1+2+4+8+16+32+64+128+256+...=-1 錯在哪裡？

12-07

假設 1+2+4+8+16+32+64+128+256+...=x
1+2+4+8+16+32+64+128+256+...
=1+2*(1+2+4+8+16+32+64+128+256+...)
也就是 x=1+2x，那麼 x=-1
這明顯是錯的，因為正數相加怎麼也不能等於負數，但是錯在哪裡呢？

我認為你是對的。
在你目前所學的級數求和定義中，這個級數不收斂，所以你後面的計算都不對。
但是在更一般的級數求和定義中，這個計算是對的。

另一個例子參見http://www.zhihu.com/question/19952889/answer/13460786
你的例子比上面這個例子更誇張，用Abel求和定義和Cesaro求和定義仍然發散。
不過，通過解析延拓，仍有可以用在你的例子上的級數求和定義，見下面的維基頁面。
http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_4_%2B_8_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7
更嚴謹的寫法，是寫成幾何級數，然後拓展到發散區間。這都是後話。

我個人鼓勵這種超出教材的嘗試，因為數學不會因為沒有定義而停步。
這樣嘗試有助於理解數學怎樣拓展自己，並且可以深入理解定義。
如果沒有這種嘗試，就沒有虛數了。

也就是x=1+2x，那麼x=-1

x不僅僅可以等於-1，還可以是無窮大。

是對是錯，取決於你寫1+2+4+8+16+32+64+128+256+...的意義是什麼，以及你怎樣定義「無窮個數相加」這件事。

如果你將1+2+4+8+16+32+64+128+256+...定義為部分和數列：S_n = 1+2+...+2^n 在n趨於無窮大時的極限，並且使用的是實數空間常用的拓撲，那麼這個極限不存在（不趨向於任何的給定實數），所以等式不成立。如果你使用的是超實數（加入無窮大進行單點緊化）的拓撲，那麼極限是無窮大，不是-1。

如果你將1+2+4+8+16+32+64+128+256+...看作是一個p-進數（其中p=2）：1+2+4+8+16+32+64+128+256+...+2^n在n趨於無窮大時候的極限，那麼對於p-進數的某個常用拓撲，極限存在，1+2+4+8+16+32+64+128+256+...+2^n趨向於...1111_2，也就是-1.

如果你將1+2+4+8+16+32+64+128+256+...定義成是f(x) = 1+2x+4x^2+...+(2x)^n+...在x=1時候的值，並且在x不等於1/2的時候，將1+2x+4x^2+...+(2x)^n+...定義為1/(1-2x)，那麼1+2+4+8+16+32+64+128+256+...=-1也是成立的

級數發散，第N+1項不能省略。

公式有些問題，假設該多項式最高項為2^k，那麼公式應該寫為：x=1+2*(x-2^k)=1+2x-2^(k+1)，所以可以得出：x=2^(k+1)-1

這是對的，前提是能給左邊一個和。
左邊用Abel和或者冪級數的解析延拓可以求值。
只要能有一個與柯西和相容的定義求這個和，必然是-1。

reference from《Divergent Series》 ——G.H.Hardy
這個更毀三觀。。。

解析延拓呀

不是很懂數學，但是我覺著最簡單就是後面括弧里要比等號前少一個數啊，所以x的等式不成立，應該是x=1+2乘以（x—等式左面最後一個數）吧。

你的「...」代表的是什麼？

貌似某本數值分析教材中有這道題，記不清了~~

「正數相加怎麼也不能等於負數」僅限於有限的情況，無限的情況不能簡單地直接使用有限的情況的結論。
所以其實如果你對這個無窮加法進行另外定義的話，1+2+4...=-1的結果是正確的。

實際上你得到的等式是
infty = 1 + 2 * infty
這是成立的。

但是無窮並不是一個確定的數，你的推導問題在於 infty - 2 * infty 沒有定義（也就是結果不確定）。

從邏輯上，這是先「指鹿為馬」，然後說：誒？這匹馬怎麼長角啦？！

這個級數不收斂，不能設作某個值。就像∞也並非常數一樣。

不收斂喔