如何尺規作圖九等分一個圓？

看顧森大大的解法:Matrix67: The Aha Moments

趣題：如何用尺規作圖將圓面積N等分
一條直徑可以把圓面積二等分。兩條互相垂直的直徑可以把圓面積四等分。不過，對於任意的N，將圓面積等分為N個部分並不容易，因為圓周上的N等分點並不總是能用圓規和直尺做出來。1801年，Gauss證明了當n為2的冪和若干Fermat素數的乘積時，正n邊形可以用尺規作出圖來，同時他猜想這也是必要條件。1837年，Pierre Wantzel證明了這個條件的必要性。第一個無法用尺規完成作圖的正多邊形是正七邊形，也就是說你永遠無法僅用直尺和圓規找出圓周上的七等分點。
不過，這並不意味著我們不能將圓面積分成面積相等的七份。事實上，有一種方法可以將圓分成N個面積相等的部分，其中N可以為任意正整數。你能想到這種方法嗎？如果我們還要求各部分周長也相等呢？

不過，這個分法並不算一個「正統」的分割方法。如果我們要求每個線條都必需從圓周上出發，並且落腳於圓周上的另一點呢？

存在很多等分圓面積的切分方案，但我們卻不能用尺規作出來。例如，用N-1根平行的直線總能把圓面積等分為N份，可惜每根直線的位置在哪裡需要用到微積分計算，其結果是一個超越方程，無法用尺規作圖完成。當然，能用尺規作圖完成的分割方法還是有的，不過要想到這種方法並不容易。我們首先作出直徑上的七等分點（注意尺規N等分給定線段是可以辦到的——可以利用前面的相似三角形做法得到1/N的長度），然後像圖中那樣依次作出12個半圓弧。做一些簡單的計算就可以驗證，這些半圓弧形成的七個區域的面積確實是相等的。
另外，值得一提的是，這個切分方法還有一個神奇的性質：它的每一部分的周長都是相等的。