如何證明 1+1=2？

12-06

沒想到我隨意的一個提問會引出這麼多人的回答，一直以為只有回答問題的人有責任，沒有意識到提問者也擔有責任的，真的是我的不對，在此向各位道歉，破壞了良好的知乎環境

看了好多回答，真的恨不得找個地洞鑽進去，剛剛去搜了下知乎問答禮儀，get到了基本的禮貌禮儀

我都想自我舉報了QAQ

朕的數學...亡了

為什麼證明1+1=2那麼難？

為什麼需要證明「1+1=2」？

"1 + 1 = 2" 是定義, 還是定理?

請問1+1=2算公理嗎？若不是，應該如何證明？

1+1=2，1+1&>2，和1+1&<2有什麼科學的解釋？

1+1=2，宇宙中這個等式真的成立嗎？

1+1為什麼等於2？

為什麼需要證明「1+1=2」？

人類是怎麼計算1+1=2的？是二進位方法嗎？還是依靠記憶，那麼人類的記憶方式是什麼？存儲效率和速度又如何？

人類是如何從1=1推導出1+1=2的？

吳建華：如何證明數學公式 1 + 1 = 2 的成立？

如何證明數學公式 1 + 1 = 2 的成立？

1+1=2需要證明嗎？

關乎1+1等於2，我們的科學是否建立在正確的立場？

如果證明1+1=2是錯的，那要不要把以1+1=2所建立的數學體系徹底更改？

1+1為什麼等於2？1+2=3我已經證出來了。

誰規定的1+1等於2?為什麼公認1+1等於2?

為什麼要研究證明例如1+1=2這類的問題？現實意義在哪裡？

草木芳菲：為什麼數學上可以證明1+1等於2和1+1不等於2。這其中的原理和道理是什麼？

1+1=2是誰最先提出的，中國古代1+1=2么？

如何從心理學的角度論述1+1&>2？

為什麼證明1+1=2比證明1+2=3困難？

中國什麼時候開始使用1+1=2，全世界什麼時候統一使用1+1=2？

如何多角度地否定「因為1+1=2，所以3+3=4.」？

很久以前，有一個疑問，如果1+1不等於2，這個世界會怎樣？有的人說，如果1+1=1，那麼這個世界就是一個1。

0.9999……+1=2和1+1=2哪個更好？

人類是如何從1=1推導出1+1=2的？

我們可不可以用哲學的方法證明1+1=2呢？

為什麼一個簡單到1+1=2的問題知乎大神總是能打一堆字，甚至廢話來解答一個等於2的問題呢？

知乎應該學 SE, 加入題目點贊和題目踩

以下內容基本節選自《初等數論（第三版）》潘承洞潘承彪著北京大學出版社

Peano公理

設 $mathbb{N}$ 是一個非空集合，滿足以下條件：

對每一個元素 $ninmathbb{N}$ ，一定有唯一的一個 $mathbb{N}$ 中的元素與之對應，這個元素記作 $n^{+}$ ，稱為 $n$ 的後繼元素（或後繼）。
有元素 $einmathbb{N}$ ，它不是 $mathbb{N}$ 中任一元素的後繼。
$mathbb{N}$ 中的任意一個元素至多是一個元素的後繼，即從 $a^+=b^+$ 一定可以推出 $a=b$ 。
（歸納公理）設 $S$ 是 $mathbb{N}$ 的一個子集合， $ein S$ 。如果 $nin S$ ，必有 $n^+in S$ ，那麼 $S=mathbb{N}$ 。

這樣的集合 $mathbb{N}$ 稱為自然數集合，它的元素稱為自然數。

定理1

對任意的 $nin mathbb{N}$ ，有 $n e n^+$ 。

證明： $mathbb{N}$ 中所有使得 $n e n^+$ 成立的元素 $n$ 組成的子集記作 $S$ 。由公理2知 $e e e^+$ ，所以 $ein S$ ， $S$ 非空。若 $nin S$ ，即 $n e n^+$ ，我們來證明必有 $n^+in S$ 。若不然，則有 $n^+=left(n^+ ight)^+$ ，由此及公理3推出 $n=n^+$ ，矛盾。因此，由歸納公理4推出 $S=mathbb{N}$ ，證畢。

定理2

設 $minmathbb{N}$ ， $m e e$ ，那麼必有 $ninmathbb{N}$ ，使得 $n^+=m$ ，即 $mathbb{N}$ 中每個不等於 $e$ 的元素必是某個元素的後繼， $e$ 是唯一沒有後繼的元素。此外，這個元素 $n$ 是唯一的，記作 $m^-$ ，稱為 $m$ 的前導元素（或前導）。

