為什麼一次函數、二次函數、三次函數的圖像都是對稱的，而四次函數則不一定？

只討論實係數。 一次函數，是一條直線，旋轉對稱，或者摺疊對稱。 二次函數是拋物線，摺疊對稱。 三次函數，只要平移，平移後總是能做到關於原點對稱（旋轉對稱）。 為啥四次方程則不一定對稱了？ 比如： y=x（x-1）（x-6）（x-8）不具有對稱性。而y=x^4具有對稱性。

另外：實係數多項式方程，如果有複數根，總是共軛複數根。既然根共軛具有對稱性，那麼如果把自變數看成複數，函數值也是複數，然後畫到四維空間裡面。這樣的情況下，圖形是否一定具有對稱性（比如旋轉對稱、鏡像對稱）？

誰把話題中的mathematica拿掉了？我覺得這個可以通過mathematica軟體來研究，尤其是四維圖形。

對稱有一個充要條件是對稱的每兩個點的每一階導數(1,2,3....)相等或者相反。比較準確的說法是：
1、對於軸對稱，所有奇數階導數相反，偶數階導數相同；
2、對於中心對稱，所有奇數階導數相同，偶數階導數相反。

一次方程每個點任何一階導數都恆定，二階以上都為0.滿足條件1，所以關於自己上面的任何點都軸對稱。

二次函數f(x) = a x^2 + b x + c 三階並以上的任何導數都為0，一階導數為2ax+b，所以關於-b/2a對稱的每兩個點的一階導數相反，二階導數都是恆定值2a，所以滿足條件2。

類似的，對於三次函數f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d如果有兩個極值點的話，關於這兩個極值點對稱；如果只有一個導數為0的點，則關於這個點對稱。因為只有這兩個點一階導為零，無論是滿足條件1還是條件2，都只能是這兩個點互為對稱點(如果只有一個導數為0的點，則這個點為中心對稱點)。我之前寫的：

但這兩個點的二階導數不一定相同。所以不一定對稱。

其實這是不對的，手機碼字沒計算。起床算了一下，，所以它的兩個根滿足. 注意到, 由於，所以兩個極值點的二階導數相反。現在證明下三次函數
關於 中心對稱：

a. 三階導數恆定，三階以上導數為0，滿足條件2.
b. 由於關於 軸對稱，說明關於 中心對稱的兩個點的一階導數相同，滿足條件2.
c. 關於 中心對稱, 說明關於 中心對稱的兩個點的二階導數相反，滿足條件2.

以上說明有兩個極值點關於 中心對稱。類似對於只有一個導數為0的點的情況就是把合併成一個點，計算過程完全相同。所以三階函數是中心對稱的。

但關於四階函數有，二階,三階。注意到：

a. 四階函數只能是軸對稱(正負無窮都趨於正無窮)。而無論它有一個或者三個極值點，都需要滿足對稱軸經過中間的那個極值點(為了滿足一階導數相反，所以導數為0的點只能跟導數為0的點對稱)。
b. 但對稱點三階導數要相反的話，必須關於即對稱.

顯然要同時滿足條件a，b的話只能是方程中間的極值點，即, 但顯然這不一定滿足，所以四階方程不一定對稱。

總的來說，高階函數所需要滿足的條件在不斷的增多(低階函數的高次導數都為0滿足了條件)，使得要對稱更加的苛刻。所以三次並三次一下的函數滿足對稱，而三次以上就非常困難。

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多謝 Phenomene Bizarre指出錯誤。