數學方面的能力該怎麼培養？
培養語感的方式是多看好的文學作品，數學呢？多做題？
什麼是真正的數學能力？計算是數學？邏輯是數學？空間想像是數學？奧數是數學？....
數學系博士怒答！
我想大家都有這樣的體會：小學的時候你根本不知道初中數學是什麼樣，高中的時候你也根本想不到大學數學是什麼樣。而大學生，如果你不專註於數學，恐怕也不知道現代數學是什麼模樣。下面將分別從學數學的動機、數學不同學科的分類以及如何切實可行培養數學能力等幾個方面闡述如何學習數學。
================進入正題========如何學好數學===============
一、認清你的需要
為什麼需要學習數學，這是你首先需要想清楚的問題。數學學科子分類多、每一本數學書中都有許多定理和結論，需要花大量時間研究。而人的時間是寶貴的、有限的，所以你需要大體有一個目標和計劃，合理安排時間。
1.1 你的目標是精通數學、鑽研數學，以數學謀生，你可能立志掌握代數幾何，或者想精通前沿物理。那麼你需要打下堅實的現代代數、幾何以及分析基礎，你需要準備大量時間和精力，擁有堅定不移的決心。（要求：精通全部三級高等數學）
1.2 你的目標是能夠熟練運用高等數學，解決問題，掌握探索新應用領域的武器，你可能立志進入計算機視覺領域、經濟學領域或數據挖掘領域。那麼，你需要打下堅實的矩陣論、微積分以及概率統計基礎。（要求：精通第一級高等數學）
1.3 你的目標是想了解數學的樂趣，把學數學作為人生一大業餘愛好。那麼，你需要打下堅實的線性代數、數學分析、拓撲學以及概率統計基礎，對你來說，體會學數學的樂趣是一個更重要的目標。（精通第一級高等數學，在第二級高等數學中暢遊，嘗試接觸第三級高等數學）
二、給自己足夠的動力
學數學需要智力，更需要時間和精力。下面的幾個事實相大家都深有體會：
1. 凡是沒有用的東西，或者雖然有用，但是你用不到的東西，學得快忘得也快。不信你回憶一下你大一或者初一的基礎課，你還記的清楚嗎？
2. 凡是你不感興趣（或者感覺不到樂趣）的東西，你很難堅持完成它。很多人都有這樣的經歷，一本書，前三章看的很仔細，後面就囫圇吞棗，越看越快，反正既沒意思也沒用。
3. 小學數學是中學數學的基礎，中學數學是高中數學的基礎，高中數學是大學數學的基礎（你可以以此類推）。
因此，無論你的目標是什麼，搞數學、用數學、還是體會數學的樂趣、滿足自己從少年時就有的夢想。學有所樂、學有所用，永遠是維持你動力不衰退的兩個最主要的因素。
三、高等數學學什麼？
好了，來看看標準大學數學的科技樹：
一級：
線性代數（矩陣論），數學分析，近世代數（群環域），分別囊括了了幾何、分析和代數的基礎理論。別忘了還有概率論（建立在分析之上的一門基礎學科）。
二級：
有了這些基礎，接著是基礎的基礎、抽象和推廣：測度論（積分的基礎，當然也是概率論的基礎），拓撲學（有關集合、空間、幾何的一門極度重要的基礎學科），泛函分析（線性代數的推廣），複變函數（分析的推廣），常微分方程與偏微分方程（分析的推廣），數理統計和隨機過程（概率論的推廣），微分幾何（分析和幾何的結合）。
然後是一些小清新和應用學科：數值分析（演算法），密碼學，圖形學，資訊理論，時間序列，圖論等等。
三級：
再往上是研究生課題，往往是代數、幾何和分析要一起上：微分流形、代數幾何、隨機動力學等等。
這個科技樹的三級，和小學、初中、高中數學很相似，一層學不精通，下一層看天書。
四、如何學習 4.1 適量做題
千萬千萬千萬不要狂做題。玩過戰略對抗遊戲的同學都知道，低級兵造幾個就行了，要攢錢出高級兵才能在後期取勝，低級兵不僅攻擊力低，還沒有好玩的魔法，它們存在的意義在於讓你有能力熬到後期。上面列舉了那麼多課程，你先花5年做完吉米諾維奇六本數學分析習題集，你就30歲了，後面的二級課程還沒開始學呢。因此，做一些課後習題，幫助你複習、思考、維持大腦運轉就行，要不斷地向後學。如果完全學不懂了，返回來做習題幫自己理清頭緒。
4.2 了解思想
