為什麼sqr(exp(sqrt(sqr(ln(cos(atan(sqrt(x))))))))=x+1？

12-08

一個有趣的函數，可是為什麼呢？

求高人解釋

$cos(tan^{-1}(x))=frac{1}{sqrt{x^2+1}}$ 這個你知道吧？

那麼
$cos(tan^{-1}(sqrt(x)))=frac{1}{sqrt{x+1}}$

然後你平方了又取平方根，取了對數再用指數，這個有點……

另外說一下：用SQR表示平方很不好。

等式只在 x&>0 成立。嘛，左邊那函數對於高中生的定義域也就是 x&>0，x&<0 需要解析延拓的，雖然結果還是實數值。

x&>0 時：
$[exp(sqrt{[ln(cos(arctan(sqrt x))]^2})]^2 = left[expleft(sqrt{ig[-frac{1}{2}ln(x+1)ig]^2} ight) ight]^2$ $={exp[ frac{1}{2}ln(x+1)]}^2=exp[ln(x+1)]=x+1$
QED.

求導