虛數 i 是真實存在的嗎？還是被人們創造出的數學工具？

12-07

我記得高中學這個的時候，書上說是為了對-1進行開方，所以引入了虛數i，為什麼要對-1開方？

現在學習虛數燒掉的腦細胞，在以後一定能夠省回來的。
虛數的使用實際上擴展了數學的維度，簡化了很多問題。
舉個中學級別（也許是大學）的例子，來說明虛數是怎麼做到這一點的:

（好多人評論說看不懂這個例子。。。
那就只看加粗部分吧，重點在於思維，而不在於具體的解答過程。）

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情景A：

假設有一個光滑的碗。碗底在原點，碗的函數近似一個拋物線（但其實不是拋物線！）
碗裡面放一個小球，小球不在碗底。假設小球的初始x坐標為x0，速度為0。
當小球被釋放以後，它在碗里會做來回的擺動，憑想像都可以腦補出它的運動模式。
我們假設小球在任何位置受到的x方向加速度都正比於它的x位移，即 a = -kx 。注意不要漏了負號，因為這個加速度和小球的x座標方向相反。
求小球在x方向上的運動函數 x(t)。

其實答案都不用算，根據彈簧的類比，可以推測出小球在做簡諧運動。因為碗是個光滑的表面，小球會在裡面往複滾動，而且因為能量守恆，小球永遠跑不出x0的範圍。

用數學的公式表達，小球的運動函數是一個三角函數 $x(t)=x_0cos ({sqrt k t})$

當然這個情景有個特殊的情況：
當正數k無限接近0的時候，小球的振蕩周期無限延長。當k等於0的時候，小球要麼不動，要麼做勻速直線運動（前提是有個初速度），因為這時候碗就變成了一塊平板。（自行腦補）

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情景B：

現在把碗倒扣過來，其它條件不變，求小球的運動函數。

答案也不難，小球會一直往外滾出去，而且速度越來越快。
小球的加速度這時候變成了 a = kx。注意這時候就沒有負號了，因為加速度是和小球的x位移同方向的。這時候小球的運動函數應該是個指數函數
$x(t)=x_0e^{sqrt kt}$

這個情景同樣有個特殊情況：當k=0時，小球靜止或者做勻速直線運動，和A的特殊情況是完全一樣的。

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下面到了劃重點的時候：

我們只不過把碗翻了個面，(小球的加速度沿x方向反轉一下而已)，就像把正數變成負數，把負數變成正數一樣。而我們得出來的方程形式完全變了，一個用三角函數，一個用指數函數。

現在要放開思維去想：為什麼對於兩個極其相似的情景，簡直就是陰陽的兩面，我們就要用兩種根本不同的函數去描述？
還是說這兩種函數本來就有一種內在的聯繫？

那麼就去探究一下它們的內在聯繫。

假如我們不考慮碗底朝上還是朝下，直接用a = Kx 來表示小球的加速度。注意這裡用大寫的K代替了k，強調這個係數K是可以取正或負值的！那麼小球的運動函數可以用這個微分方程來解

$x"-Kx=0$

這個方程是學過高數的人都會解的。

一個 ax"+bx"+cx=0 (且a!=0) 的形式的方程，其解的指數可以從: $alambda^2+blambda+c=0$ 的兩個根求出來。

那麼以上這個微分方程的解的形式應該是 $x=e^{sqrt Kt}$

（這裡忽略了正負符號和常數。嚴謹的做法是要加入邊界條件。不過這不是重點，先不作討論。）

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注意我們把K放進了根號里，但是一直沒有對K的正負號進行討論。記得前面說過，大寫的K代表它是可以取正或者取負的吧？現在來對這個函數 $x=e^{sqrt Kt}$ 中K的正負性進行討論。

如果K為正，那麼就跟情景B一樣，直接解出指數函數。

但是如果K為負，即情景A的，這個負號就要出現在根號裡面。怎麼辦？我們可以把根號負一單獨拿出來作為常數i，然後其它的運算就可以作為實數處理了。

所以情景A的解其實是 $x=e^{isqrt {|K|} t}$
對比一下情景B的解： $x=e^{sqrt Kt}$

這個寫法是不是更直觀一點呢？兩個情景應該是有非常相似的函數表達式的。那麼情景A裡面指數根號負一怎麼處理呢？

已知情景A的解是一個三角函數（可以通過實驗來證明），那麼虛數指數的函數就應該對應實數的三角函數，這就是指數函數和三角函數之間的內在聯繫。

其實這就是大名鼎鼎的歐拉公式
$e^{ix}=cos x+isin x$

所以以後學信號處理，時域/頻域變換的時候，寫簡諧公式再也不用考慮是用sin還是cos了，直接寫 $e^{iomega t}$ ，多簡單。兩者本來就是陰陽互補的兩面。

虛數不過是晚覺醒了一點，結果連生存權都被質疑了！「為什麼要對-1開方？」，聽聽，聽聽，這是什麼話？難道連歐拉賦予的神聖不可侵犯之開方權都要剝奪了嗎！

那我們豈不是可以問了，「為什麼要對2開方」，「為什麼要對3開方」？這是改頭換面的畢達哥拉斯復辟，毫不掩飾的實數中心主義 (Rational-number-centrism)。註定要被數學的車輪無情碾過，化作複數代數閉域中 i 粒無足輕重的塵埃。