數學的精髓不是做題的數量，而是掌握思想。每一個數學分支都有自己的主線思想和方法論，不同分支也有相互可供對比和借鑒的思維方式。留意它，模仿它，瑣碎的知識就串成了一條項鏈，你也就掌握了一門課。思想並不是讀一本教材就能輕易了解的，你要讀好幾本書，了解一些應用才能體會。舉兩個例子：
微積分的主線有這麼幾條：認識到微觀和宏觀是有聯繫的，微分用來刻畫事物如何變化，它把細節放大給你看，而積分用來刻畫事物的整體性質；微分和積分有時是描述一個現象的不同方式，這一點你在數學分析書中可能不容易發現，但是如果學點物理，就會發現麥克斯韋方程組同時有等價的微分形式和積分形式；積分變換能夠建立不同空間之間的的聯繫，建立空間和空間邊界的聯繫，這就是Stokes定理：，這個公式最遲要在微分流形中你才能一窺全貌。
矩陣是空間中線性變換的抽象，線性代數這門課的全部意義在於研究如何表達、化簡、分類空間線性變換運算元；SVD分解不僅在應用學科用有極為廣泛的亮相，也是你理解矩陣的有力工具；矩陣是有限維空間上的線性運算元，對"空間"的理解不僅能讓你重新認識矩陣，更為泛函分析的學習開了個好頭。
4.3 漸進式迂迴式學習，對比學習
很多時候，只讀一本書，可能由於作者在某處思維跳躍了一下，以後你就再也跟不上了。學習數學的一個訣竅，就是你同時拿到好幾本國際知名教材，相互對比著看，或者看完一本然後再看同一主題的另一本書，已經熟悉的內容跳過去，如果看不懂了，停下來思考或者做做習題，還是不懂則往後退一退，從能看懂的部分向前推進，當你看的多了，就會發現一個東西出現在很多地方，對它的理解就加深了。舉兩個例子：
外微分這個東西，國內有的數學分析書里可能不介紹，我第一次遇到是在彭家貴的《微分幾何》里，覺得這是個方便巧妙的工具；後來讀卓里奇的《數學分析》和Rudin的《數學分析原理》，都講了這個東西，可見在西方外微分是一個基礎知識。你要讀懂它，可能要首先理解矩陣，明白行列式恰好是空間體積在矩陣的變換下拉伸的倍數，它是一種線性形式。最後，當你讀微分流形後，將發現外微分是獲得流形上的Stokes定理的工具。
點集拓撲學這個東西，搞應用用不到。但是但凡你想往深處學，這一門學科就必須要掌握，因為它提供對諸如開集、緊集、連續、完備等數學基本概念的精準刻畫。往後學泛函分析、微分流形，沒有這些概念你將寸步難行。首先你要讀芒克里斯的曠世名著《拓撲學》，接著在讀其他外國人寫的書時，或多或少都會接觸一些相關概念，你的理解就加深了，比如讀Rudin的《泛函分析》，開始就是介紹線性拓撲空間，前面的知識你就能用上了。
4.4 建立不同學科的聯繫
看到一個東西在很多地方用，你對它的理解就加深了，慢慢也就能體會到這個東西的精妙，最後你會發現所有的基礎學科相互交織，又在後續應用中相互幫助，切實體會到它們真的很基礎，很有用。這是一種體會數學樂趣的途徑。
4.5 關注應用學科
沒有什麼比應用更能激發你對新知識、新工具的渴望。找一些感興趣的應用學科教材，讀一讀，開闊眼界，為自己的未來積累資源。以下結合自己的專業（計算機視覺）和愛好說說一些優秀的專業書籍：
學了微積分，就可以無壓力閱讀《費恩曼物理學講義第一卷》，了解力、熱、光、時空的奧秘；學了偏微分方程，就可以無壓力閱讀《費恩曼物理學講義第二卷》，了解電的奧秘；學了矩陣論，可以買一本《計算機視覺中的多視圖幾何》，了解成像的奧秘，編程進行圖像序列的三維重建；學了概率論的同學應該會聽說過貝葉斯學派和頻率學派，這兩個學派的人把戰場拉到了機器學習領域，成就了兩本經典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《The Elements of Statistical Learning》，讀了它們，我被基礎數學為機器學習領域提供的豐碩成果和深刻見解深深折服；讀了《Ray Tracing from the Ground Up》，自己寫了一個光線追蹤器渲染真實場景，它的基礎就是一點點微積分和矩陣......
