這個調和級數收斂的證明哪裡錯了？

12-07

既發散又收斂的無窮級數

哇，大晚上刷知乎一下子來精神了！

這篇論文的「證明」思路是：讓一部分級數先收斂起來，然後忽略不收斂的，最後實現絕對收斂！

前半部分是對的。調和級數去掉含9的項確實收斂，但這個結論早就有了。

後面那個『含9的n位自然數的倒數和＜不含9的n位自然數的倒數和』錯了。

在n比較小的時候，這個結論是對的。

問題在於，當n充分大的時候，幾乎所有的n位自然數都含9。

n位自然數有 $9 imes 10^{n-1}$ 個，其中不含9的有 $8 imes 9^{n-1}$ 個。所以不含9的n位自然數的比例是 $frac{8}{9} imes( frac{9}{10} )^{n-1}$ 。當n趨於無窮時，該比例趨於零。

所以，當n充分大時，幾乎所有的n位自然數都含9。

所以『含9的n位自然數的倒數和＜不含9的n位自然數的倒數和』的證明是錯誤的。

這種論文是如何通過審核的？╮(╯▽╰)╭

詳見論文：
調和級數仍是一個發散級數――與張慧同志商榷。

這人還是對自然數缺乏一些最基本的了解。
幾乎所有自然數都包含0~9這十個數字，這裡幾乎所有的意思是 $lim_{n ightarrow+infty}frac{left| mathbf{A} ight| cap left{ 1,2,...,n ight} }{n}=1$ ，其中 $mathbf{A}$ 是包含0~9十個數字的自然數集合。
他把幾乎所有的自然數都忽略了，得到這個錯誤結論不足為奇。

現在的論文太猛了

想當然了。後面位數多的時候，不含9的數字幾乎不存在了，如何能得出（含9、分母位數相同的分數之和）小於（不含9、分母位數相同的分數之和）的結論呢？

這篇是不是當年陝西科技大學那篇著名的調和級數既發散又收斂？

設調和級數和為 $H_{n}$ ，則有 $lim_{n ightarrow +infty }{H_{n} -ln(n)} =gamma$ ,其中 $gamma$ 為歐拉常數。把 $H_{n}=60$ 帶入，可以求得 $n=1.14 imes 10^{26}$ 。
我個人傾向於放鬆某些數學限制，例如允許發散級數收斂，尤其是像調和級數這種的，超過60都算到猴年馬月了。再超過70得 $10^{30}$ 。一定死守著絕對收斂，死守著正無窮的概念幹嘛。不如就以這種收斂為收斂，我們還能得出自然數不能無限增長的結論。這樣自然數之和收斂為負數就容易理解多了。為什麼數軸一定不能首尾相接呢？為什麼自然數之和收斂為負數一定要從複數角度去收斂呢，我們簡單想像數軸是能首尾相接就好了啊。
我個人始終覺得，數學不能為了形（chu）式（nv）美（zuo）完全拋棄物理現實，世界上絕大多數的物理現象算出來都是收斂的，然後又是發散級數的泰勒展開。死守著如此強的收斂概念會使得數學走向死胡同。當年古埃及就是矯（jian）情（ren），分數加法多簡單，一定要要求分子為1，導致從初等函數開始就進入無窮級數運算，從此數學就拜拜了。發散級數求和本來就是簡單的加加減減的事情，一定要說這樣不符合數學規律，但又符合物理現實，還嘲笑這些人，覺得抱殘守缺了。

問題是加括弧後的級數收斂原級數未必收斂

n分之1是發散的吧…這幾個都是發散的………發散與發散相加減可能是收斂也可能是發散的。

依稀記得無窮級數沒有加法交換律吧，所以應該並不能把含9的數提出來吧。

高中畢業狗，不對請輕噴。

現在三江大帝最新結論是收斂於61左右的一個確值

自己的知乎首頁突然推送了這個問題，我....

難得還用latex排版這麼仔細，有這耐心為什麼不多做一道數分習題？

為什麼我的首頁里會有這種英雄譜似的東西…