證明：設集合 $A$ 由 $mathbb{N}$ 中所有這樣的元素 $a$ 組成： $a$ 必是某個元素的後繼。因為有 $e^+in A$ ，所以 $A$ 非空。設並集 $S=left{e ight}cup A$ 。顯見， $ein S$ 。若 $nin S$ ，由 $A$ 的定義知 $n^+in A$ ，因而 $n^+in S$ 。由歸納公理4就推出 $S=mathbb{N}$ 。因此，若 $minmathbb{N}$ ， $m e e$ ，就必有 $min A$ 。這就證明了定理的前半部分。由公理3可推出定理的後半部分。

定義：二元運算

設 $X$ 是一個集合，它有序對組成的集合，即乘積集合 $Xcdot X$ 是 $Y=Xcdot X=left{left{a,b ight}:ain X,bin X ight}$ 。

從集合 $Y$ 到集合 $X$ 的一個映射 $au$ 稱為 $X$ 上的一個二元運算。也就是說，對任意兩個元素 $a,bin X$ ，有序對 $left{a,b ight}$ 按規律 $au$ 對應於 $X$ 中的一個唯一確定的元素，記作 $auleft{a,b ight}$ 或 $a au b$ 。

二元運算 $au$ 稱為結合的，如果對任意的 $a,b,cin X$ ，有 $left(a au b ight) au c=a auleft(b au c ight)$ ；二元運算 $au$ 稱為交換的，如果對任意的 $a,bin X$ ，有 $a au b=b au a$ 。

定理3

在自然數集合 $mathbb{N}$ 上一定存在唯一的一個二元運算 $sigma$ ，滿足條件：

對任意的 $ninmathbb{N}$ ，有 $nsigma e=n^+$ 。
對任意的 $n,minmathbb{N}$ ，有 $nsigma m^+=left(nsigma m ight)^+$ 。

證明：太長懶得抄，有空補充。

定義：加法

滿足定理3的二元運算 $sigma$ 稱為自然數集合 $mathbb{N}$ 上的加法運算（或加法），記作 $nsigma m=n+m$ ， $n,minmathbb{N}$ 。

定義 $1$ 表示自然數集合 $mathbb{N}$ 中的元素 $e$ ， $2$ 表示 $e^+$ ，那麼根據上面所定義的加法， $1+1=e+e=e^+=2$ 。

Quod Erat Demonstrandum

相同的問題和回答是已經挺多了，不過我還想加一個……
用皮亞諾體系定義來說明自然是正確的，但是說一個東西「是這樣」並不能解釋「為什麼是這樣」，相信總會有人在心裡犯嘀咕。我想換一個思路，我們重新設計一次加法，然後說明為什麼我們設計的加法裡面，1+1必須是2

首先我們用皮亞諾公理定義自然數，具體內容不再複述，簡便起見自然數a的後繼用a"表示，不是任何數的後繼的自然數記為0，然後0" = 1, 1" = 2。

接下來，我們規定一個標準的序關係「≥」，它：

（自反性）對於任意自然數a，有a≥a
（反對稱性）對於任意自然數a、b，如果a≥b且b≥a，則有a=b
（傳遞性）對於任意自然數a、b、c，如果a≥b且b≥c，則有a≥c
（自然序）對於任意自然數a，有a"≥a

可以證明這個序關係這和我們標準的大小順序是完全相同的，它是一個良序（任意兩個自然數都有確定的大小關係；任意非空子集有最小元）

接下來我們來設計一種二元運算「+」。為了讓它和我們認為的加法一樣，它必須有一些比較好的性質：

封閉性：對於任意的自然數a、b，a+b也是自然數
交換律：a+b = b+a
結合律：(a+b)+c = a+(b+c)
逆運算：對於任意自然數a≥b，存在唯一的自然數c，使得b+c=a
這其實是在說可以定義一種減法，它是加法的逆運算，任意一個比較大的自然數都可以減去一個較小的自然數，得到一個確定的自然數。也可以像群的定義一樣，通過補充定義負數，然後用零元和逆元來代替這條性質。
序與加法：對於任意自然數a、b，有a+b≥a
所謂加法，在自然數範圍內，自然是要越加越多的。

它們蘊含了以下的性質：
（兩邊同時相減）如果自然數a+b=a+c，則b=c
證明：記a+b=a+c=d，則有d≥a，由唯一性得到b=c

（零元）存在自然數e，使得對於任意自然數a，有a+e=a
證明：首先因為a≥a，因此存在e[a]（e的取值和a有關），使得a + e[a] = a。其次，對於任意自然數a≥b，存在唯一的自然數c，使得a+c=b，因此有a + e[a] + c = b + e[b]，運用交換律、結合律得到(a + c) + e[a] = b + e[b]，運用上一條性質得到e[a] = e[b]，因此存在與a無關的e使得a+e=a

