累加1/n在n中不含9的時候為什麼是收斂的？
12-06
我們數學老師提的，沒有學過高等數學，嘗試用程序找，一直沒找到。
我們假設
這是個數數＋等比數列求和的問題。
謝邀。上面已經說過嚴謹的證明方式了，那我來說一個直觀的理解吧。
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …… 這個求和是發散的。而挑出其中包含9的項(比如1/9，1/29，1/91)之後為什麼收斂呢？
剛看到這個問題時，大多數人第一反應應該是，含9的分數那麼少，挑出去之後怎麼會收斂？
比如前十個數裡面，只有1/9一個數含9；前一百個數裡面，只有1/9 1/19 1/29 …… 1/90 1/91 1/92 …… 1/99 這19個數含有9。直覺上來看含9的數看似很少，然而事實並非如此。
考慮前10^k個數，其分母包含了k位(位數不足用0補上)，每一位都不是9的概率是0.9^k。
當k是1時(前10個數)，不含9的數佔總共的0.9，也就是9個，含9的是1個。
當k是2時(前100個數)，不含9的數佔總共的0.81，也就是81個，含9的是19個。
……
當k是10時，不含9的數只佔總共的0.35，剩下65%的數都含9。
當k是100時，不含9的數只佔總共的0.03%，幾乎所有數都含9。
說白了，一個數有100位的時候，其中一位上有9的概率相當大。這個含9的數列並不是原數列的一小部分，而是絕大部分。而剩下的不含9的那部分才是很少的，少到從原數列隨機挑一個出來，不含9的概率是0。
說到這裡，這個收斂的結論其實看起來應該是很直觀的(雖然並沒有給出證明= =)
很有意思的問題
對於多數人，包括我，最開始看到的時候，感覺很驚訝，潛意識中覺得不可思議。解題當然很簡單，把整數按位數分類估計就可以了。有趣在於，直觀感受是數字中有9的數只佔了很小一部分，但事實與此相反，這些數佔了絕大部分，隨著整數位數增多，這個佔比以驚人的速度上升(冪次上升)，以至於在整數集上，剩下的數少到其倒數和都收斂了。
顯得，對於p級數，收斂的p的取值變多了，容易證明，p的一個下界是lg9，至於是不是下確界或許下確界是多少，懇請會算的知友告知。
圖片來自於知乎問題：
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