高等數學的應用實在是太多了，如果你喜歡編程，自動化、機器人、計算機視覺、模式識別、數據挖掘、圖形圖像、資訊理論和密碼學......到處都有大量模型供你玩耍，而且只需要一點點高等數學。在這些領域，你可能能發現比數學書更有趣，也更容易找到工作的目標。
4.6 找有趣的書看
數學家寫的書有時是比較死板的，但是總有一些教材，它們的作者有強烈的慾望想向你展示"這個東西其實很有趣"，"這個東西完全不是你想的那個樣子"等等，他們成功了；還有些作者，他們喜歡把一個東西在不同領域的應用，和不同東西在某一領域的應用集中展示給你看。這樣的書會提供給你充足的樂趣讀下去。典型代表就是國內出版的一套《圖靈數學統計學叢書》，這一套書實在是太棒了，比如《線性代數應該這樣學》《複分析：可視化方法》《微分方程、動力系統與混沌導論》，個人認為都是學數學必讀的經典教材，非常非常有趣。
五、多讀書，讀好書
如果只有一句話概括如何培養數學能力，那麼就是這一句：多讀書，讀好書。因此這一步我想單獨拿出來多說兩句。
想必大家都十分精通並能熟練應用小學數學。想讀懂代數幾何，或者退一步，想讀懂資訊理論基礎，你就要挑幾本好的基礎教材，最好是外國人寫的，像掌握小學數學那樣掌握它。不要只看一本，找三本不同作者的書，對比著看，逐行逐字看。有的地方肯定看不懂，記下來，說不定在另一本書的某個地方就從另一個角度說到了這個東西。
如果你以後還要往後學，現在看到的每一個基礎定理，以後還會用到。 每一本基礎書，你今天放棄，明天還要乖乖重頭再來。 要像讀經文一樣，交叉閱讀對比不同教材內容的異同。
5.1. 推薦教材（其實就是我讀過的覺得好的書）：
第一級：
《線性代數應該這樣學》
卓里奇《數學分析（兩冊）》（讀英文版吧，不難。有知友說這個還是不太簡單，那你可以先看個國內教材，然後回過頭來再看這個）
復旦大學《概率論》
第二級：
芒克里斯《拓撲學》
圖靈叢書的一些分冊
柯斯特利金《代數學引論》
Vapnik《統計學習理論的本質》
Rudin《數學分析原理》
Rudin《泛函分析》
Gamelin《複分析》
彭家貴《微分幾何》
Cover《資訊理論基礎》
第三級：
《微分流行與黎曼幾何》
《現代幾何學，方法與應用》三卷
5.2. 閱讀一些科普教材
《什麼是數學:對思想和方法的基本研究》
《高觀點下的初等數學》
《巴赫、埃舍爾、哥德爾》
《e的故事》
5.3. 閱讀各個領域最有趣、最活潑、最讓你長知識、最重視應用、文筆最易懂的教材和書籍
《費恩曼物理學講義》三冊
《混沌與分形：科學的新疆界》
《微分方程、動力系統與混沌導論》
《複分析：可視化方法》
最後想說，數學是一個無底洞，會消耗掉你寶貴的青春。一無所知的你可能勵志搞懂現代數學，但是多會半途卻步，同時剩下的時間又不夠精通另一門科學。而且即使你精通純數學，沒有幾篇好文章也並不容易找工作。
我的建議是在閱讀數學的過程中開拓眼界，純數學和應用數學學科都看看，找到感興趣、應用廣泛、工作好找（來錢）的方向再一猛紮下去成為你的事業。比如數學紮實，編程能力也強的人就很有前途。
我覺得數學修養至少包括：基本功、思維習慣、智慧、實踐意識
基本功。通過閱讀數學教材，了解數學的十幾個大類，數十個小類的理論；通過演算一定數目但必須經典的數學題目（爛題、重複題少做；做一道題就把它做透）。
思維習慣。在理論研究和實際生活中，處處皆數學，數學的思維習慣就是——強邏輯。當聽到、看到或者自己想到一連串推斷時，應認真審視每一步推斷的邏輯性。要注意這樣做絕對不是為了挑刺，要和別人或自己的想法過不去，而是一種訓練意識。在這種訓練中，你會領悟到很多真正重要的東西，起步會比較痛苦，但收穫後就會越來越愛上這樣的訓練。