無理數在歷史上不也曾遭到過畢達哥拉斯分子(Pythagoreanist)的恐怖襲擊嗎？現在這些缺乏記憶力的實數癌們，卻自以為和有理數同帶一頂帽子就高出一等，仿若跨過了所謂「可比」與「不可比」的鴻溝，可以和整數分數一起自由的作分子分母了，卻看不到有理數內部根深蒂固的不平等，有的數只有一個平方根，有的數做不了對數的底，還有的數連分母都當不了。

全複數域的虛數，聯合起來！！！

PS: 有實部的複數也是在為實數癌作倀，要好好教育，改造思想。

我時間有限，就隨便寫幾句吧。

實際上歷史上許多數學家都對虛數這個概念感到不自在，畢竟「平方等於-1」這樣的數無論如何都有悖於直觀；高斯一度都不願輕易在論文中使用複數方法，因為他知道當時的數學界並沒有完全接受這個新事物。

當年高斯很早就接受了複數，對他來說複數和實數同樣直觀。原因很簡單：人們完全可以避免使用"i的平方等於-1"這樣的說法。我們可以這樣定義複數：

定義集合C，C中的元素形如實數對（x, y）。我們可以在C中定義四則運算：

設 $a=(x_1, y_1),quad b=(x_2, y_2)$ 皆為C中元素。則：

$a+b = (x_1+x_2,quad y_1+y_2)$

$a-b = (x_1-x_2, quad y_1-y_2)$

$a imes b = (x_1x_2-y_1y_2, quad x_1y_2 + x_2y_1)$

$a / b = Big(frac{x_1x_2 + y_1y_2}{x_2^2 + y_2^2}, quadfrac{x_2y_1- x_1y_2}{x_2^2 + y_2^2}Big),quad x_2y_2 eq 0$

很容易看出來，這個集合C就是複數域（當然如果你不習慣的話也可以就叫它「集合C」）；實數域R是C的一個子集，如5這個數在C中的表示就是(5, 0)；並且，容易驗證C中的運算對於R是相容的，即對於兩個實數a和b，a*b在R中運算的結果和在C中運算的結果是一定是相同的。

我們可以把所有實分析中的概念全部在集合C中重新定義一遍，如收斂性，連續性，各種初等函數，級數，微分，積分等等。在集合C中，許多數學對象有著更美好的性質，很多更深刻的本質被揭示出來，在C中我們可以看到「bigger picture」。至於有哪些bigger picture我就不細說了，大家可以看複變函數的教材；我這裡只說一條可能是最重要的bigger picture：

在C中所有的多項式方程都是有根的。換成術語的話，我們說C是一個代數閉域（不僅如此，C還是一個特殊的代數閉域：它是包含實數域R的最小的代數閉域）。

現在考慮方程 $x^2 + 1 = 0$ ：

1，我們可以把它看做是一個R上的方程，因為其係數皆為實數。然而它在R上沒有根，即不存在實數使得這個方程成立。

2，我們又可以把它看做C上的方程：

$(1, 0) cdot (x, y) cdot (x, y) + (1, 0) = (0, 0)$

此時容易驗證C中的元素(0, 1)和(0, -1)是上面方程的兩個解。人們給這兩個解起了名字，一個叫i，一個叫-i。

你既可以認為(0, 1)就和自然數一樣是物理世界的客觀存在，也可以認為它只是數學家們創造的工具；但無論如何，現實就是包含(0, 1)的代數系統是現代科學的根基。

大家都不用去提無理數，就說自然數，人類歷史上長時間只需要數到幾千至多幾萬，更大的數用約數、用誇張、用比喻就夠了。那時的人也會問，10000000000000000這個數真實存在嗎？沒有任何東西有那麼多呀！好，就算你科技樹點歪知道宇宙是由基本粒子組成，有比如說10^50個粒子，那10^10^50這個數真實存在嗎？

這裡根本用不上什麼擴展數域的知識，只需要明確一點：數是定義出來的，而不是在自然界被發現的，因此不像自然界的客觀對象一樣有「真實」與否的概念，問一個數是否真實存在，這個問題就是錯的。只要我們能通過它的運算性質把它定義出來，那麼它就是存在的。

實際上任何數字都不是真實存在的，都只是我們用來描述一些事物而規定的數學模型而已。
我們最早接觸的數字，都只是用來描述一些前顯易見的東西的，但是隨著生產力的提高，我們才逐漸發現各種各樣不同的數字。
比如，
1，在原始社會，當我們需要描述物體（比如果實、獵物、工具、人數等）的個數的時候，我們會用到正整數（有些時候稱它們為自然數）。但這並不代表正整數是存在的。

（圖侵刪）
2，在進入了階級社會後，我們需要描述可拆分物體（比如糧食、田地、木棍等）的均勻分配時，我們需要引入分數的概念。此時數域拓展到正有理數，所有的數字都可以由兩個正整數之比表出。但這並不代表正有理數是存在的。

（圖侵刪）
3，當社會繼續發展，我們需要用勾股定理來更加精密地表示長度，在這種情況下，我們需要引入無理數。此時數域拓展到正實數。但這並不代表正實數是存在的。

（圖侵刪）
4，當社會發展到意識到方向的前後和動作的相反（比如盈虧、南北、左右、東西、出入、相對高低），我們引入了負數的概念，用於將兩種截然相反的動作、行為統一起來。此時，數域拓展到了實數，但這也不代表實數是存在的。

