如何將一張A4紙快速折出完美的五等份？

12-06

晚上在辦公室收了份垃圾傳真，就拿在手上想折出個什麼小玩意來，然後靈光一閃就想折個五等份出來。
可能是腦子太笨了，想了半小時也想不出個答案。
故虛心請教知乎各位大神
歡迎來虐，歡迎來噴，歡迎各路英雄解答！不勝感激！

如圖，把一張紙對摺對摺再對摺。看到那兩個紅點沒？

經過這兩點折出一條摺痕，跟下面那條邊交點就是。

七等分點鏈接傳送門：如何通過摺紙找尋七等分？ - NichVong 的回答，裡面有更多有趣的乾貨哦～

-------------------------------

補一種方法，由@pi-tzjfqist在如何將一張A4紙快速折出完美的五等份？ - pi-tzjfqist 的回答中的方法想到的。他在這種方法中應用了一個絕妙的思路：同時通過兩組相似得到一系列長度相等的線段，從而實現了將n等分點外推成n+2等分點。

下面上圖。

先通過對摺的方法分別找到一組對邊的中點和1/8點，就是圖中兩個紅點。再如圖所示折出兩條摺痕，則它們的交點在下面那條邊上的投影是下面那條邊的五等分點。

這種方法由如何將一張A4紙快速折出完美的五等份？ - pi-tzjfqist 的回答中的方法聯想而來。原答案中通過外推，由三等分點得到了五等分點（同理三等分點可以由一等分點外推得到，而一等分點就是整條線段），作者也做了推廣，說明這樣可以外推得到任意奇數等分點，再通過對摺就可以得到任意正整數等分點。

這種外推的思路十分巧妙，但每次外推兩個的方法有些類似於函數遞歸，當n很大時這樣做就有些繁瑣。下面是一些小簡化。

首先將雙側外推改為單側外推，這樣就可以在四等分點的基礎上推出五等分點，而四等分點比三等分點更簡單易得。依照原方法可以得到下圖。

具體做法與如何將一張A4紙快速折出完美的五等份？ - pi-tzjfqist 的回答中的方法基本相同，不作贅述。

但是考慮到實際問題，這樣修改之後左上角那個點被移到了紙的外側，原方法中作它與右上頂點連線的中點在這裡就沒法折出來了。解決的方法不止一種，我這裡選一種相對簡單的，如下圖。

使這個點與紙的左上頂點重合。這樣就作出了五等分點。

由於五等分點只需要作出一個就能推出其它三個，所以我只保留了作出其中一個所需要的步驟，於是有了之前所說的這種方法。

其實這種「外推法」不僅可以由n推出n+1，還可以由n推出n+m，其中m是任意的。也就是說這種方法也可以適用於任意正整數。具體推廣不作贅述，有興趣的讀者可以自己思考。與這種「外推法」相映成趣的是「內推法」。「外推法」的作用是4→5，而內推法的作用則是8→7。我將它作為七等分點的一種方法寫在如何通過摺紙找尋七等分？ - NichVong 的回答中。

新更新一個方法，同樣是三角形相似的任意等分。

1，在想等分的一邊的對邊，畫任意長度五個連續相等的等分。

2，交叉連接五等分兩個端點和紙張下邊緣兩個頂點，如紅線

3，連接等分點和紅色交叉點作延長線，如綠線

好啦，綠線把下邊緣五等分了！

————原答案————適用於任意等分的方法：

1，將你想5等分的一邊對摺三次分成8等分，產生7根等分線

2，對角線對摺一次

3，取對角線與第五根等分線的交點，橫折一次，標記第一根到第五根等分線的交點

4，沿著紙張左上頂點和前四根等分線上的橫著交點折四次如綠線所示

5，四根綠線與紙張下邊緣的交點就是五等分的四個點。

同理適用於任意等分。等分成M份，就對著N次，取最小的N令 2^N＞M。
然後取對角線和第M根等分線的交點橫折。
後面的步驟就都一樣了。
用了三角形相似的原理。

-----------葫蘆哥的分割線------------

評論里說綠線不好折，我寫答案的時候默認什麼工具都沒有純手摺。
有工具的話那就直接直尺鉛筆畫線吧。

2016.10.25更新
有評論說這樣做摺痕太多啦，那就稍微改進一下，其實原理還是一樣的。
首先和原答案一樣，沿長邊以任意寬度連續對摺5次，形成5個長度相同的間距，如圖

然後把最底下的點與右上角連線，形成一道摺痕。

最後以斜的摺痕與第一條橫的摺痕的交點為基準，豎著折一下，就好啦，摺痕比原答案少了一些。

以下為原答案
===================================================================================
我來提供一個簡單的方法吧。
首先沿長邊以任意寬度連續對摺5次，形成5個長度相同的間距，如圖

