捻繩子會彎曲中有關拓撲學的問題？

12-07

有請大家先看圖!
(一)紅色標記部分
1. 他定義了連接數的正負表示沒看懂.其中尤指"順逆時針".我用繩照圖(a)與圖(b)做了也沒能理解.
2.在"標示1"處的c1與c2箭頭交叉，這樣的連接是指「逆時針」？亦或理解為將c1兩端掉頭連接？

（二）藍色標記部分
這個在學術上有明確的證明沒有？有，和那個課程相關，希望指明一下。

（三）綠色標記部分
能簡單的敘述一下這個命題的證明嗎？或者說一下是拓樸學的哪個部分的知識。

（四）混合標記和黑色標記部分
黑色的部分，扭轉定義是l理解成扭轉端部？我想至於連接數理解前面的定義的話應該結果便是如此了。
混合部分結合圖3（b）「轉變前後連接數均等於0不變」，在這裡，c1部是有在c2上方滿足前面連接數定義為何為0呢？

最後，這是來自知網的論文。我想我主要的問題是每看懂他開始對連接數的定義。感謝大家的閱覽和回答。能回答那個部分都可以。希望大家有時間的話儘快作答，因為比較急於知道！
謝謝各位！

紅色標記部分你只要順著繩子的方向看就可以了. Wikipedia上有一系列圖, 可能可以方便題主的理解.
藍色標記沒有實際的意義, 只是定義了一個量. 沒看出來哪裡涉及"證明"?
綠色標記如果不需要嚴格證明其實很好理解. 很容易想像連接數必須是整數且是同倫不變(即"在連續變換下"不變)的. 嚴格來說涉及扭結理論, 但想法只需要基本的代數拓撲就可以理解. 證明主要分以下幾步:

先考慮其中一條曲帶. 任何一條 $mathbb{E}^3$ 中的曲帶都同倫於 $S^1$ , 因為 $mathbb{E}^3$ 是可縮的. 嚴格說來曲帶必須是浸入 $mathbb{E}^3$ 的, 因此通過浸入同倫於 $S^1$ 還需要額外的證明, 這裡略去.
剩下一條曲帶對應於空間中挖去第一條曲帶 $mathbb{E}^3-S^1$ . 而 $mathbb{E}^3-S^1simeq S^2vee S^1$ . 利用Van Kampen定理算得其基本群是 $pi_1(S^2vee S^1)=mathbb{Z}$ , 這就是兩個曲帶的同倫不變數. 容易發現這個不變數正對應的是連接數的定義. 因此在連續形變時連接數是常值.

註記:

在扭結理論中考慮扭結的補空間是一種常見的方法. 很多扭結不變數, 比如扭結群, 都是考慮補空間的不變數. 事實上, 由Gordon-Luecke定理補空間所包含的信息與扭結本身一樣多.
考慮補空間的基本群實際上就是考察Wirtinger presentation.
更一般地扭結群可以用同調群分類. 對於上面這個例子, 可以計算得到補空間的 $H_1=mathbb{Z}$ , 因此也可以用同調群定義連接數. 不過其幾何意義沒有同倫群直觀. (其實是答主不懂同調論... 希望數學專業前來拯救... )
一句題外話. 設 $A={(x,y,0):x^2+y^2=1}, B={(x,0,z):x^2+z^2=1}$ . 上面用到了 $pi_1(mathbb{E}^3-A)=mathbb{Z}$ . 這相對來說容易計算, 是尤承業《基礎拓撲學講義》的課後習題. 如果考慮 $pi_1(mathbb{E}^3-A-B)$ 呢? 這是某年丘賽的考試題.

生活中處處有數學，現在覺得之前那些黑數學專業戲謔調侃的段子只是單純的娛樂而已。

藍色標記沒有實際的意義, 只是定義了一個量

色標記部分你只要順著繩子的方向看就可以了

在扭結理論中考慮扭結的補空間是一種常見的方法. 很多扭結不變數, 比如扭結群, 都是考慮補空

紅標：
我猜你是想多了，因為所謂順逆時針就是簡單地字面意思，也就是以交叉點為圓心，旋轉在上面的一條線。因為標記了方向所以必然有首先方向一致的一側。
藍標：
這是個定義變數，不是證明。
黑標：
不一定指端部，因為你可以在固定端部的情況下在曲帶中間某點a處扭轉，使得產生類似a左端的扭轉數+k而右端-k。
混合標：
文中舉的例子是攀藤植物中心線邊為左右螺旋各半的螺旋線，參考我在黑標處的解釋。並不是沒有滿足連接數的點，而是正反加起來最後為0.