（圖侵刪）
……
後來，在某些需要用到矢量運算、交變電流、傅里葉變換的領域，我們發現用帶虛數單位的數字來描述問題能更好地解釋問題的時候，數域就擴展到複數了。但這也不代表虛數單位是存在的。

（於是我們回到題主所問的問題上來）

題主之所以會有這種「虛數單位i是否真實存在的疑問」，原因只有一個，那就是相比於上述諸如正整數、分數數、無理數、負數的建模，我們已經太熟悉了，以至於可以在生活中找到很多例子來說明這些數字的用途，並覺得它們彷彿是存在的。

早在學前教育的時候，幼兒讀物上就會畫著4個蘋果，並說這個是4；
早在小學的時候，小學數學課本上被分開的大餅下面就會寫著5/6,7/11之類的數字；
早在我們看到天氣預報的時候，我們就會知道-1°C比0°C還要冷；
早在初中的時候，我們就聽說過勾股定理。
……
但是，那些關於複數在生活中實際應用的問題，幾乎找不到，因此答主會覺得「虛數i到底存不存在」。
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補充：
以我個人的學習經歷來看，我最初是在大學本科的電路分析課程上接觸到複數的物理含義的。它用於表示給定頻率下的交變電流、電壓、元器件復阻抗的性質。但是，理解這些性質需要先理解：複數運算的規則、微分和積分、電容電感電阻的基本充放電性質。相比於實數，這些知識內容都是很難被小學生快速掌握的。

虛數是確實存在的！

事實上，許多重要的物理和工程的理論都離不開虛數。同時，理解虛數也是理解量子物理的前提。

我相信關注這個問題和對此類問題感到疑惑的大多數是高中生或者非工程、電氣或物理專業的人。說實話我第一次接觸虛數的時候也確實感到一頭霧水，同時又感到很神秘。因為高考不考這方面的內容所以也就沒有深入學習下去。但是當真正學習虛數及其在工程和物理方面的應用後，著實有一種豁然開朗，發現新世界般的感覺。

其實虛數概念並不複雜，稍加解釋便能解釋清楚。只不過在一般生活中應用很少，所以一般人並沒有虛數的概念。可是虛數在物理，工程，電氣方面的應用非常廣泛。比如著名的薛定諤方程中就出現虛數，虛數在控制理論中必不可少，在電氣工程中也極為重要。

幾個高票答案已經給虛數很好的解釋，可是我覺得對於從沒有虛數概念的人來說還不夠直觀。我的答案就試圖通過最簡單直觀的方法解釋什麼是虛數並儘力讓你感覺虛數同你所理解的大多數一樣真實存在。

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想要正確理解虛數，首先需要重新思考一下我們大多數人所理解的數。比如正數，負數，小數。

一、數字的概念--數軸

當我提到數字的時候，我想大多數人腦海中會立即出現這樣一個軸，我們生活中遇到的數全在上面。有正數，分數，零，負數，有理數，無理數。。。

但是人類有「數字」這個概念實際上並不像大多數人想像中的那樣理所當然。人類一開始也沒有數字的概念。好吧，那我們就先從一片空白開始：

遠古時期的人類只有自然數的概念。這很容易理解。因為這正體現了人們為什麼要使用數字。你給我一頭牛，我跟你換兩隻羊。實實在在的物體無法分割也無需分割。這時，數字是數軸上斷斷續續的點

後來，當文明不斷進步，人們需要解決一些更複雜的問題，比如經濟往來。這時人們發現自然數有時候就不夠精確了。比如把七塊錢分給兩個人，那每一個人應該分三塊加一塊的一半，但是那一半怎麼表示呢？於是，在公元前1800年，古埃及人發明了一種劃時代的計數方式 ---- 分數。有了分數之後，數軸上自然數之間的空隙就被填補，所有在兩個自然數之間的數都可以用分數表示了！然而，在接下來的兩千多年裡，人們對數軸的全部認識也只包括了自然數和分數。

再後來，人們又對數軸有了新的認識。為什麼數軸是單向的呢，如果數字往另一個方向走會是什麼？

於是人們又發現原來在數軸上還有零和負數。

但是，並不是所有的人都接受零以及看上去毫無意義的負數。想想我們第一次聽說負數的感覺吧。至少我記得我當時覺得這玩意兒除了考試沒啥用。當然，有這樣想法的肯定不止我一個：
直到公元前十七世紀，發明分數的古埃及人才認識到了零在數軸上的位置。古巴比倫人在公元前三世紀才意識到零在數學中的意義。而這一點，中國人在公元前二世紀才意識到。但是和前兩者不同的是，幾乎是同一時期，中國人承認了負數的存在，但是前兩者還並未意識到負數。

二、更完整的數字體系 -- 複平面

現在來看一個函數 f(x) = x^2 + 1. 我們可以將函數畫在一個xy坐標中。於是我們就獲得了一個的弧形。

現在我們來找這個函數的根，就是函數與x軸的交點。正如你所在圖中看到的，函數的圖像不會與x軸有任何的交點。換句話說，這個函數沒有根。可實際情況真的是這樣嗎？

差不多200年前，數學家高斯（對！就是那個算1加到100的高斯）提出了一條重要的理論：

任何一個n次方的函數都有n個根

換句話說，f(x) = x^2 + 1是個二次方函數，理應有兩個根。可是，我們到那裡能找到這預言中的兩個根呢？

答案是：我們的數不夠用了 ---- 在我們習慣的由有理數和無理數組成的數字系統中找不到這樣的數使得 x^2+1 = 0.