然後把最底下的點與右上角連線，形成一道摺痕。

翻折此摺痕，讓此摺痕重合，形成另一條垂直摺痕

沿此垂直摺痕，依照旁邊幾個等分點，做出幾個平行摺痕

噹噹當........，5等分點出來啦，依照這5個點對摺，自然就輕鬆把紙張5等分啦。

嗯，運用經典的3:4:5勾股三角形怎麼樣呢

如圖，在正方形中，先折出邊長3/4的點，然後沿紅線折出一個3:4:5的三角形，再將折起來的紙沿藍線對摺，讓紅線的兩部分相互重疊，從而藍線垂直於紅線，根據相似三角形關係，紅線下半部分長度就是4/5；然後再沿綠線對摺，讓紅線與邊重疊，第二次摺疊的點在邊長上的位置就是1/5的位置。然後按這個長度折就是5等分了。

說些題外話，摺紙能夠做到的遠比折出1/5更強的操作。準確的來說，摺紙是比尺規作圖更強的一種操作，比如通過摺紙可以實現三等分角。一個較為簡略的介紹請參見http://www.guokr.com/article/64469/。

答題前聲明，正文內容為答主獨立發現，如果已經有前輩發現或者發表過相關內容，請提供出處或者鏈接，本人不勝感激。
如之前未有發現，引用時麻煩註明出處，謝謝。
如有計算錯誤，煩請儘快告知，謝謝
@白如冰@靈劍@曾加@Richard Xu 麻煩各位有空幫忙看下，謝謝
-------------------------------正文------------------------------
通過摺紙一次性三等分+五等分
和題目略有偏差，不是A4紙，而是正方形
用R強行畫的
正方形ABCD，E是CD的中點（對摺一次找到E），將C折到E，BC邊就會變成EI邊，EI和AB相交於H（第二次對摺），H是AB邊的三等分點。I點落在AB邊的投影J點，J是AB邊的五等分點
找到等分點，等分面積就簡單了。

----------------------------更新線-----------------------------------------
@NichVong 感謝對我的方法進一步推廣，並找到該方法原理，使得尋找某些等分點成為非常容易實現的工作
如何通過摺紙找尋七等分？ - NichVong 的回答

有朋友提到這個方法沒有一般性，那我再再取兩個數，用同樣的方法來一遍吧（第二個例子方法有點不一樣，不過原理還是初中的相似三角形）。
一張紙如果只通過對摺的話，之能得到2的n次方份。如果我要分一個7等分出來，我就去找2的平方數里哪個比7小但是又最接近7，那樣就可以減少在紙邊上對摺的次數。於是有以下結果：

把兩條交叉線折出來，得到兩個相似三角形，它們的底的比為3/4：1，就是3：4，高的比自然也是3/4，自然就把正方形的豎邊分為7份（都分成3：4了別說不會細分吧……）
如果這個數是11，本來按照上面的方法是分成8：3，如果我不想分成8份那麼細，怎麼辦？
其實斜邊的等分也可以利用起來，這樣紙面就更整潔一些。方法如下：

（ps剛才懶得延伸畫布，圖沒全，但是不影響……）將正方形左邊的線分成2份，然後折出藍線，向下延長較短的藍線和底邊相交，得到底邊為2的三角形和上面較小的底邊為3/4的三角形相似，他們的底比為3/4：2，即3：8，高的比自然也是3：8，於是很容易就能把正方形豎邊分為11份。
用這個方法也可以改進原答案里的分5份，每條邊只需要對摺一次取中點。
題外話
摺紙里有種玩法是分析別人的折線圖，然後取點折出來。很多時候也要用到以上的方法，有時分出來的數不是實數，而是像 $sqrt{2}$ +1：1之類奇奇怪怪的數，用上面的方法也可以很輕鬆取出來且保證紙面整潔。
---------------------------------------------原答案---------------------------------------------------
有樓提到摺紙人的方法,我畫一個平時最常用的吧,以正方形為例,原理懂了就都一樣的.
摺紙最忌諱添加不必要的摺痕,所以很多玩摺紙的平時要想的無非是怎麼用最少的摺痕折出最奇怪的比例..這個全部是整數的真的是很簡單了.

上下三角形相似,底:底=高:高,只要一條多餘的線(45度斜線大多數情況都是主角所以人家不是多餘的線哈)
上面的方法其實都有想法不過線真是多得慘不忍睹啊...

