有哪些簡單的事物蘊含有深刻的數學原理?

12-07

想起一件有趣的事，在別的論壇看到有人面試吐槽，他問的是熱水器用單片機怎麼做，學生答曰PID控制，他直接告訴學生，你不懂什麼叫成本，這種用繼電器就夠了……

然後我就想怎麼證明繼電器熱水器控制溫度是收斂的？後來在張恭慶的書上看到了：
線性系統 $frac{dx}{dt}=Ax+Bu$ ,u是控制變數，存在一個 $L^infty$ 控制u使能讓x從 $x_0$ 變到 $x_1$ ，那麼
$U={v in L^{infty} |quad ||v||_{infty}leq 1,x(T)=e^Ax_0 +int_0^te^{A(t-s)}Bv(s)ds}$
非空，按照Banach-Alaoglu定理，他是*weak compact的，按照Krein-Milman定理，端點在其中稠密，而端點就是繼電器控制，這就是Bang bang control

在任意時刻，地球上總存在對稱的兩點（對跖點，即與球心相對稱），他們的溫度和大氣壓的值正好都相同。（假設地球表面各地的溫度差異和大氣壓差異是連續變化的）——博蘇克－烏拉姆定理

擰毛巾時必存在兩點不動，對於收斂的東西不必太過糾結邊界量，計算機的隨機數只是非常混沌的偽隨機數而已...

讓我佔個坑先！老是和學生講，數學真正的價值，絕對不是那些你曾背下來的公式，它真正希望教你的，是在生活中理性思考的能力。
數學中常常要你們練習的分類討論，就是希望你們以後在工作中，當要制定一個計劃，你們會考慮到所有變數，制定Plan A，PlanB，PlanC，不管到時候有什麼突髮狀況，你都能Handle住。
數學中的不等式恆成立問題，學生會去思考最值了，就說明他們知道在一場博弈里，關鍵就是把老大抓住，即擒賊先擒王的道理。
數學裡的那些可能相對麻煩，長篇幅的證明，就是希望學生以後不要陷入「倖存者謬誤」。不要看到幾個特殊值，看到一些方面就過度推斷，過度延伸，定下結論。看人，看事都是如此。
反駁一個命題舉反例即可，而要證明一個命題，必須要對任意地，所有情況都成立。永遠保持懷疑。
法律里的無罪推定，量刑定罪都是一樣的道理。

(? ??_??)? 有空我要來再填……

毛球定理: 偶數維單位球上的連續而又處處不為零的切向量場是不存在的。
如果我們把大氣的運動「風」看為地球表面的一個向量，那麼這個向量場連續，因為覆蓋地球表面的大氣層可以看作是連續分布的。作為理想化的模型，我們可以忽略空氣的垂直運動。這樣看來，一個完全沒有風的點（空氣靜止）對應著向量場的一個零點。事實上，就物理上來說，空氣是不可能在某一個區域處處絕對靜止的，因為空氣總在運動。但毛球定理說明零點存在，因此必然有空氣靜止的點，並且是孤立點。物理學上的解釋是這些零點對應著氣旋或反氣旋的中心（風眼）。在這樣的零點附近，風的分布成螺旋形，但永遠不會從水平吹入中心或從其中吹出（只能上升或下降）。由毛球定理可以得出，地球表面永遠存在氣旋和風眼，在風眼處風平浪靜，但四周都有風環繞。via wikipedia
還有一個，著名的蝴蝶效應來自動力系統里的混沌。

我的月薪是8000，我女朋友的月薪5000，我們兩個加起來，一個月起碼也有3000。

酒杯問題，用雞尾酒杯喝酒時如果只倒4/5的量實際上會讓你比倒滿的人少喝很多（相似的原理）

因為一些朋友詢問原因，故把具體原因補上：
我這裡指的是圓錐形的雞尾酒杯，我倒4/5的量的量的酒則此圓錐相似比為4/5，設小的圓錐的底邊半徑為2x高為4h，則大的圓錐的底邊半徑為5/2x高為5h，通過圓錐計算公式V=1/3SH,比值為64/125（事實上相似圓錐的體積比是高比值的立方），由此可見少倒1/5的酒看上去並沒有少多少，其實會讓你比倒滿的人少喝很多。

兩點之間直線最短，這個結論需要用變分法才能證明

凹凸不平的地面上放一把凳子，通常是不穩定的。
這時候你只要把凳子原地旋轉，必然有個位置可以讓凳子放穩。
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簡單的介值定理。

一尺之棰，日取其半，萬世不竭

我是送外賣的。
30塊的外賣，定外賣的小哥給了我100，我找給他70。小哥的朋友拍了拍我，說他有30，我就把100給了他，拿了他給我的30
等我離開後，猛然發現不對：
他倆一共給了我100+30＝130，而外賣一共才30！我只給了他們70！
天吶我少給錢了！！

我急切地敲開門，開門的是個大媽，兩個小哥在大媽後面。
我跟他們說了我的計算，他們目瞪口呆。
「哈，沒錯，我數學成績一直很優秀！」我驕傲地說到。

我把錢放到了大媽手上，瀟洒地一甩頭，「不用送了！」
我轉身出了門。

唉，我咋這麼帥呢？

人的頭髮至少有一個旋，完全的自由市場能夠達到各方都滿意的平衡，這都是拓撲學的不動點定理保證的。
兩塊磁鐵，如果相距近了，一定會吸到一起，就算一開始是同極相對的。這是因為磁場是調和函數場，最值只有在邊界才能達到。也就是說，在某一個磁鐵的磁場里，另一個磁鐵要麼穩定在場源，要麼穩定在足夠遠處。

?現實生活中『糖水加糖，會變得更甜』(註：要形成糖水，水肯定要比糖多，否則糖無法完全溶化)
?基本不等式『(a+c)/(b+c)&>a/b，其中a、b、c均為正數且b&>a』
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事實?是基本不等式?在現實生活中的一種體現，雖然有點繞ヾ(?&>﹏&平方反比定律

假設有一張橡皮膜做的地圖，放在水平桌面上。我們拉伸這個地圖（隨便拉，你要說扯破了那我無話可說），然後鬆手。這個地圖會收縮到很小，但是無論如何，這個地圖上一定有一個點是始終不動的。不動點原理。

有一天跟師弟一起去買喝的，師弟見到霸王杯的柚子茶（比一般的杯子直徑大一倍左右）非常激動，決定買來喝。我提醒他：不要小看了幾何級數。

結果師弟的霸王杯柚子茶喝了三天。

狄利克雷函數

有理與無理對應的結果纏綿與悱惻，
是我最喜歡的數學所交給我的真理。

生活也是。

你從家到公司，先走一半，再走剩下的一半，再走剩下的一半，這樣永遠都到不了公司了
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這就是你遲到的原因？

彈簧伸縮位移關於時間的函數和二階常微分方程。