一個矩陣的所有元素都在0到1之間，它的特徵值在哪個範圍？

12-08

一個矩陣的所有元素都在0到1之間，它的特徵值在哪個範圍？

由Gershgorin circle theorem 可知，
1. 當該矩陣的特徵值都是實數時，屬於區間 $[-n+1, n]$ 其中n為矩陣的階。
並且容易驗證，區間的上界能取到。比如
當 $M = egin{pmatrix}1 1 cdots 1\ 1 1 cdots 1\ vdots vdots ddots vdots\ 1 1 cdots 1end{pmatrix}$ ，有特徵值 $n$ 。
2. 一般情況下，該矩陣的特徵值屬於複平面的區域 $U = igcup_{0leq z_0leq 1} D(z_0, n-1) =igcup_{0leq z_0leq 1} { z;| |z-z_0| leq n-1 }$

它的譜半徑在各行(列)元素和的最大值與最小值之間。