尺規作圖法和直接摺疊法。
先說尺規作圖法：
（不會用作圖軟體，圖很醜，請見諒）
1.用圓規任取一段距離，在A4紙底邊上以某一點a為圓心畫段弧，保持圓規開口大小不變，以之前那段弧與底邊的交點b為圓心再畫一段弧，讓兩段弧有交點c，連接各交點得到一個等邊三角形。

2.還是保持圓規開口不變，以a為圓心畫弧與A4紙底邊交點為d，b點同意做法得e。可得知∠cde=∠ced=30°

3.平移cd到A4紙底角上，ce同意做法，得到一個更大的等腰三角形ABC，∠ABC=∠ACB=30°

4.等邊三角形兩邊也平移到A點得到一個更大的等邊三角形，把A4紙3等分。

5.延長EA與A4紙頂邊有交點F，把線段FG與線段EC分別平分，連接HI與AC交點為N。

6.過點N做BC的平行線，得線段JK=KL=LM=MN=NO，5等分完成。

拓展：
任意非2^n(n是正整數)等分都能用類似的做法完成。
例如7等分在5等分的基礎上重複5,6兩步

9等分建立在在7等分上，11等分建立在9等分上……2n+1等分都是如此。
2^m*(2n+1)等分也很好做，先把紙對摺m次，這樣每份都按2n+1等分做就行了。
2^n等分直接對摺n次就好了。
這樣一來n等分都能做到了。直接摺疊的做法：
1.角邊上隨意取一段距離連續摺疊3次，留下摺痕A、B、C，可知OA=AB=BC。

2.讓C對準另一邊，顯然∠ACO=30°，對摺線段AC，在紙的另一面留下摺痕OB。

3.先對摺紙，再過點B和點A進行摺疊，展開後摺痕OB軸對稱。

4.再次對摺紙，對摺∠EFG，得∠EFH=∠GFH=30°，展開得等邊三角形，3等分完成。

接下去怎麼做就不用詳細講了吧。
最後附上一張實踐圖

簡單方法等分一張紙：
卷個紙筒—看準了—按扁

補圖一張。

這個是俯視圖。畫成虛線是因為這種方法需要假定紙是沒有厚度的（有厚度的情形參考捲紙）。
O是第二步看的時候需要腦補的圓心，當紙筒攢（cuán）實，且起點、圓心、終點三點一線的時候，把紙筒用垂直這條線的力按扁就可以了。
描述得很複雜，實際還是挺容易的。
精確度嘛…多練練就有咯～（不負責任臉）

10.25
這條答案為什麼這麼靠後。。可能被太多人點反對了吧。。可我覺得這個方法很優越啊嚶嚶嚶。。。

只需要3步即可找到長或者寬的五等分點，那麼即可將任意長方形紙等分成五份。

第1步，通過對摺找到長和寬的中點，如E、F；

第2步，折出頂點與中點的連線，如DE、CF；

第3步，過兩折線交點折出長的平行線即可得到寬的五等分點；

同樣的方法也可以找到長的五等分點，如下圖：

接下來證明為什麼這個點是五等分點，以找寬的五等分點為例：

1. 對摺、對摺、再對摺，這樣可以把紙平分成8份。
2. 其中5份拿出來平分
3. 剩餘3份，重複1-3.

把紙捲起來達到五層時手動調整頁頭頁尾直到對齊然後一壓展開就是個五等分的格子A4了

快速：

傳送一個我覺得完美的：
http://www.zhihu.com/question/51870575/answer/128190228

＝＝＝＝＝＝＝×××＝＝＝＝＝＝＝＝
補充：

估測……
講真你們上小學隨堂默寫沒折過一張紙十行嗎？

寢室熄燈了，看到這個問題打著檯燈試了前面說到的，如果出於對數學解謎樂趣，也許會弄一下勾三股四那個，按照題目的意思，私以為卷一個圓可取，一邊三份，一邊兩份，壓扁的時候調整一下。自己試了下，可以整張紙對摺，然後，一部分對摺，使剩下一小部分寬度為另一邊對摺的一半，試了就知道^_^，如圖

1/3折法

1/5折法同理只需把2等分化為1/4

題主可以百度下摺紙七公理，這個問題就能解決。

這裡只是規定只用折的吧？
這裡有個比較非主流的方法，但這應該能對付任何邊長的長方形紙片
1.將紙片彎曲並蓋住紙片原來的一部分區域，並留出一部分區域
2.然後將空出來的那一部分區域彎曲向那個已經被彎曲的區域的外側
3.之後對摺彎曲一開始的那個蓋在一起的區域
（注意這裡只是彎曲，還沒折上去）
4.然後滑動紙片，使得各區域對齊，然後摺疊
感覺這樣有點粗暴啊。。。。。。

小白覺得直接把a4紙的長除以五不就可以了嗎？？？

難道你們上學沒事做過做英語作業寫單詞需要寫四英一中嗎？一般寫的時候都是折成5等分方便寫按那樣折不就可以了~~~

對於幾何不好的我來說上面的太難理解啦，我有一種特別好理解的方法

首先對摺，然後在其中的一半接著對摺，重複以上步驟，可以得到任意1/2∧n的長度

之後1/5～205/1024覺得精度不夠還可以慢慢折……

別罵我

折五次，成十等分，兩等分為一，如果覺得折的重疊太多，會有寬度的影響，也可以再橫著來一次啊