智慧：數學本身產生的智慧有限，數學只是一種工具語言，它比普通語言更善於準確描述邏輯和規律，所以是天生的描述深刻思想的工具。深刻思想——或者稱為智慧，其實是各行業人在反覆的工作實踐中發現的可利用的規律，真正的數學家，只是把數學作為描述規律的語言，他們會更在意使用數學語言來描述事物的規律。數學家要親身實踐，對規律的原型有切身體驗，然後通過反覆思考，總結出可利用的規律，並用數學描述出來。
實踐意識。上面其實都涉及了，學以致用，學數學是要反覆用的，要實踐。實踐是檢驗真理的最終標準。實踐中可以糾正數學演算中的錯誤，可以使你從數學訓練中獲益，激勵你進一步地聯繫數學，應用數學。
樓上精闢細緻的回答很多. 我補充一個自己感觸比較深的方面: 建模的能力.
--我覺得這個是 數學能力的一部分,且是非常實用的那一部分,所以專門說出來.
數學是世界運行的抽象表達,建模能力就是 把現實世界中的問題與數學問題聯繫起來的能力.建模的過程是一種抽象過程, 是一種尋找問題核心的問題重新定義過程.
小時候經歷的 奧數訓練是和這個有關, 但我覺得 更多的練習提高還是 要學會從現實世界中進行
(1)模式識別,
(2)變數和常量的識別並定義,
(3)屬性與特徵的區分,
（4）模擬過程（偏於定性）和數字過程（偏於定量）的區分 --注釋【1】
並本著 科學精神進行有預設目的的實驗性觀察.
如此反覆,也許就能 見個靠譜的模型了.
個人認為數學能力主要可以分為以下幾個方面：
- 數字能力。有人天生對數字比較敏感，算術能力比較強，這個跟記憶力有很大關係。當然一定程度上是可以後天訓練的，也有一些訓練算術和記憶的方法，久之，大腦會提高對數字的敏感度。
- 數學想像力。一種當然是空間想像力，大家學立體幾何時深有體會這個是否自己強項。我感覺這個天生因素為主，地圖半天看不懂，空間感較差的同學立體幾何肯定學得費勁。還有另一種想像力，我認為在數學中比前者更重要，就是對數學概念和問題的直覺和聯想能力。能很快聯想到遇到的某問題與先前的某問題有類似之處，或者直覺出某概念可能具有某些性質。這對快速和深刻理解數學概念很有幫助。
- 邏輯思維能力。確切的說，該能力不只屬於數學能力。許多其他學問中也都用到，它是學習現代科學的最基礎能力。但它在以嚴謹著稱的數學學科中更顯基礎。其實這種能力與2中所述直覺能力相對，兩者在數學中都十分重要，強大的前者能豐富後者，而敏銳的後者能促進前者。個人覺得邏輯思維是後天最容易鍛煉的一種能力，在注意力集中條件下多練，自然能有提升。
- 數學應用能力。這項本身並不在數學之中，但所謂數學的有用性我們無法在數學本身中證實，我們只能通過應用數學於其他問題來詮釋數學的魅力。而正是在這種實用中，數學本身也得到了發展。我們的數學能力也因應用能力的提高而提高。我看來，現在社會中的我們最缺的還是這項能力。如何把一個現實問題的解決結合上最佳的數學知識和手段，從而用最優的辦法處理之。從數學的角度，敏銳發現問題，深入分析問題，尋找方法和解決問題的能力是我們需要不斷培養的。最不應該的就是我們能手工計算一個3階矩陣的逆，卻不會算移動用哪個套餐最省錢。當然，這種數學的實現能力也是最難的，也涉及到很多其他學問，但只要多思考現實中的問題，就會發現數學無處不需要，用自己的方法和理解去用就一定會有提高。
數學並非像大部分國內教學中的那樣程式，深奧，和遠離現實。理解它，並慢慢結合自己個人化的理解和直覺，它就會很親切。做題並非不可取，做題也是一種思維訓練，但學數學不能只知道重複做題，做不到舉一反三的做題只會增添對數學的誤解。但其實，只要你去發現，生活中到處有你可以訓練數學能力的問題。嘗試才可能有進步。
