這樣的勾股數存在嗎？

12-07

補充提問：有沒有 $a_2b_1 e a_1b_2$ 的答案？（評論里已經有人想到這個問題了）

假設 $(a_1,b_1,c_1),,(a_2,b_2,c_2)$ 是任意兩組勾股數，那麼

$egin{eqnarray*} (a_2a_1)^2 + (a_2b_1)^2 = (a_2c_1)^2 \ +,,quadquadquad+quad quad+\ (b_2a_1)^2 + (b_2b_1)^2 = (b_2c_1)^2 \ ||,,,,quadquadquad||quad ,quad||\ (c_2a_1)^2 + (c_2b_1)^2 = (c_2c_1)^2 end{eqnarray*}$

舉個例子令 $(a_1,b_1,c_1) = (a_2,b_2,c_2) = (3,4,5)$

於是可以得到一組滿足條件的數
9 12 15
12 16 20
15 20 25

全是整數的話…
全部取0…(:з」∠)_

$a_2b_1=a_1b_2$ 的大家都找到了很多很多。
這樣吧，大家猜一猜，有沒有 $a_2b_1 e a_1b_2$ 的答案？

10.3更新：
題目更新：有沒有 $a_2b_1 e a_1b_2$ 的答案？
答案：當然有，我的程序就能很輕易得到，加一個判斷條件（a2*b1 != a1*b2）並將c3的最大值（limit）設置成500的時候：

設置成1000的時候：

之前的程序寫錯了，當時只想了優化，而沒去想可能求出來的解壓根就是錯的！現已修改，還有錯吞糞。（這題如果是一道編程題，那麼唯一的考點就是優化，如果簡簡單單寫一個9層循環，這個世界應該沒有電腦跑的起來。）

貼這次c3&<=200的結果集：

這次的運行時間：

@勢求遇運提到：看程序是按照兩組勾股數組合構造出來的。現在比較感興趣的是，符合等式要求的9個數是不是都可以由兩組勾股數構造出來，如果能窮舉出一個反例的話，就直接可以否定了。
我想了一下，確實覺得之前完全按照兩組勾股數去構造很不嚴謹，萬一存在這樣9個數不是兩組勾股數構造出來的呢？所以我想了一下，還是用了枚舉的方法，極儘可能的優化，得到了上述的結果集。在limit等於200的時候，就已經出現了一組數並非兩組勾股數構造出來的了！即圖中紅框所框。
我設定a2小於b1，但是a邊和b邊不能設定大小關係，不然會有一些解得不出來。當9個數的順序互換，但是還是那9個數，我默認它們是一組。

代碼如下

public List& getResoults(int limit) {
// 設定勾股數組直角邊為a和b，最長為c
int a, b, c;
List& list1 = new ArrayList&();
// 尋找出所有符合條件的勾股數
for (c = 5; c &<= limit; c++) {
for (b = 3; b &< c; b++) {
for (a = 3; a &< c; a++) {
if (a * a + b * b == c * c) {
list1.add(new int[] { a, b, c });
}
}
}
}

/*
* 遍歷list拿到key，a1為key的時候，橫豎兩個勾股數組的a相同（bc可不同）
* 然後以a3和c1為key去拿勾股數組，如果其相對應的c3相等，則可認為這9個數已經符合條件
* 然後b2通過遍歷去拿，我試過通過開方，會拿到小數
*/
int a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3;
List& list2 = new ArrayList&();
for (int[] is1 : list1) {
a1 = is1[0];
b1 = is1[1];
c1 = is1[2];
A: for (int[] is2 : list1) {
if (is2[0] == a1 is2[1] &<= b1) {
a2 = is2[1];
a3 = is2[2];
} else {
continue A;
}
B: for (int[] is3 : list1) {
if (is3[0] == a3) {
b3 = is3[1];
c3 = is3[2];
} else {
continue B;
}
C: for (int[] is4 : list1) {
if (is4[0] == c1 is4[2] == c3) {
c2 = is4[1];
} else {
continue C;
}
for (int[] is5 : list1) {
if (is5[0] == a2 is5[2] == c2) {
b2 = is5[1];
if(list2.size() == 0){
list2.add(new int[] { a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 });
System.out.println(a1 + " " + b1 + " " + c1);
System.out.println(a2 + " " + b2 + " " + c2);
System.out.println(a3 + " " + b3 + " " + c3);
System.out.println();
}else {
for (int[] is6 : list2) {
if (is6[8] == c3) {
/*
* 此處的判斷相當於濾重，當數字還是同樣的9個數，但是位置發生變化，
* 依然滿足題目要求的時候，我把它們算作一組（這是我想的最久的一個地方）
*/
if (((is6[2] == c1 || is6[2] == c2) (is6[6] == a3 || is6[6] == b3))
|| ((is6[2] == a3 || is6[2] == b3) (is6[6] == c1 || is6[6] == c2))) {
continue C;
}
}
}
list2.add(new int[] { a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 });
System.out.println(a1 + " " + b1 + " " + c1);
System.out.println(a2 + " " + b2 + " " + c2);
System.out.println(a3 + " " + b3 + " " + c3);
System.out.println();
}
}
}
}
}
}
}
return list2;
}