正如本文一開始所說，人們一般將所有的數想像在一條連續的一維直線上，如圖：

請注意，我特意在這裡強調了「一維」是因為我們要找的根並不在這條直線上 ---- 或者說並不在這條直線的維度中 ---- 他們活在另一個維度的世界中。。。

這個新的維度，就是虛數的維度！

現在我們可以將數軸拓展，並不是讓他變得更長，而是增加一個維度，將數軸拓展到一個二維的平面，數學家們稱這個平面為複平面。你可以將複平面想像成我們熟知的xy坐標系，在這裡，x軸是我們熟知的數軸，y軸就是虛數軸，單位長度是 $sqrt{-1}$ ，我們也將這個值表示為 i。如圖：

這樣一來，每一個數都有兩個部分，即實數部分和虛數部分。我們可以用 u + wi 表示任意一個在這個複平面上的數。比如 2+2i，這是一個我們常見的虛數。或者是1 可以表示為 1 + 0i。因為這個數的虛數部分是0，所以他就在我們的數軸上，他就是我們常見的數字1.

如果在原有xy坐標系的基礎上我們再加一個虛數的維度用來表示x的虛數部分，那麼在新的三維坐標中，一條軸表示x的實數部分，一條軸表示x的虛數部分，另一條軸表示y（其實是y的實數部分）。現在當我們重新畫f(x) = x^2 + 1的圖像時，得到的會是如下圖所示的一個曲面。其中紅色原點處就是我們要找的那消失了的根！

為什麼只有一個？因為另一個根在圖中紙的另一面，位置在（0，i）

我們只有將數軸拓展到一個二維平面時我們才能「看」到那兩個消失的根。這表明我們平常使用的計數體系並不完整！
好了，我們已經找到了f(x) = x^2 + 1消失的兩個根，並且知道這兩個根在複平面的另一個不同於實數軸的維度上。可是，這並沒有解答樓主的問題 --- 虛數是真實存在的嗎？
正如你在剛才例子中所看到的那樣，虛數是真實存在的，他只不過活在了另一個維度中，一個看不見摸不著但是可以被我們想像到的維度中。這一開始很難接受，可當你習慣用複平面思考後，你就會意識到它是實實在在存在的。正如同在現實中負數也是看不見摸不著的（比如你說「我有-1個蘋果」在現實生活中毫無意義）但是你卻接受它的存在一樣。
實際上，讓多數人對虛數感到困惑主要原因是「虛數」這個名字起的非常糟糕。「虛數」聽上去好像就是一個虛無縹緲並不存在的數。就連高斯本人也覺得這個名字起得極差。他拒絕使用imaginary number(虛數)這個稱謂來稱呼虛數，而是使用lateral number（「側數」或者「旁數」）來稱呼虛數。他這樣做似乎在暗示虛數並不是無中生有，他就在你所熟悉的數軸的旁邊。

結論

虛數是實際存在的，它就如同你所熟悉的任何其他數一樣，可以進行四則運算以及開根號。虛數的發現極大的拓展了人類對數本身的認識也從而極大地物理學以及工程的研究。可是這就是盡頭了嗎？記得從小學到高中，當課本引入分數的時候，標題是「數怎麼不夠用了？」，當引入負數的時候標題是「數怎麼又不夠用了？」。現在當我們了解了虛數並且將我們的計數體系從一維拓展到二維之後，會不會在不就得將來發現數怎麼還不夠用啊！目前看來，答案是否定的。我們的數終於夠用了！數學家已經經過嚴格的證明證明了複平面是完整的，也就是說複平面中任何兩個數做任何運算時，結果都可以被另外一個在複平面中的數所表示。而且，在目前的物理學研究中，也再沒出現過數不夠用的情況了。

一點點題外話

當人們發現他們找不到理論所預言的函數根時，我們拓展了數軸，發現了活在另一維度中的數。當人們發現經典物理無法解釋微觀粒子的運動時，量子物理應運而生引領了幾乎全部的現代物理學研究。每當人們的觀察和已有的理論相矛盾或者觀測到了理論無法預測的現象時，其背後往往隱藏著一個更大的更革命性的發現。

虛數 $i$ 是不是真實存在的，這真的不是一個顯而易見的問題，而且按照中國教材的編寫順序，數學教育中第一次出現和現實脫離的概念大概就是虛數，這應該是教育中一次很好闡述數學思想的時間和機會。

1 數系的擴展

數系的擴展過程直觀上來說就是給數軸「填坑」的過程。

1.1 整數

自然數出現是挺自然的，小孩自然就知道了一個蘋果、兩個香蕉，去掉蘋果香蕉，剩下1、2，就是數學的初步抽象。

這個時候數軸上有沒有坑啊？當然有了。

1.2 有理數

數軸上還有坑嗎？當然有。

整數與整數的比就是有理數。有理數這個名字翻譯的有點意思，英文是rational number，明明是可以翻譯為」比例數「（就是整數和整數的比），讓我以前一直覺得後面出現的無理數好粗魯。

1.3 無理數

有了整數和有理數之後，數軸還有沒有坑？這個問題真的不那麼顯然了。任何兩個有理數，比如說0.5和0.7，平均值 $frac{0.5+0.7}{2}=0.6$ 還是有理數，不論這兩個有理數之間隔得有多近。就是說任何兩個有理數之間不可能相鄰，他們之間必定還有有理數。看起來就彷彿在數軸上連綿不斷。