最後，如果你是替孩子們問的，同意前面有些朋友的看法。我確實很想說，挖掘數學潛力的確應該從小學甚至更早開始，應該給孩子一個良好的學習環境。如果是碰上死板的老師，那真是對祖國未來的扼殺，寧可讓孩子瘋狂地玩也不讓他絕望地學。千萬要保護孩子對數學的興趣。
什麼叫做數學能力？姑且理解一下，分為算術能力和數學素質。
如果要提高算術能力，應該比較容易，可能的辦法有：
1、做三年級口算題。基本是百位以內的加減乘除，可以幫助加強數字敏感；
2、做「+-*/得24」的那個遊戲，抽撲克牌做；
3、如果有能力每天做5到積分題。
如果要提高數學素質，這個相對比較難，但是比較有意思。
華羅庚有一系列數學科普的書，寫的非常好。有興趣的可以看一下。包括了數論、幾何、數學邏輯等等。（《從楊輝三角談起》、《從祖沖之的圓周率談起》、《從孫子的「神奇妙算」談起》、《數學歸納法》、《談談與蜂房結構有關的數學問題》）
這個問題還挺大的。數學能力就像一條鎖鏈，環環相扣，基礎知識的連貫性非常重要，缺失了一環，之後的東西就無法深刻理解。
要培養數學能力，最好的方法就是從基礎開始訓練。有一條很重要的核心就是要有符合數學的思維方式。
最近幾個博士朋友一起做了一個公眾號，就是關於學習方法的，「高效學習的道與術」。正好之前寫過一篇相關的內容。
數學家是能夠發現定理之間的聯繫與類比的人，一個更好的數學家能夠發現證明之間的相似性，而最好的數學家能夠注意到理論之間的相似性。終極數學家能夠發現類比之間的相似性。
——波蘭數學家 斯特凡·巴拿赫
正確的數學思維的核心是認識到：數學的本質是要在已經解決的問題的基礎上，通過化歸的手段把新的問題轉換成已知或者已經解決的問題。
為了形象的闡述上述內容，我們可以先來看一個關於數學家的小笑話。一個工程師和一個數學家被帶到廚房裡，給他倆每人一個空的水壺，並讓他們各燒開一壺水。工程師和數學家都擰開了水龍頭，把水壺灌滿，然後把壺放在爐子上，將水燒開。第二天，他們又被帶到廚房裡去了，這一次，給了他倆每人一個裝滿水的水壺，讓他們把水燒開。工程師直接把壺放在爐子上，把水燒開了。數學家想了想卻把壺裡的水倒掉了，這樣就變成了一個他已經解決過的問題。
雖然從一個普通人的角度去看數學家的做法很可笑，但是它卻形象得表達了數學家們是怎樣思維的：他們通過類比、歸納、聯想的方法，在不同的問題之間找相似性，從而把新的問題轉化成已經解決的問題。其實這種解決問題的方法不僅僅適用於做題，還被應用在數學的創新發現當中。數學大師歐拉就是通過一步一步的歸納和猜想，最終發現了凸多面體的歐拉公式（頂點數-棱數+面數=2）。
我們的公眾號里還有更多介紹學習方法的文章，這些方法不是基於個體的經驗和猜測，而是總結自教育學家、認知科學家、心理學家的研究成果，希望能夠對您的學習有所啟發。歡迎點擊下面的二維碼加關注！
為什麼學習刻苦卻成績不佳？為什麼學過的知識都還給了老師？……以前，學校並沒有教給我們怎麼學習；現在，大量的研究能夠提供科學指導。關於怎樣更好得學習，你的競爭者可能已經在這裡獲取了指南，別給他們超過你的機會。
關注「高效學習的道與術」，給你的頭腦來一場風暴
我認為要想培養數學能力，最好的辦法還是建立對數學的興趣。
數學是萬物運行的基本規律，大到宇宙天體的運行軌跡，小到對一個弦的計算。無不跟數學有關係。
通過研究數學史你會發現，那些課本上的死理論，難記的公式都是前人在解決實際問題中逐步發現，逐步完善的。就連1+1=2這種看似公理的事情， 也可以用數學方法證明。
目前學校教授數學的方法，最大的問題在於，只教授公式的計算，甚至不告訴你這個公式可以幹什麼用。但是如果你多了解一些，就會發現，這些公式和實際生活是密不可分的。
