為什麼任何數開到很多（比如26）次平方根後都是無限靠近 1 ？

12-07

誠品書店的一個廣告文案提到：

所以，我所謂的忠誠定義，只是將不忠不停地開平方根，不停分裂給更多的對象，就像任何數字不停開平方根，第26次的結果永遠是1的永遠忠誠。
追加：感謝回答，我的本意是為什麼是開到第26次就無限接近1？

這句話在數學意義上是錯誤的。但是，在普通的非天文數字中間，它是近似成立的。

10 的負323次方，開26次平方根，結果是 0.9999889174。
0.0000000001 開26次平方根，結果是 0.9999996569。
0.0001 開26次平方根，結果是 0.9999998628。
0.01 開26次平方根，結果是 0.9999999314。
1 開26次平方根，結果是 1。
100 開26次平方根，結果是 1.0000000686。
10000 開26次平方根，結果是 1.0000001372。
一百萬開26次平方根，結果是 1.0000002059。
一億開26次平方根，結果是 1.0000002745。
10 的307次方，開26次平方根，結果是 1.0000105336。

原因很簡單， $1.1^{left( 2^{26} ight) }$ 就是一個天文數字，甚至 $1.0001^{left( 2^{26} ight) }$ 也是一個天文數字，我電腦上的 MathCAD 都算不出來。MathCAD 能算的最大的是 $1.00001^{left( 2^{26} ight) } =2.81 imes 10^{291}$ 。也就是說，任何比1大，比 $2.81 imes 10^{291}$ 小的數，開26次平方根的結果都介於 1.00001 和 1之間。

大於0小於1的數也是一樣，即使是10 的負323次方，開26次平方根，結果還是 0.9999889174。

也就是說，在 MathCAD 所能處理的數值範圍內，從 $10^{-323}$ 直到 $10^{307}$ ，開26次平方根的結果都介於 0.9999889174 和 1.000010534 之間。近似的說，你可以說這些數開26次平方根的結果都約等於1。

當然，你可以一直增大數字或者減小數字，開 26 次平方根的結果就會離 1 越來越遠。但是，整個宇宙的原子大約才只有 $10^{80}$ 個...

所以呢，這句話在純數學意義上是錯誤的。但是，在從 $10^{-323}$ 直到 $10^{307}$ 的非天文數字中間，它是近似成立的。

評論里有人認為可讀性不好，Python的可讀性很好但也和代碼風格有很大關係，Mathematica里的Nest/Fold對應Python的reduce，Do(For則是C風格的)更像Python里的for in ..

對於任何正整數x， $sqrt{x}$ = $sqrt{x*1}$ 相當於是對x和1求幾何平均，由於幾何平均小於等於算數平均，所以 $sqrt{x} = sqrt{x*1} <= frac{x+1}{2}$ ，所以當x&>1時，不停地迭代計算 $x := sqrt{x}$ ，其趨近於1的速度要快於二分逼近，也就是說即使是 $2^{26}$ ，迭代計算26次也會很接近1。一般的，不停地迭代計算 $x := sqrt{x*A}$ ，要優於計算 $x:=frac{x+A}{2}$ ，最終的結果會逼近A

計算機中常用的 64-bit 浮點數用 11-bit 表示階碼，也就是 2 的 -1024 次方到 2 的 1024 次方的範圍。
任何一個正的浮點數，只要開 10 次方（相當於階碼除以 1024），就會落到 0.5 ~ 2.0 之間。
再開 16 次方，就會很接近 1.0 了。

就算是所謂的「天文數字」，例如可觀測的宇宙半徑約 460 億光年（換算成 $10^{36}$ 納米），宇宙年齡約 138 億年（換算成 $10^{27}$ 納秒），宇宙的原子總數約 $10^{80}$ 個，也沒有超出浮點數的表示範圍（ $10^{-308}$ 到 $10^{308}$ ），因此這個「規律」是適用的。

顯然不是。
把x做26次平方得到y，然後把y開26次平方根得到的數x。令x不等於1，y就是反例，證畢。
或者，假設某個數開26次平方根得到1，求這個數，那麼解方程，把1做26次平方，還是1，也就是說只有1開26次平方根才是1。

