有關餘數的簡單方法，不知道是新發現還是已知？

12-07

今天做題時發現總結的規律，，不知道之前有沒有，也不知道是否完全正確。請大家看一下，，，，一個數同時滿足，除a余c，除b余d.(其中a,b,c,d為正整數且a&d)那麼這個數的最小值為（c-d)(b-a)×a+c

反例：
a=4 c=3 b=7 d=2
滿足條件的最小正整數是23
23/4=5...3
23/7=3...2
而(c-d)(b-a)a+c=15

其實是這樣的，如果真的(c-d)(b-a)a+c要滿足你說的這個條件
顯然這個數除以a確實余c（因為它已經被寫成了ka+c的形式了嘛）
但是如果它要除以b余d，注意到
(c-d)(b-a)a+c=(c-d)ab-(c-d)a^2+c，第一項顯然是b的倍數
所以-(c-d)a^2+c要除以b余d，也就是說-(c-d)a^2+c-d得是b的倍數
這個式子可以重新寫成-(a^2-1)(c-d)=-(a+1)(a-1)(c-d)
我猜測題主在一開始嘗試的時候，所選擇的b都是a+1，這個時候-(a+1)(a-1)(c-d)顯然是b的倍數，但是只要b不是a+1，就不能保證這個數是b的倍數了（比如上例）。即使是，也未必能保證這是最小值。

如果題主對這類問題感興趣，可以自行去了解下「中國剩餘定理」。

孫子算經一千多年前就研究清楚了的問題，你還得到了一個錯誤的答案，這是多麼令人悲哀的事情……
a和b互質的時候，這個問題對於任意的c和d都有解。對於二元的問題來說，解決的關鍵是找到A和B兩個數，使得：
$aA equiv 1 pmod b$
$bB equiv 1 pmod a$
等效來說是要找到 $aA + bB = 1$ 的不定方程的解，這可以通過擴展的歐幾里得輾轉相除法得到。
找到之後我們有：
$daA equiv d pmod {b}$
$cbB equiv c pmod {a}$
那麼 $daA + cbB$ 就是一個滿足條件的解，由於任意兩個解的差都同時是a和b的倍數（因為差的餘數等於餘數的差，所以差的餘數是0），所以通解是
$daA + cbB + kab$
在你要的 $c > d$ 的情況下，根據 $aA + bB = 1$ ，最小的結果可以寫為
$d + b((c-d)B mod a)$
或者
$c + a( - (c-d)A) mod ab$
你的式子要求A = a，所以確切的來說等於你的結果成立的條件是 $b|(a^2-1)$ ，也就是 $b|a-1$ 或 $b|a+1$ 。對於比較小的a和b的確有可能偶然成立了，尤其因為6這個數，你選a=5、a=7都會撞到它，但這顯然不是總是成立的……

a和b不互質的情況留給讀者自行思考

初等數論里就別想著能有不trivial的新發現了，問是不是幾百年來沒一個人有過同樣的思考簡直在不自量力
如果想問這個方法對不對，就沒必要加問是不是新發現這句話。做個比喻，就好像一個小孩去農村走了一圈，發現了一塊沒有人的田野，上知乎問自己是不是第一個發現了那塊土地的人。
這不是不鼓勵新思想，就像大家不是不鼓勵民科繼續研究哥德巴赫猜想一樣，畢竟又沒偷沒搶學個數學有什麼好不鼓勵呢？

孫子定理對這種問題表述的比較清楚了，本質上是Z/nZ的直和分解。

秦王暗點兵，大衍求一術。

厲害啊，我只記得有個數論倒數的。。。。。。。。