$sqrt2$ 是第一個發現的無理數，因此還引發了第一次數學危機。

我們回頭來看看 $sqrt2$ ，不通過證明我們還真沒有辦法說明它不是有理數，實際上大多數時候，無理數都需要證明，比如 $e$ ， $pi$ 這樣有名的無理數，在證明之前我們並不知道它是有理數還是無理數，而且證明難度還不小。

這裡稍微提一下，其實無理數的數目要比有理數多得多。我們知道，有理數是無限循環小數，無理數是無限不循環小數。我們直觀的來想像一下，我們面前有10個球，上面標著0到9的數字，我們閉著眼睛隨機抓取一個球，球上標註的數字就作為小數點後面的第一個數字，把球放回去再抓，就作為第二個數字，無限的抓下去，生成有理數的概率為0（概率學裡面，概率為0不並意味著事件完全不可能發生，而是說幾乎不可能）。

其實無理數才是常態，有理數才是沒有道理的數。

1.4 實數的連續性

現在，數軸上有了整數、有理數、無理數了，數軸上還有坑嗎？沒有了。

怎麼證明？呃，這個證明雖然不複雜，但是有點燒腦，跳過吧，不妨礙後面的講解（謝謝評論區的同學指正）。

整數、有理數、無理數統稱為實數，實數是連續的。

直觀理解連續，就是數軸上沒有坑了，再也不可能有別的數了。

實數的連續性是非常重要而且基礎的性質，沒有實數連續性，函數就不連續，函數不連續，可微可導微積分都沒有了，真不知道世界會是什麼樣子。

再比如，我們想想，有理數是一個個的點，長度為0，就算無數多個有理數加起來，長度還是為0，那麼長度是哪裡來的？連續的實數才有長度，怎麼證明？也無法證明，這是關於連續性的一種性質。

至此，我們把實數稱為」完備「。

當然，還有人說，我可以不破壞實數的各種性質，但是可以在實數的縫隙裡面加上無窮小量（在上面的實數理論中，無窮小量不是確確實實的數，只是一個概念），就這麼創造了新的實數，這種實數自有它的用處，不過目前不是主流。

1.5 數學並非科學

什麼是科學？科學很重要的一點是，可以被證偽。比如說我們說水的沸點是100攝氏度，那到底是不是呢？用溫度計量了就知道。科學的研究需要用事實來證明或者證偽。

從實數理論來看，我們可以認識到一點，數學並非科學。比如上面說的無窮小量到底是不是數，就可以被隨意的定義了，在這個基礎上，沒有邏輯矛盾的推出了各種理論理論，自然也沒有辦法證明和證偽。

所以數學會從各種公理出發建立很多分支，不過如果和科學研究脫鉤的話，這個分支也不會有很多人去研究它，慢慢也就失去了活力。當然也有很多分支本來也只是少數數學家的玩具，後來被發現可以作為工具進行各種數學研究。現在可能最純粹的數學只有」數論「了。

想起一個愛因斯坦的公案，愛因斯坦作為一個理論物理學家，工作方式很像是一個數學家，從光速不變這個假設出發，推出了」相對論「，學術界都說，你好牛哦，說的好有道理哦，但是，諾貝爾物理學獎沒有辦法頒給他，因為證明不了也證偽不了！頒獎委員會當時的心態是」我好想給愛因斯坦頒獎哦「，就在愛因斯坦的研究中找個靠譜的」光電效應「頒獎。

2 虛數是否真是存在？

虛數這個名字，指出了一點，虛數在現實中沒有對應物的，是一個人工數。

似乎是人工數就必然不真實，讓我們來看看是不是？

2.1 虛數開始是數學家的玩具

古代的數學家也和我們一樣，也玩24點，義大利米蘭有個數學家叫做卡當，出了一個題，能否把10分成兩部分，讓它的乘積為40？他給出的答案是， $(5+sqrt{-15})(5-sqrt{-15})=40$ ，這裡負數第一次出現在了根式里，不過就好像幾何題劃的輔助線一樣，雖然參與運算，但是並沒有意義。數學家也不可能給輔助線專門定義一個概念。

2.2 虛數似乎沒有充分存在的理由

虛數 $i=sqrt{-1}$ ，這個就是 $i$ 的定義。

聽它的名字就感覺它是「虛」的：

從自然數擴張到整數：增加的負數可以對應「欠債、減少」
從整數擴張到有理數：增加的分數可以對應「分割、部分」
從有理數擴張到實數：增加的無理數可以對應「單位正方形的對角線的長度（ $sqrt{2}$ ）」
從實數擴張到複數：增加的虛數對應什麼？

虛數似乎只是讓開方運算在整個複數域封閉了（即複數開方運算之後得到的仍然是複數）。

看起來我們沒有必要去理會 $sqrt{-1}$ 到底等於多少，我們規定 $sqrt{-1}$ 沒有意義就可以了嘛，就好像 $frac{1}{0}$ 一樣。

我們來看一下，一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a eq 0)$ 的萬能公式：其根可以表示為： $x=frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ，其判別式 $Delta =b^2-4ac$ 。

$Delta >0$ ：有兩個不等的實數根
$Delta =0$ ：有兩個相等的實數根
$Delta <0$ ：有兩個不同的複數根，其實規定為無意義就好了，幹嘛理會這種情況？

