{A} >varphi _{B}$ ，根據能量守恆，即： $frac{1}{2} mcdot v_{A}^{2}+varphi _{A}cdot q=frac{1}{2} mcdot v_{B}^{2}+varphi _{B}cdot q$
得到 $v_{B}>v_{A}$ ，即粒子動能確實是可以增大的（我知道這是廢話）

過程2：A→C：
遺憾的是，我們不能知道哪一個的電勢大，比如：

幸好我們不知道，下面細講。

三、電源的能量會被消耗嗎？

很多人居然會這樣覺得，我是很奇怪的。
他們的想法是這樣的，粒子獲得了電場能轉化的動能——電場的能量變小了，電源補上了。

首先要問，這對應於哪一個過程？
是A→C，對於運動到B的粒子，它最終一定會運動到C：我們先前提到過電場力不足以使粒子落到極板上，那由於慣性它一定會飛到無窮遠處。
如果是這樣，倘使 $varphi _{A} <varphi _{C}$ ，即 $v_{A} >v_{C}$ ，又如何解釋？粒子的動能居然減小了！那——
粒子的動能轉化成了電場的能量，進而為電源充電？？

這也許不能說服你，但是請你仔細想一下，粒子動能增大是電池供能，那動能減小，這能量去哪兒了？這在直覺上是不合情理的，而之前所認為「電池為粒子供能」不也只是出於直覺而沒有嚴謹證明的嗎？
所以請至少懷疑一下，動搖一下，否則你真的不必再看下去了。我寫到這的時候是很傷心的，總有一些人的直覺要強過別人的，甚至強過別人的有理有據，這些人不適合待在知乎，手動微笑以表友善。：D

這裡我嘗試解釋一下，庫倫力是這樣作用的：

你看啊，電荷每時每刻不停地激發電場，然後電場和帶電粒子相互作用——就好像我爸給了我100塊零花錢，每天給（星星眼），好吧每周給，可是我拿這個錢去買東西錢變少了，或者我中了彩票錢反而變多了，都跟我爸沒關係。這個例子有一個不貼切的地方，因為錢真的來源於我爸，但是，能量不是來源於激發電場的電荷啊！
很多答主說得很多，是粒子動能和勢能相互轉化，這話很對，但是要正確理解。
勢能是什麼？跟我一起念：

勢能（Potential Energy），亦稱位能，是儲存於一物理系統內的一種能量，是一個……物理量。 via 維基百科

勢能是儲存於物理系統內的，電荷和帶電粒子都是系統的一部分，勢能是二者共有的。

但是！如果我們使其中一個與參考系相對靜止，就可以說這個勢能是另一者的。
比如，我們以地球為參考系，於是說，小明在七樓的勢能比在一樓大，而不是說，小明在七樓的時候，小明和地球這個系統的勢能比小明在一樓的時候大。儘管後者是正確的，但是表述麻煩，難以計算，而且，二者是等效的，你不信？維基你信不信？證明恕不贅述。

然而，在兩物體A、B組成的保守體系中，如果我們以其中一個物體A作為參考系，則勢能僅取決於另一物體B的相對位置。這時，在不引起混淆的情況下，我們常把「A、B具有的勢能」稱作是「B的勢能」。 via 維基百科

所以，這件事情是這樣的：我和我老婆（然而並沒有）一起存了十萬塊錢，理論上我可以拿，她也可以拿，但是，出於眾所周知的原因我不能拿，那。。。你不能說她零花錢變多了我就要割肉啊，我已經割過了，只不過是她和那十萬塊相愛相殺罷了，是吧？

就是說，兩個物體的勢能關係成立之後，兩者都可以隨意取用轉換，而二者之間不直接互動。
而一旦以其中一個為參考系，那麼就可以認為：這一共有勢能降級為了另一個的專屬能量，另一個可以隨意取用而不對參考系同學產生任何影響。

再看到它時，你就知道了，激發電場的電荷要作為參考系或者和參考系相對靜止，下面才成立：

所以順便在此駁斥有人所說的「與電容器是否靜止無關」論。

四、為什麼不是永動機
先複習一下，在此題的條件（靜止的平行板電容器）下：
如果有過程 A→B，此間動能增加，即 $v_{B}>v_{A}$ ，那麼 $varphi _{A} >varphi _{B}$ ，且有能量守恆如下：
$frac{1}{2} mcdot v_{A}^{2}+varphi _{A}cdot q=frac{1}{2} mcdot v_{B}^{2}+varphi _{B}cdot q$

那，永動機是什麼咧？
很簡單啊，你不管它，然後它永遠，一直對外做功就好啦。

可是你看啊，我們記t時刻粒子能量是 $E_{t}=frac{1}{2} mcdot v_{t}^{2}+varphi_{t} cdot q$ ，到t+△t的時候，輸出了W的能量，那麼， $E_{t}=E_{t+Delta △t}+w,w>0$ 。隨著t增大，Et不斷減小。可是vt是不能無限制減小的，沒有負的速度啊。
可是電勢可以是負無窮大！可以是負無窮大？不可以！電勢負無窮大意味著電荷靠得很近，這個時候 $varphi =frac{kcdot Q}{r}$ 就不適用了好嘛！電勢也只能有限減小至 $E_{P,min}$ ，所以，這個東東只能獲得 $W_{max} =frac{1}{2} mcdot v_{A}^{2}+varphi_{A} cdot q-E_{P,min}$ 的能量，也就不是永動機啦！

