一道經典的數學推理題？

問題：有n個杯子，其中有k個口朝上，n-k個口朝下，每次翻動p個，能否在有限次內使之全部朝下。
如果能全部朝下，則朝上的k個只能翻奇數次，而朝下的n-k個只能翻偶數次；一共翻了N=+次。那麼N必然是p的整數倍，如果不是則不能實現。
n=14，p=4，
k=奇數，奇數個奇數之和必為奇數，所以N也必為奇數，必然不是4的整數倍；不能實現；
k為偶數，看N是否是4的整數倍，判斷能否實現。
k=6，可現實。6個朝上的杯子時，任取4個翻轉一次，剩2個朝下的杯子，任取3個朝下的杯子(abc)，再分別和2個朝上的杯子(12)每個翻1次；12翻了1次，變成朝下；abc杯子翻了2次，還是朝下。

記q=n mod p，如果q=0，必然可以實現；如果p是偶數，則k為奇數不能實現，k為偶數可以實現；
如果p是奇數，可以實現。

其實這個問題可以這樣想：最後杯口全朝下，那麼最後一次翻動前的情況應該是有10個杯子朝下，4個杯子朝上，從初始狀態要排列成這種狀態，也就是說經過有限步驟，需將一個朝下的杯子翻成朝上，每次翻動4個杯子可能出現的狀況有2+2（整體杯子朝向並無改變），1+3（整體杯子朝向要麼多兩個向上或多兩個向下），0+4（多4個向下或張上）。由此可知在每次翻動的過程中，變化的朝向都是偶數，所以要想經過翻動，使得一個杯子朝上是不可能的。所以就做不到了。至於6，7隻的情況也能這樣分析。