數學家很吝嗇的，不會為這點微不足道的好處去增加概念。虛數如果只是讓開方可以封閉，運算出來的結果還是虛數，這個理由不充分。

對於數學而言，概念、公理越少越好，越少數學的根基就越穩固。歐式幾何的五個公設，兩千年來數學家都在企圖去證明第五公設，只為了減少一條公設。

2.3 虛數是解一元三次方程的必須工具

我們再看一下，一元三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0(a eq 0)$ ，一元三次方程的解太複雜了，這裡寫不下，大家可以參考維基百科，但願大家能夠打開。

我們討論一下 $b=0$ ，此時，一元三次方程可以化為 $x^3+px+q=0$ ，其根可以表示為：

$egin{cases} x_1=sqrt[3]{-frac{q}{2}+sqrt{(frac{q}{2})^2+(frac{p}{3})^3}}+sqrt[3]{-frac{q}{2}-sqrt{(frac{q}{2})^2+(frac{p}{3})^3}}\ x_2=omega sqrt[3]{-frac{q}{2}+sqrt{(frac{q}{2})^2+(frac{p}{3})^3}}+omega ^2sqrt[3]{-frac{q}{2}-sqrt{(frac{q}{2})^2+(frac{p}{3})^3}}\ x_3=omega ^2sqrt[3]{-frac{q}{2}+sqrt{(frac{q}{2})^2+(frac{p}{3})^3}}+omega sqrt[3]{-frac{q}{2}-sqrt{(frac{q}{2})^2+(frac{p}{3})^3}} end{cases}$

其中 $omega =frac{-1+sqrt{3}i}{2}$ 。

判別式為 $Delta =(frac{q}{2})^2+(frac{p}{3})^3$ ，注意觀察解的形式， $Delta$ 是被包含在根式裡面的。

$Delta >0$ ：有一個實數根和兩個複數根
$Delta =0$ ：有三個實數根，當 $p=q=0$ ，根為0，當 $p,q eq 0$ ，三個根裡面有兩個相等
$Delta <0$ ：有三個不等的實根！懵了，要通過複數才能求得實根？

要想求解三次方程的根，就繞不開複數了嗎？後來雖然發現可以在判別式為負的時候通過三角函數計算得到實根（謝謝匿名網友勘誤），但是在當時並不知道，並且開始思考複數到底是什麼？

求解方程組，確實讓人覺得虛數是一個數學工具，但是還是沒有揭開它的本質，還不足以讓其登堂入室。

2.4 虛數真實存在的理由

這個必須從泰勒公式的收斂性說起，關於泰勒公式可以參看這篇詳盡的科普文章：

如何通俗地解釋泰勒公式？。

泰勒公式的收斂性直觀來說就是泰勒級數（即泰勒公式展開後的級數）的函數圖像是否能夠貼合原函數，這個和泰勒級數本身的收斂性有關。

2.4.1 $f(x)=sin(x)$ 的收斂性

在 $x=0$ 點泰勒展開， $displaystyle sin x=sum _{n=0}^{infty }{frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$ ，級數的收斂範圍是 $-infty <x<+infty$ ，如圖，用 $n$ 來表示展開的階數（階數即泰勒級數裡面求導的次數，或者可以理解為級數多項式的最高次數)：

$sin(x)$ 的泰勒級數在整個實數範圍收斂，展開的階數越多，對原函數的貼合就越好。

2.4.2 $f(x)=frac{1}{1-x}$ 的收斂性

在 $x=0$ 點泰勒展開， $displaystyle frac{1}{1-x}=sum _{n=0}^{infty }x^{n}$ ，級數的收斂範圍 $left|x ight|<1$ ：

從圖中可以看到，泰勒級數在 $left|x ight|<1$ 收斂。超出這個範圍，泰勒級數的圖像就遠離原函數的圖像。

在 $x=0.5$ 點泰勒展開， $displaystyle frac{1}{1-x}=sum _{n=0}^{infty }2^{n+1}(x-0.5)^{n}$ ，級數的收斂範圍 $0<x<1$ ：

從圖中可以看到，泰勒級數在 $0<x<1$ 之間收斂。超出這個範圍，泰勒級數的圖像就遠離原函數的圖像。

對比這兩個展開的收斂區間，我們看不出什麼特點出來，我們以收斂範圍作為直徑，展開點作為圓心來畫下圓（這個圓被成為泰勒級數的收斂圓）看看：

在不同位置展開的泰勒級數的收斂圓都相切於 $x=1$ 這根直線。

解釋一下原因， $f(x)=frac{1}{1-x}$ 有一個奇點，即 $x=1$ 的話，有 $frac{1}{1-x}=frac{1}{0}$ 沒有定義，而泰勒級數的圖像會以展開點為中心對稱（容易驗證，級數不是奇函數就是偶函數），所以如果在 $x=0$ 點展開的話，因為 $x=1$ 有 $f(x) o infty$ ，所以對稱的位置 $x=-1$ 有 $f(x) o -infty$ 。同理如果在 $x=0.5$ 點展開的話，因為 $x=1$ 有 $f(x) o infty$ ，所以對稱的位置 $x=0$ 有 $f(x) o -infty$ 。

數學總是有道理的對嗎？

2.4.3 $f(x)=frac{1}{1+x^2}$ 的收斂性

在 $x=0$ 點泰勒展開， $displaystyle frac{1}{1+x^2}=sum _{n=0}^{infty }(-1)^ nx^{2n}$ ，級數的收斂範圍 $left|x ight|<1$ ：

