數學史上你認為最美的公式是什麼？

12-20

問題源自quora上的一個問題：Mathematics: What is the most beautiful equation?

既然是公式不是方程...

Atiyah–Singer index theorem：
$[{ m{Index}}(P) = {( - 1)^m}intlimits_{Sigma M} {Td(M) wedge ch(Sigma P)} ]$

斯托克斯公式
有了微分形式的語言，這條公式寫起來異常簡單。牛頓-萊布尼茲公式、高斯-奧斯特羅格拉茨基公式、格林公式等等都是它的特例。

大道至簡, $[y = kx + b]$ 才是數學史上最美麗的公式!
只不過這裡的 $[k ( heta )]$ 和 $[b( heta )]$ 是函數.得到的是直線族.

雅各布線:縱使改變,依然故我
$[y = x + frac{{{{ ext{e}}^ heta } - 2xsin heta }}{{sin heta - cos heta }}]$

阿基米德線
$[y = frac{{x(sin heta + heta cos heta ) - { heta ^2}}}{{cos heta - heta sin heta }}]$

圓線
$[y = - xcot left( heta ight) + csc left( heta ight)]$

心臟線
$[y = frac{{ an left( {frac{ heta }{2}} ight)left( {cos left( heta ight) + 2xcos left( heta ight) + x - 1} ight)}}{{2cos left( heta ight) - 1}}]$

玫瑰線:
$[y = frac{{2x(cos left( {2 heta } ight) - 2cos left( {4 heta } ight)) + 1 + cos left( {6 heta } ight)}}{{2sin left( {2 heta } ight) + 4sin left( {4 heta } ight)}}]$

笛卡爾線:
$[y = frac{{ an left( heta ight)left( {3 an left( heta ight) + x{{ an }^3}left( heta ight) - 2x} ight)}}{{2{{ an }^3}left( heta ight) - 1}}]$

嗯, $[y = kx + b]$ 這個理解門檻最低了.
畢竟如果看不懂公式就無法理解這個公式的美.
再美的存在,若是無法理解,那也是毫無意義的吧?

對於奇素數 p 和 q, (p/q)(q/p)=(-1)^((p-1)(q-1)/4). 深刻而無用, 簡潔而困難.

居然沒有人說實分析里的帕塞瓦爾定理…
$sum_{n}{|langle x,e_n angle|}^2=||x||^2$
此式就是任意H空間中勾股定理（的推廣版）。顯示出原空間中的能量和變換後空間中的能量是相等的（扯遠了）。因為題主問的是公式，所以我就選了這個公式，確實很美。

PS：突然想到一個無關的吐槽…P=0或者N=1。
PPS：有好多答案都在一股腦地都在說歐拉恆等式。我想說回答的時候請善用「贊同」功能，既然是和別人重複的答案那就點贊同就好吧

函數展開成無窮項級數的形式有一種異乎尋常的美

$f(x)=f(a)+f$

展開式右邊一串串有規律的式子，看不到盡頭，似乎有無窮的魔力...

比如這樣的式子 $e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...$

再比如交錯級數 $ln2=1-1/2+1/3-1/4+...+(-1)^(n-1)*1/n+...$
......

另外也很喜歡，歐拉公式 $e^{i heta } =cos heta +i sin heta$

$e^{ipi} + 1 = 0$

Top 1 的答案沒有用公式編輯器。

歐拉恆等式:
e^(i π) + 1 = 0

$e^{ipi }+1=0$

銜接三角函數與冪指函數, 將數學上五個常量完美的統一到一個公式中:

自然對數底: e
虛數單位: i
圓周率: π
自然數單位: 1
數學史上具有標誌意義的 0

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2017年5月4日更新：加入公式編輯器

拉馬努金黃金分割數公式：

這個公式不僅像歐拉恆等式一樣聯繫起了圓周率π和e，還將黃金分割數也包含在內。實在是美不勝收。

不好意思剛剛打錯了···

The geometric series expansion of projective space:

( C^{n+1} - pt ) / (C - pt) = C^n + ... + C^1 + pt

推薦一種看著複雜,而實際上公式很簡單的圖形:毛雷爾玫瑰(Maurer rose).它是一種由360條線段組成的圖形.
公式如下:

vertices = 361 t = from 0 to 360


n = 6

d = 71
k = t*d*0.0174533

x = sin(n*k)*cos(k) y = sin(n*k)*sin(k)

調整參數可以得到多種圖形:

我還寫過一個隨機生成毛雷爾玫瑰圖形的屏保程序.見:屏保:毛雷爾玫瑰屏保

絕對是《概念文字》里的九條公理

$vdash A ightarrow left( B ightarrow A ight)$
$vdash left[ A ightarrow left( B ightarrow C ight) ight] ightarrow left[ left( A ightarrow B ight) ightarrow left( A ightarrow C ight) ight]$
$vdash left[ D ightarrow left( B ightarrow A ight) ight] ightarrow left[ B ightarrow left( D ightarrow A ight) ight]$
$vdash left( B ightarrow A ight) ightarrow left( lnot A ightarrow lnot B ight)$
$vdash lnot lnot A ightarrow A$
$vdash A ightarrow lnot lnot A$
$vdash left( c=d ight) ightarrow left( f(c) = f(d) ight)$
$vdash c = c$
$vdash left( forall a : f(a) ight) ightarrow f(c)$