錯誤代碼我就不刪了，也算是給我自己一個警醒，遇到問題先追求做對，而不是上來就想著優化優化，到最後來跑的時很快，但是出的凈是錯誤答案也是無益。

-------------原答案，包括錯誤的代碼-------------

這是c3&<=200的結果集

這是一個有趣的問題，如果單單想枚舉出一組， @勢求遇運的答案的那一組應該是最容易找出來的。
然而在該答案底下， @張瀚予提到：這種方式能否得到全部的滿足條件的九個數？
毫無疑問，因為整數是無窮大的，所以答案也會有無窮多組，所以這可以說是不可能的。
但是我由此想到，能不能寫個小程序去專門找出這些神奇的數組呢？
於是我動手開始，用java寫了一個9層for循環嵌套，寫出來我就笑了，哪怕定義9個數中最大值c3不超過100（下稱此數為limit），那運算量級也是100的9次方，估計世界最快的銀河計算機也未必算的出來。
所以我進行了一下優化，在找出limit以內的勾股數組之後進行枚舉，limit=100的情況下，我的電腦大概用了20秒找出來。。。顯然這個方式也是不太合適的，於是開動小學數學的頭腦，找了一下規律，寫出了一個小程序，拋磚引玉。

這是程序的運行時間：

/**
* limit是a1,a2....c3九個數最大不能超過的數
* @param limit
* @return
*/
public List& getResults(int limit) {
int a, b, c;
List& list = new ArrayList&();

// 拿到所有的勾股數
for (a = 1; a &<= limit / 5; a++) {
for (b = a + 1; b &<= limit / 5; b++) {
for (c = b + 1; c &<= limit / 5; c++) {
if (a * a + b * b == c * c) {
list.add(new int[] { a, b, c });
}
}
}
}

int a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3;
List& list2 = new ArrayList&();
A:for (int i = 0; i &< list.size(); i++) {
int[] is1 = list.get(i);
for (int j = i; j &< list.size(); j++) {
int[] is2 = list.get(j);
a1 = is1[0] * is2[0];
b1 = is1[0] * is2[1];
c1 = is1[0] * is2[2];
a2 = is1[1] * is2[0];
b2 = is1[1] * is2[1];
c2 = is1[1] * is2[2];
a3 = is1[2] * is2[0];
b3 = is1[2] * is2[1];
c3 = is1[2] * is2[2];

if (a2 &> a1 b1 &>= a2 c3 &<= limit) {
for (int[] is3 : list2) {
if (a1 == is3[0] b1 == is3[1] a2 == is3[3]) {
continue A;
}
}
list2.add(new int[] { a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 });
System.out.println(a1 + " " + b1 + " " + c1);
System.out.println(a2 + " " + b2 + " " + c2);
System.out.println(a3 + " " + b3 + " " + c3);
System.out.println();
}
}
}
return list2;
}

(81+144=225)+(144+256=400)=(225+400=625)
(144+81=225)+(256+144=400)=(400+225=625)
(144+256=400)+(81+144=225)=(225+400=625)
(225+400=625)+(1296+2304=3600)=(1521+2704=4225)
(225+1296=1521)+(400+2304=2704)=(625+3600=4225)
(256+144=400)+(144+81=225)=(400+225=625)
(324+576=900)+(576+1024=1600)=(900+1600=2500)
(400+225=625)+(2304+1296=3600)=(2704+1521=4225)
(400+2304=2704)+(225+1296=1521)=(625+3600=4225)
(441+784=1225)+(5184+9216=14400)=(5625+10000=15625)
(441+5184=5625)+(784+9216=10000)=(1225+14400=15625)
(576+324=900)+(1024+576=1600)=(1600+900=2500)
(576+1024=1600)+(324+576=900)=(900+1600=2500)
(576+1024=1600)+(2025+3600=5625)=(2601+4624=7225)
(576+2025=2601)+(1024+3600=4624)=(1600+5625=7225)
(729+1296=2025)+(1296+2304=3600)=(2025+3600=5625)
(784+441=1225)+(9216+5184=14400)=(10000+5625=15625)
(784+9216=10000)+(441+5184=5625)=(1225+14400=15625)
(900+1600=2500)+(5184+9216=14400)=(6084+10816=16900)
(900+5184=6084)+(1600+9216=10816)=(2500+14400=16900)

其它答案說不存在的都是什麼鬼……

15 36 39
20 48 52
25 60 65

兩個矩形，b1＝a2,我想是有整數解的，當然還有還有其他情況。不過這個足夠證明有解