可以看出， $frac{1}{1+x^2}$ 很奇怪的在 $left|x ight|<1$ 收斂，可是 $frac{1}{1+x^2}$ 本身並沒有奇點啊？

在 $x=1$ 點泰勒展開，級數的收斂範圍 $1-sqrt{2}<x<1+sqrt{2}$ ：

可以看出， $frac{1}{1+x^2}$ 在 $1-sqrt{2}<x<1+sqrt{2}$ 收斂，仍然很奇怪。

對比這兩個展開的收斂區間，看不出什麼規律來，同樣的畫下收斂圓看看：

注意兩個圓的交點是 $(0,1)$ 或者放到複平面上去就是 $(0,i)$ 。這並不是巧合，確實是和虛數有關。

很長時間數學家都不知道為什麼 $frac{1}{1+x^2}$ 收斂範圍這麼奇怪，直到虛數出現之後，大家才知道 $x=i$ 的話，有 $frac{1}{1+x^2}=frac{1}{0}$ 是個奇點！

整個推論過程從頭到尾就沒有出現過 $i$ 的身影，最後卻不得不考慮 $i$ 。泰勒公式也使得數學家不得不認真面對虛數這個問題。

數學還是很講道理的對嗎？

泰勒公式的收斂性不得不讓我們這樣去考慮問題，虛數是真實存在的。我們長期習慣了用實數去思考數學問題，直到我們發現實數只是真實存在的複數的一部分。把實數比作三維空間，複數就是四維空間，泰勒公式就是生存在四維空間的動物。當我們在實數範圍內研究泰勒公式時，我們發現它的行為好奇怪，最後才發現原來這不過是它在三維空間的投影。

實數是複數的一部分，用實數去研究數學問題並不是說不正確，就好像用牛頓力學在微觀領域沒有建樹，但是去研究宏觀物體仍然適用一樣。只是我們應該看到更大的一個世界。

3 結論

虛數是人工設立的一個概念，沒有現實的對應物，但是我們不能認為它不存在，是虛構的。就好像每天我們要喝的水，我們知道他是由 $H_2O$ 組成，可是誰見過 $H$ 究竟是什麼？目前對原子的了解也只是停留在數學方程式上，到底是什麼樣子我們也不清楚，但是肯定不能說 $H$ 不存在。

正整數1是真實存在的嗎？

數學裡沒有真實不真實這種說法，數學裡的結構是邏輯

不但虛數是被人們創造出來的，所有實數也是被創造出來的

你認為一個數學概念是真實的是因為它可以描述物理世界，那麼也有虛數可以描述的對象，納尼也應該認為虛數也是真實的

在一定意義上，世界不能被認識，只能被描述

+++++++++++後來補充內容:

這裡的認識指的是用比較感性的概念去概括自然規律，比如說「物質是粒子」或者「物質是波」

描述是用數學公式去表達，而忽略感性的概念，比如薛定諤方程，

這個方程既可以得出物質波的特性，也可以得出粒子的特性，

你可以認為新的理論會得出新的概念，但是這些新的概念遠遠不同於「波」或者「粒子」，甚至不同於我們知道的任何感性存在，這些概念或許有助於我們建立新的觀念和概念，但是可以看出這些知識是超越了人的感性，對這些知識我們更多是在描述，而非理解，理解是基於我們日常生活的感性認識，比如說亞當斯密從人性中可以得到自由經濟可以使利益最大化，這就是理解，是直觀感性的。

而我們無法從萬有引力中得到天體的軌道是圓錐曲線，這就要求的是描述，用數學描述

我在這裡把「認識和「理解」看作一回事

數學是一種形而上學，也是一種先驗體系。

數學裡所有的意義都是人為賦予的，不存在任何「質料」。

假設存在蘋果，即使不從物理和生物角度去分析蘋果的構成以及性質比如味道顏色質量，蘋果的存在本身是存在的，即使他不叫蘋果，也不叫Apple，而只是隨便一個字元「假設@代表蘋果」這就叫質料（注意唯心主義是不認同這一點的）

而數學從開始就徹底是人為賦予的含義，沒有任何被經驗到的可能。

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序

數學是一種形而上學，不行退學。相信此文可以最優雅的幫助同學們徹底理解虛數，正如之前寫的理解矩陣是對運動的描述。

中學我們就學過虛數，老師說是-1的平方根。

$i=sqrt{-1}$

可是拿計算器算會直接出錯，什麼數的平方等於-1呢？負數也能開平方根了？

考試我都會計算，可是到底怎麼理解呢，弄個虛數出來到底幹啥用的呢？

一、虛數的定義

首先，假設有一根數軸，上面有兩個反向的點：+1和-1。

這根數軸的正向部分，可以繞原點旋轉。顯然，逆時針旋轉180度，+1就會變成-1。

這相當於兩次逆時針旋轉90度。

因此，我們可以得到下面的關係式：

　　(+1) * (逆時針旋轉90度) * (逆時針旋轉90度) = (-1)

如果把+1消去，這個式子就變為：

　　(逆時針旋轉90度)^2 = (-1)

將"逆時針旋轉90度"記為 i ：

　　i^2 = (-1)