不好意思，沒有認真讀題，一開始只看到了很多次開平方就答題了，其實這個只是個廣告文案而已，題主就不要糾結它在數學上成不成立了，其實這個命題是錯的
如果是無限去開方的話，就是對的了，如下面所證，可能這個寫廣告的覺得2的26次方已經很大了吧，所以就捏了個這麼個數
如過是開n（n-&>無窮）次方的話就是這樣一個極限問題，對於任何大於0的常數，當n趨近於無窮大時，它開n次方的極限，都是等於1

任何數。。。你TM開個0試試。。。

$sqrt{x} =x^{0.5}$
對x開26次根號= $x^{0.5^{26} } =x^{1.4901161193847656e-08}$ ，這個冪接近於0了，而任何一個數的0次方為1，所以結果是很接近1的。

是26次方根還是開平方26次？
當作後者來處理： $lim_{n ightarrow infty}{x^{frac{1}{2} ^{n} } } =lim_{n ightarrow infty}{x^{2^{-n}} }$
n趨近於無窮時2^n趨近於正無窮（用定義證明n趨近於無窮時2^n趨近於正無窮 (⊙o⊙)）
然後就
$lim_{n ightarrow infty }{x^{2^{-n} }} ={lim_{n ightarrow infty}{x^frac{1}{2^{n} }}} =x^{frac{1}{infty }} =x^0=1$

$x^{0}=1$
所以可以說是開無數次平方根，那麼就無限接近1.但是原文案中的26顯然是錯的，因為即使是26後面再加10個0，和∞比起來也太小啦！（寫文案的肯定不是死理性派咯……
高一學生剛學了一點極限，有問題請指出o(≧ω≦o)

我覺得這個問題的答案在於函數的不動點。

如果x0 = f(x0), 那麼x0就是函數f(x)的不動點.

容易看到, 一個函數f(x)的不動點是它和y=x的交點。

引用維基百科上的定義：

函數 f 的吸引不動點是 f 的不動點 x0 使得，對在足夠接近 x0 的定義域中的任何 x 值而言，迭代函數序列，x, f(x), f(f(x))..., 收斂於x0。

所以, 函數的吸引不動點是可以通過重複調用f(x)來近似的.

對於樓主的問題來說，1是f(x) = $sqrt{x}$ 的一個吸引不動點，可以對於給定初始值進行反覆開平方來得到近似值。對於比較小的數，26次開方可能可以收斂到1. 對於比較大的數字，26次可能是不夠的，但是還是會逐漸接近1.

為什麼這個簡單的問題沒人用極限來解釋。
題主應該指的是實數。x的1╱n次方，x是有限大正實數，n是正數。取對數ln，再求極限，就是n→∞時，1╱n乘以lnx等於0，也就是ln1，也就是趨於1。
題主掉了太多條件，26也沒有代表性，只是26在x=1.00001之類的數時可認為是無窮大。

我想，答主是看了《誠品副作用》

首先，廣告里的東西信3分，聽7分，別較真。

其次，這段話本身只是以吸引為主，其語言邏輯類似王家衛先生那種無追尋式的風格，充斥藝術處理。

舉個例子罷，當你聽到「十六號，四月十六號。一九六零年四月十六號下午三點之前的一分鐘你和我在一起，因為你我會記住這一分鐘。從現在開始我們就是一分鐘的朋友，這是事實，你改變不了，因為已經過去了。我明天會再來。」這種話語時，你會在乎下午三點之前的一分鐘到底是1分半還是50秒出頭么。

種種，以上

因為1是開方運算的不動點，大於1的數開方後小於自身，而小於1的正數開方後大於其本身，如此這麼進行下去就會逼近一個穩定的狀態就是1啦

桓大和數學體海報和這個誠品廣告是誰學誰啊，現在都搞高難度數學題廣告啊，

極限是1和它就是1是兩個概念好吧。

極度見不得這種言論。。
忠誠是什麼?忠誠於初識的你或事？還是變化後了的？

另外這個人的數學是語文老師教的。。。。

大於1的實數要開無限次才會無限接近1。開有限次，結果與1的差還是有限的。

你拓麻怎麼不開個負數試試。。開你一堆i出來。。

除1外，任何數先平方21次，再開方21次，肯定是他本身（絕對值）不是1

2的26次方是67108864……

之前回答太草率了，感謝大家更正，補充一下：
2的26次方是67108864，2^67108864開26次是2，3^67108864開26次是3……

i have something to say...

難道沒有人考慮虛數么？

問題或回答里有「任何」這個這個詞通常都是錯的。