（零元與0）e=0

證明：因為a+e≥e，因此a≥e，因此e是所有自然數的最小元，也就是0

（保序性）對於任意自然數a、b、c，a≥b 等價於 a+c≥b+c

證明：

（充分性）由於a≥b，存在唯一的自然數d，使得b+d=a，因此a+c=b+d+c=(b+c)+d≥b+c

（必要性）由於a+c≥b+c，存在唯一的自然數f，使得b+c+f=a+c，因此(b+f)+c=a+c，運用兩邊同時相減得b+f=a，因此a≥b

（1+1） 1+1=2

證明：

因為2≥1，所以存在自然數c使得1+c=2，所以2≥c，根據零元性質有c≠0，c≠2，因此c=1，也就是1+1=2

（1+a）1+a=a"

證明：

運用數學歸納法

1) 對於a=0，命題成立

2) 如果命題對於a=n成立，當a=n"時，由於n""≥1，存在自然數c使得1+c=n""，所以n""≥c，根據零元性質c≠n""，所以n"≥c。由於1+c=n""≥n"=1+n，根據保序性有c≥n，又由於n"≠n""，所以c≠n，所以c=n"

根據1)2)由數學歸納法得證

(a+b") a"+b=(a+b)"

證明：a"+b = a+1+b = (a+b)+1 = (a+b)"

最後就得到了皮亞諾體系中定義的加法。可見，只要我們要求加法運算有足夠好的性質，它的定義方式就是唯一的，這也解釋了為什麼1+1=2

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更新：其實簡單來說的話，從這個過程上來看，其實問題並不是為什麼1+1=2，而是為什麼2-1=1，原理也很簡單：我們想讓2-1比2小，它又不能是0，那隻能是1了

這算是月經貼了，知乎上這個問題的舊答案很多，搜索一下很難嗎？@醬紫君的回答下面已經列出了一摞。在這個網路發達的年代，「搜商」是很重要的，對於學習者，能在短時間內搜索到一些問題的答案是一項基本生存技能。我希望問題目的人起碼做到下面兩點：
第一，自己搜索過而且努力過。

第二，題目描述不要反人類：你要寫，請你自己寫清楚。我遇到過這種：「我符號寫得亂，請回答者自己理解」，和著我是來猜謎的嘍？到底是你求助，還是我上趕著幫助你呢？你是電視劇裡面的女主角嘍，全世界都得溫柔地對待你？簡直是缺乏起碼的禮貌和尊重。

你拍照也可以，但是照片的話求你起碼保證照片是正的，而不是反過來的。很多人加照片是直接使用知乎的」拍照」，這是容易出現這類情況問題的原因，你先退出來，用手機拍一個正常的照片，然後在知乎裡面直接通過「使用相冊圖片」來完成。每次看到提問者給出一個倒的照片，我都得感嘆：這個人不是太懶，就是缺乏生活技能。這樣的人是學不好數學的。

因為自然數是有物理意義的，不是單純的數學符號，一個加一個就是兩個，因為1代表的是一個，2就是兩個。你願意另外建立一個公理體系說1+1=3也沒問題，但是這種自然數跟我們日常的自然數有不同的意義了。年輕人精彩犯的問題就是把一些簡單的問題認為很複雜，把一些很複雜的東西看的很簡單，這個問題在高中水平下是沒法解決的，你可以看看數學分析中的實數理論，其實真的沒有這麼玄乎。

這種「題目敘述樸素，不涉及高級概念」的數學問題，是完美體現知乎數學水平的好地方。什麼神棍都能跑出來插一嘴。
白大的回答已經很好了，覺得太長看不懂的。建議帶著明確下面幾件事的目的重新閱讀一下白大的答案：
1. 什麼是自然數？
2. 1是什麼？2是什麼？
3. 加法是什麼？

如果要給出一個可以不那麼嚴謹但要直觀的解釋的話…
可以把自然數理解為有一群人站成一排，每個人的後面都有一個人貼在他的背後【稱為後繼】;站排時不允許並排站人，因此不存在【有兩個人都貼在某個人的背後】和【有個人同時貼在兩個人的背後的情況】；這一排人中有個【排頭】，他站在隊伍的最前方，是唯一一個【沒貼在別人背後的人】，我們給他起名叫做【0】，給0的後繼起名叫【1】，給1的後繼起名叫【2】
然後我們給出一個【已知兩個人a、b，找到某一個人a+b的方法】，叫【加法】。加法滿足：
1. 對於任意的人a，a+0=a
2. a+(b的後繼)=(a+b)的後繼