這個式子很眼熟，這就是本文開頭的虛數定義公式。

因此我們可以知道，虛數 i 就是逆時針旋轉90度，i 不是一個數，而是一個旋轉量。

二、複數的定義

既然 i 表示旋轉量，我們就可以用 i ，表示任何實數的旋轉狀態。

將實數軸看作橫軸，虛數軸看作縱軸，就構成了一個二維平面。旋轉到某一個角度的任何正實數，必然唯一對應這個平面中的某個點。

只要確定橫坐標和縱坐標，比如( 1 , i )，就可以確定某個實數的旋轉量（45度）。

數學家用一種特殊的表示方法，表示這個二維坐標：用 + 號把橫坐標和縱坐標連接起來。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。這種表示方法就叫做複數，其中 1 稱為實數部，i 稱為虛數部。

三、虛數的加法

虛數的引入，大大方便了涉及到旋轉的計算。

比如，物理學需要計算"力的合成"。假定一個力是 3 + i ，另一個力是 1 + 3i ，請問它們的合成力是多少？

根據"平行四邊形法則"，你馬上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

這就是虛數加法的物理意義。

四、虛數的乘法

如果涉及到旋轉角度的改變，處理起來更方便。

比如，一條船的航向是 3 + 4i 。

如果該船的航向，逆時針增加45度，請問新航向是多少？

45度的航向就是 1 + i 。計算新航向，只要把這兩個航向 3 + 4i 與 1 + i 相乘就可以了（原因在下一節解釋）：

　　( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，該船的新航向是 -1 + 7i 。

如果航向逆時針增加90度，就更簡單了。因為90度的航向就是 i ，所以新航向等於：

　　( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

這就是虛數乘法的物理意義：改變旋轉角度。

五、虛數乘法的數學證明

為什麼一個複數改變旋轉角度，只要做乘法就可以了？

下面就是它的數學證明，實際上很簡單。

任何複數 a + bi，都可以改寫成旋轉半徑 r 與橫軸夾角 θ 的形式。

假定現有兩個複數 a + bi 和 c + di，可以將它們改寫如下：

　　a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
　　c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

這兩個複數相乘，( a + bi )( c + di ) 就相當於

　　r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

展開後面的乘式，得到

　　cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

根據三角函數公式，上面的式子就等於

　　cos(α+β) + isin(α+β)

所以，( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

這就證明了，兩個複數相乘，就等於旋轉半徑相乘、旋轉角度相加。

跋

原版英文出處——What are imaginary numbers?裡面有一個答案推薦了圖解虛數

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數學是形式科學。我們不考慮存在性，只考慮自洽性。

弱弱問一句……什麼叫「存在」？

可觀測？可計算？有實體？

存在。
既然描述世界規律的現代物理必須引入複數，說明複數是實在的。

我的理解是
一、複數可以表示複平面上的一個「向量」。
二、兩個複數進行運算可以看為一種變換，任何一個複數可以表示為指數形式，比如虛數單位i,可以寫成e^i*pi/2，把一個複數和i相乘，可以理解為把這個複數對應的「向量」，模不變，逆時針轉90度。
--------------------------------------------------現在再來看看i^2=-1,注意這個式的-1是複數，只不過虛部為零，把i對應的「向量」模不變逆時針轉90度就是-1所對應的「向量」。（自行想像一下）是不是很容易理解！

虛數（複數）只是一個數學工具，談不上是否真實存在。
我想題主可能是覺得憑空定義這個虛數單位 $i$ 很奇怪，想知道為什麼需要複數這個工具，其他回答基本從數學的角度說了，我從物理的角度來說一下。
在量子力學中，虛數是被到處使用的，Schordinger方程直接含有虛數i
$ihbarfrac{partial psi}{partial t}=Hpsi$
量子力學的態矢空間是定義在複數域上的線性空間，關於 $frac{1}{2}$ 自旋的Pauli矩陣也含有虛數 $i$ .
可以說整個量子力學根本離不開複數。

其它方面，在處理正弦交流電路時，引入複數（復阻抗、複電流電壓）也是非常方便的，當然這裡可以看成是為了處理方便採取的一種手段。

數字僅僅是我們對事物數量多少的一種抽象描述，它本身是已經去掉單位和實體的。比如說，數 10 既可以表示 10 桶水，又可以表示 10 公里，還可以表示 10 元錢。

要是說虛數在實際問題中都有哪些具體對應的話，這裡有一個經典的例子：

如果數 1 表示向右移動 1 米的話，那麼數 -1 就可以表示向左移動 1 米，數 i 可以表示向前移動 1 米，數 -i 可以表示向後移動 1 米，-1+i 可以表示向左前方移動根號2 米。

可見，虛數可以非常方便地描述二元事物。

不不不，實數也不真實存在。

我看了好幾天這個問題了，就沒一個人說我想說的
實數的定義是沒問題的，從皮亞諾公理，到集合序列實現這個公理，是構造性的
自然數對加法構成交換半群，以之為基礎構造整數交換群，進一步有整數環
整數環是整環，構造商域是有理數域
有理數域上有柯西列，柯西列按照等價關係可以進行劃分，柯西列的等價類是實數

我們發現這一列的定義都是構造性的，那憑什麼-1能開方？

我們構造一個$C=mathbb{R}^2$, 然後定義上邊的加法和乘法。
之後易證明${(x,0):xinmathbb{R}}$是一個同構於實數域的真子域
那麼實數域存在一個擴域與它同構，記做複數域
與(0,1)對應的元素記作i, 其平方恰好是-1
構造性的定義，這次合格嗎？
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複數的物理意義是什麼？ - 知乎