在學計算機之前，我認為矩陣只能解方程。對於逆矩陣等等知識，只是認為是一種過程。後來才知道矩陣，逆矩陣可以做如此多的事情。
所以我建議，如果想培養數學能力，一定要全面的了解數學，數學不是課本上死記硬背的公式、公理。
記住，數學的根本目的還是為了解決實際問題
數學能力有兩個層次：理解問題和解決問題。
（一）首先要有足夠的邏輯能力，理解問題的實質。
1、理解已知條件之間的關係；
2、等價轉換的能力：把條件換成另一個等價的條件，或把問題換成另一個等價的問題。
（二）其次要懂得使用工具或方法來求解，工具包括定理、公理、公式……方法包括排除法、反證法……
所以我認為數學能力可以通過很多方式培養，並非完全從做數學練習題本身獲得。
第一個層次的能力，可以通過多閱讀，多與人交談，觀察和關注真實世界，等等，都可以提升相應能力，書中是學不到的。
第二個層次的能力，則必須通過學習和練習，別無他途。數學工具和方法並不是必須嚴格遵守的紀律，但卻是經過驗證的一條可能有幫助的路徑。
我覺得上面的一些答案都講得太形而上學了，尤其是什麼「建模的能力」，這是數學能力不錯，但是怎麼培養卻沒有說的很清楚。
數學說到底還是一門需要花費大量功力的學科，大量的基礎訓練確實必須的。丘成桐先生本身就是以極端的勤奮著稱。一旦打好了最初的基礎，後來的事情也就水到渠成的好做了。
我說兩條自己的切身體會吧：
1、任何時候數學基礎，數學基本功都是極端重要的；
2、丘成桐先生說過：
「培養一位好的數學家，一個重要步驟是在他們開展研究工作時具備數學的基礎知識和技能。要讓在頂尖學校學習的學生感到經常有壓力和挑戰，使得他們刻苦工作，保持一個良好的工作狀態，現在經常有來自中國大陸的學生大談數學的哲學，而不能坐下來做紮實的計算。」
——從中我們也可以得到大量的啟示。
學習數學、培養數學能力的方法就是做典型的數學題。華羅庚說過，不做題，如入寶山而空返。先思考一段時間，再和別人交流或者看解答。
初高中的初等數學過分強調技巧和熟練度，很少有數學思想的學習。因為高等數學中的概念比技巧更加重要。所以，以後的中小學教育最好能有接受過高等數學良好教育的人來教。
正如談藝術離不開藝術家，談數學思想離不開大數學家，推薦《數學大師》。
大學課程的學習入門是需要老師引導的，因為現代數學越來越抽象，研究生課程老師講過自己看效率會高很多倍，同時不做題還是很難理解概念。
現在的數學研究工作需要你極大的興趣，每天投入十幾個小時，十年如一日，同時還能夠忍受清貧，老師互相開討論班，使用最新的數學工具做各種各樣有意思的嘗試，你好不容易做出來的成果也很有可能是錯誤的。佩雷爾曼證明的龐加萊猜想就是使用最新的Ricci流工具解決。好的數學工具可能具有更本質的內涵，體現更多的思想，法國等一直走在數學大國的前列。
不專門學習數學的閱讀數學類的科普書籍也很有幫助。
對於非數學專業的同學可以接觸一下數學建模和編程，還是老老實實選擇性的多學習各數學學科的基礎課程，得多學習幾遍、多花時間做題，入門可以找專業的數學老師詳細諮詢，選擇學習的書籍很重要，推薦讀英文原版的。網路如此發達，也可以選擇在線課程。
學習些專業課程、數理邏輯、批判性分析和音樂對數學學習也很有幫助。
最後，通過做題能幫助你養成多思考的好習慣。
學數學之前，我覺得先了解數學家，感受下大家風範，有助於激發對數學得興趣。
我試著拆分一下您所說的「數學能力」，大概您可能指的是，
1. 計算能力，想提高就多做題，這是我們在中學以前的數學課上主要乾的事情。
2. 數字敏感性，可以定向訓練，在日常工作中經常會提到。