那麼1+1=1+(0的後繼)=(1+0)的後繼=1的後繼=2

回答這個問題之前，請題主先回答：這是單純的數學問題，還是聽說哥德巴赫猜想之後提出的題？

國家都不讓開些亂七八糟的證明了！

什麼是1？什麼是2？什麼是3？……
簡單的說，數和運算符號都是特殊的文字，是約定成俗的定義。
1+1=2是一種定義，是一切數學的根基。
皮亞諾公理只是使這種定義的邏輯趨於嚴密，且必須必然基於原始定義。

在生物幼年，當本我意識的覺醒之後，就有了區分事物的本能。共同生活的人類群體的約定成俗制定了一系列的定義，諸如顏色、形狀、數量等等。
不同文明或許叫法不一樣，但對同一事物，文明內部必然有同一的稱謂。共同承認的定義是個體間相互交流的基礎。
數字是用來衡量數量的辭彙，也是一種是定義。原始人類有了數量多少的概念之後，將自然存在的單位物品(諸如人、水果、獵物等)稱為數量1，1個和1個和一起稱為數量2，再加1個稱為數量3……。定義數詞就是從定義了1+1=2開始，無需證明。
而皮亞諾公理的後繼數概念，本質依然是定義，建立於1+1=2的原始基礎。也就是說，1+1=2是比皮亞諾公理更基礎更原始的定義。
想用一個後發明的公理判斷或證明古老的命題，這是可行的；但要證明與其等階甚至更基礎的定義，這完全是不可能的。
定義只能改變。比如，漢字從古到今讀音或意義的改變，這算是一種定義的改變。例如，「兆」字，古代億億曰兆，現代一般指百萬。
定義的改變或許本來是錯誤的，但這無關緊要，只要可達成共識，新的定義就是可以被接受的。

看到這題突然想起初中班主任，也就是我們的數學老師。那時候的我們傲嬌任性，一群喜歡數學的孩子求勝心強，天天爭著解各種幾何題，然後拿去在老師那炫耀。時常也會拿著自認為難度很大的題去請教老師，看著老師要求解很久才能給出答案時，那種得意勁。當然得到答案之後也是相當的激動滿足。老師說起話來總是唾沫橫飛，因為有次說話噴出一粒蔥花被我們整整笑了幾年。一次不知道是怎麼想起來，跟幾個小夥伴爭論為什麼1+1=2，爭論無果，又一伙人衝到老師辦公室。老師聽後陷入沉思，但是依舊很有耐心的跟我們說出他的看法，具體說的什麼我已經不記得。只記得初中那幾年，是我的幸運，遇見這麼好一位老師。寬容我們的胡鬧，解答我們的困惑。老師很少強制性的灌輸內容，更多的是站在平等的角度去引導我們一起求解題目。對於叛逆期的我們是多麼大的認可，於是數學課上大家都是爭先恐後去答題。特別對於普遍有難度的題目，老師講解的時候都會先問大家的理解，然後把這些理解拼湊起來，經常題目就這樣解開了。那時候的我們，發現原來解數學題是如此有趣，智商一路飈到人生巔峰（進入高中後一路下跌，成為不折不扣的學渣）。離開初中已經好多年，漸漸的連關於老師的消息也聽不到了。但總是會時常想起那時候的一些小事，老師上課時邊說話邊走過，那得趕緊拿紙巾擦下桌上的唾沫星子，老師卻笑而不語還總是跟我們開玩笑。漸漸的，那時候的一些小事也記不太清了。但依然會記得有這麼一位老師，大家打心底喜歡的老師！

這不是數學問題，這是認知問題。這不是一個數學等式，這是定義式。定義了4個東西：
元（1），加號，等號，多元（2）。所有理性思維建立的開端就是這4個定義。不按這個定義來完全可以，一點不錯。要有人反駁說一個基本粒子放在另一個基本粒子旁邊就是兩個基本粒子，所以這是客觀規律，而與主觀認知無關。那是因為他主觀地將兩個客觀實體判定為「相同」了。

iPhone7到iPhone8少掉了1s

2(iPhone8)-2(iPhone7)=2s

1s+1s=2s

1+1=2

用皮亞諾公理定義自然數系，定義2是1的後續數，定義加法a+b為a的第b個後續數，然後就有1+1=2。

根據自然數上最常見的加法的定義，有

proof : suc (suc zero) ≡ suc zero + suc zero
proof = refl

這其實是個引入皮亞諾公理好問題，如果不是已經被提得看到就煩了的話。

2表示的本來就是比1大1的數啊。。。

老師說的

由後繼數的定義，1+1=1"=2。

就這樣，你手上有一個蘋果，我又給你了一個蘋果，你現在數一下是不是有兩個蘋果/認真臉.

多麼簡單，還需要設什麼吶.

在數學領域裡，1+1=2