什麼樣才是真正的永動機呢？一個簡單的實現途徑是，工質可循環，同時對外做功。

這裡引入兩個概念，很簡單的，一個是工質，就是對外做功的那個東西，一個是狀態參數，用以表徵工質的狀態，這裡要利用α粒子的動能，那α粒子就是工質嘛，因為這裡的α粒子只有兩個狀態參數會變，我們就記作 $xi left{ upsilon ,varphi ight}$ 好了。倘若 $xi _{t}=xi _{t+Delta t}$ ，同時這段時間內又對外做功，那麼不斷重複這一過程，不就實現了永動機嗎？

可是並不可能，比如這題，明明有 $E=frac{1}{2} mcdot v^{2}+varphi cdot q=f(xi )$ ， $xi$ 不變，E怎麼變？E不變，怎麼做功？

可是這題本來一開始就沒打算這樣做，如果要輸出功或者考慮能量損耗，那它就是會讓工質 $xi$ 發生不可逆的變化，然後送走舊的工質，增加新的工質。這就是普通的熱機，比如蒸汽機，內燃機這些的原理。它消耗能量高的α粒子（就像消耗能量高的燃料）來獲得能量，就醬。

== 附-代碼： ==

Mathematica Code:

Module[{w, pts, elines, [Phi]field, h}, w[x_, y_] := With[{z = x + I y}, ( z - I - 2) (Log[ z - I - 2] - 1) - ( z - I + 2) (Log[ z - I + 2] - 1) - ( z + I - 2) (Log[ z + I - 2] - 1) + (z + I + 2) (Log[z + I + 2] - 1)]; {pts, elines} = List @@ (ContourPlot[Im[w[x, y]], {x, 0.01, 10}, {y, -10, 10}, PlotRange -&> All, Contours -&> Range[-2 [Pi], 8 [Pi], [Pi]/4], ContourShading -&> None, ContourStyle -&> Black, ContourLabels -&> None][[1]]); [Phi]field = ContourPlot[Re[w[x, y]], {x, -10, 10}, {y, -5, 5}, PlotRange -&> All, Contours -&> Range[-4.5, 4.5, 0.1], ContourStyle -&> None, ColorFunction -&> "TemperatureMap", Exclusions -&> None][[1]]; elines = Cases[Flatten[elines], Line[ps_] :&> Arrow[SortBy[pts[[ps]], -Re[w @@ #] ]]]; h = Graphics[Line[{{-1, 1/2}, {1, 0}, {-1, -1/2}}]]; Graphics[ {[Phi]field, {Opacity[0.4], Arrowheads[{{0.004, 0.3, h}}], elines, GeometricTransformation[elines, ReflectionTransform[{1, 0}]], Arrow[{{0, 1}, {0, -1}}], Arrow[{{0, 1}, {0, 5}}], Arrow[{{0, -5}, {0, -1}}]}, {Thick, Line[{{-2, #}, {2, #}} /@ {-1, 1}]}}, ImageSize -&> 1200] ]

其實，這個來源就是電池。正電粒子的動量就是電場給的。

電池確實沒有消耗電能，但是粒子消耗了電場勢能

我來終結這個問題。

給曾博的答案配了一張精美的示意圖——

我畫出了電場線和等電勢線。很明顯，粒子獲得的動能完全來自於從高電勢的等電勢線跑到低電勢的等電勢線後所減少的電勢能。

那麼電勢能是從哪裡來的呀？當然是人工放置發射粒子裝置時盒子和所有粒子本身就帶有的呀。就像把石頭從800米的山上自由下落到600米，800米具有更高的勢能，是石頭在初始條件時天生就有的。

樓上一堆什麼答案。。。也就 @barries cran的答案稍微靠譜些。 @白如冰回答的角度應該是氦核在極板上感應出電荷但被電源轉移然後電源做功，但是只是將電源的化學能納入了整個體系的能量而已，還要考慮極板上對應產生的感應電荷然後被電源轉移做功，其實沒必要這麼複雜的。。。

假設沒有電源，就兩塊板子，或者直接抽象成點電荷更好。如果不考慮運動電荷帶來的電磁輻射，僅僅是按照靜電場中的電斥力來分析的話，能量守恆的原因就很簡單了：帶正電的氦核受電場加速了不假，但這部分「增加的」能量來自於其初始位置（假設粒子源就是一堆氦核，不考慮衰變），即：你耗費了多少「能量」把這堆氦核帶到那個位置。

用大白話重述一遍：兩個極板（點電荷）固定，氦核飛過兩個極板之間時受到正極的斥力和負極的引力，但飛過之後呢？負極是會往回吸引氦核的啊。。。到最後的穩態無非就是1、氦核圍著負極轉圈圈（如果考慮上正電荷的話，貌似這是個改版的三體問題？）；2、氦核飛到無窮遠處，其動能扣除靜電場的勢能後仍有剩餘。