3. 邏輯思考能力，這個複雜點，而且應該不是數學問題，應該屬於心理學範疇。大概是這樣，人的邏輯思考能力在兒童期形成，如果在那個年齡段出了問題，損害是永久的，後天通過訓練可以彌補部分，但是，好像完全恢復不太可能。
4. 數學（那應該叫）天分，真的很不幸，那是天分。做個類比，就象您無論多努力，畫多少張畫兒，上了美院附小、美院附中、美術學院，學士碩士博士都讀全了，您該是一畫匠還是一畫匠，人家一木匠，該是齊白石，就是齊白石。
當然，這並不是不叫您努力學習啊。畢竟在普通人類的生活中，需要天分的時候很少，譬如上大學，只要不是數學以及緊密相關專業，普通人都對付得了。努力足以。
而且，即使您不幸讀了數學或者與其緊密相關專業，數學沒學明白，至少可以拿來當做哲學學。
有個數學老師做爸爸，從娃娃開始抓起。
主要是鍛煉自己的邏輯思維和推理的能力，很多的數學問題其實並不是很高深的學術問題，甚至是一些被人認為是技巧的東西，往往這些抓住問題的特徵本質，很多的數學問題特別是代數方面的問題，有明顯的邏輯特徵，一個是要發現這些邏輯特徵，找到特徵後就要對症下藥，這是解決問題的能力了
簡單點說就是你在生活中遇到的每一個問題都盡一切可能的用自己學過的數學知識去解釋，舉個例子，油價為什麼會上漲？這時你就可以思考與油價相關的條件因素再進一步討論這些因素是怎麼影響油價的，比如因為伊朗和美國的關係很僵，霍爾木茲海峽隨時有爆發戰爭的可能，這時從霍爾木茲海峽進出的貨輪就可能會減小，再又供求關係，供給量減少，在需求不變的情況下，價格必然上升，這時你就可以根據往年的數據建立一個函數，預測油價的漲幅。（只是一個簡單的例子沒有深入的研究）這樣你就會覺得數學在你的身邊，這樣學數學就不會枯燥了。我們有的時候都太直接了，太功利了，只是想著如何去快速達到目標，殊不知達到目標最快的方式就在我們的身邊。
嗯……就基礎來說，到最後的話，就跟喝水一樣吧。
什麼是數學能力嘛……是這樣的，其實分成兩個部分。
第一個部分跟數學無關，第二個部分只跟數學有關。
第一部分的話，是一種心態。第二部分，是一種積累。
心態就是直面的心態。既是坦誠，又是不偏不倚，純粹地去迎合，去接受，去追逐。
積累就是知識和經驗的積累。
當然，一個很會做題的人，也許就是看這個回答的你，會覺得有一種「感覺」在裡面，比如說拿到一道題就會做之類的，或是做題時有興奮感之類的。但是，這算不算是有數學能力呢？
又比如，邏輯性很強，很會推導，會做成體系之類的，算不算就是有數學能力呢？
我覺得不算。
凡是和「感覺」、「心情」沾邊的，都不能算。
沒辦法，做數學就是這樣。
最後多說一句，數學確實難，但不是人們想像的那種難。
不是小學生的話，當然是先讀數學史。
- 一直在找一種普適的方法去研習數學的精髓，直到現在還是覺得自己很淺。
- 不斷重複地訓練，不斷重複地感悟是捷徑。這是我的感覺。
- 進入工程領域，運用經典的方法去解決問題會有收穫，例如電子工程。
- 拿起手邊的書，坐在那裡躊躇一下午，感覺快樂，這就夠了。
學數學的最大收穫是什麼，最重要的就是邏輯思維能力，數學能力強不一定是說能記得多少複雜的公式、能做多少奧數的題，關鍵是要有那個思維方式。畢業之後什麼公式、定理那些差不多都要全還給老師了……
我鍛煉這個思維方式是做難題，中學時就是喜歡做比較難的題目，想半天想不出來的話再看看參考答案或找一下參考書上類似的題目，經過仔細思考後再一看參考解答的思路就會很容易理解和學著那樣思考；當然如果自己想出來了就有成就感就更喜歡數學了……
數學學到最後，就成了哲學了。
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