1. 電池和電容器確實沒有做功
2. 氦核，發出一個α粒子的同時，放射源還要發出2個電子，發射方向相反
3. 電容器在極板外也是有電場，這個電場會導致電子減速
4. 出電容器時，α粒子增加的能量等於電子失去的能量

如果用純α粒子做實驗，把α粒子移動至上極板外就已經消耗了能量。

我總結一下吧，題目里說法到底錯在哪裡：他錯在以為電路是斷的，沒有電流，進而電池不耗能。
而事實是電路沒有斷，因為電場沒有斷，電源仍然平行板電場的方式在推動載流子流動，是有電流的，是耗能的，載流子就是題中的阿爾法粒子（豎直分量上的速度就是電流！）。你不斷添加阿爾法粒子電池是會沒電的！！所以不永動！！！
跟什麼邊緣電場，人的作用什麼的完全沒關係，是你們想歪了！！！
除了曾博的我看不懂，張望的我認同，柯煦要給學生答，其他人我都點了反對！！

有人說電路斷路，沒有電流，所以電源不損耗能量，其實是有電流的，你把平行板看做電源正負極，粒子豎直分量上的速度就可以看做是電流！這部分速度也確實是電源（即通過電場）給的，所以粒子是實實在在從電場帶走了電源的一部分能量，就相當於導體中電子通電後流動一樣！

上圖我們可以看出，即使從水平軸無窮遠處把粒子移動到勻強電場邊緣，在外電場他跨過的等勢線最多是勻強電場的1/2，而如果平行板足夠長，粒子從上到下可以跨過跨過整個電場的等勢線，只要它是從右上角側上極板處進入的，極板足夠長，他最後獲得動能都是U*q，不管你原來從那裡移過來，這份能量是電源（通過電場的靜電相互作用）給的，不是在外電場克服電場力給的，在外電場克服靜電力做功確實會損耗動能，但實際情況僅僅是很小一部分（請觀察等勢線的變化），所以被忽略不計，而在進入勻強電場後，通過電場力做功，就會重新獲得電源給的能量。

它在電場這段時間內＂電勢能+動能＂守恆，因為這個＂電場+電荷＂系統是保守力（電場力）相互作用系統，但是我們研究的不僅僅是這段時間，有些人直接根據上述原因直接來了個能量守恆，進而動能不變是沒拎清事情，事情是說粒子經過＂電場加速＂動能比之前變大了，多出的動能到底是來源於電源還是粒子在一開始靠近電場（邊緣及電容外空間的電場）時克服靜電力做功所積累的電勢能？？
我幾乎肯定是電源的能量，（拜託想想回旋加速器好不好，只要D盒半徑足夠大，粒子速度在相對論允許範圍內可以加速到很大）但想不清楚能量轉換機
制。。。

粒子從單體變成＂粒子-勻強電場＂系統時肯定是多了一份能量，在這個系統里我們可以把它表述為＂電勢能＂，在這個系統外我覺得它就叫電能，是電能轉化為了動能，至於邊緣電場的作用，我剛剛想到，畫張圖，寫個不等式，數學上他就不正確，不守恆。。。明天補圖（好害怕明天一覺醒來自己打自己臉。。。）

現在主要問題是想明白電源是怎樣把能量通過靜電相互作用轉移給粒子的。

電場是做了功的，能量會以輻射的形式消耗掉，兩級板電勢差會逐漸消失，所以這不算永動機

α粒子加速的動能來源於它和電容器極板之間的靜電勢能。加速的過程電池確實沒有消耗能量，但是粒子和電容器極板之間的勢能變小了，轉化成了粒子的動能。換個角度想一下，你不停地添加α粒子讓它受電場加速，和你不停地扔鐵球讓它受地球的引力場加速，有區別嗎？

題主的疑慮在於粒子通過電場獲得了動能，且電源沒有做功。問題在於前提錯了，電池做功了。當極板之間沒有粒子的時候，我們打開電源開關，給電容充電，電容獲得能量，粒子從上極板到下極板的時候。電勢能轉化為動能，電容的能量減少，然後電源給電容充電。電池不就提供能量了嗎。還有，電流的定義是單位時間內通過單位面積的電荷數，你在外面源源不斷的發射粒子，不就相當於電路是導通的嗎。其實這個問題等同於有人在高空中不斷向地面扔石頭，多餘的動能哪來的，勢能啊。這能量不是還是守恆的嗎。

你直接不停提供電子就是電流了，還要進行什麼二次發電。
提供XX本身就是外部能量來源了

收藏了，給我的學生答。

我不斷從斜塔上面往下推鐵球, 就可以源源不斷地獲得鐵球通過重力場增加的動能, 並且不消耗地球的能量.

添加α粒子時要克服電場力做功

電勢能轉為動能首先我們不能忽略邊緣電場

千萬不要認為粒子源處沒有電場