如何理解數學的不可證偽性？

12-06

這是一個數學實在論的問題。這一系列的問題包括：數學實在嗎（注意：不是存在）？如果數學實在，實在在哪裡？數學知識的內在的還是外在的，或者說的發現的還是發明的？最後你就可以理解，在哲學上，你這個問題的提出已經包含了相當多的假設，而對於不信奉這些假設的人而言，你這個問題的提出本身就是不確切的。

1、實在。
一切問題的起源就是要從這個實在開始。實在的意思便是不依賴於他物而獨立存在的東西。關於這個實在的討論就牽扯到唯物和唯心的討論了，如果放在當代哲學的討論下，這個問題會更加龐雜。我們先假設問問題的人是唯物主義（自然主義）。則「實在」這個詞就可以理解為一般物體的存在都是實在的。那什麼不是實在的？可以舉例子，感覺、語言不是實在的，因為他們依賴於主體。

詞義辨析：存在。存在的意思從西方而言是「是者」，但我們現在討論的問題和這個是者還是沒有太大關係的。我們可以粗俗地理解，存在就是任何可以言說的東西（都可以表述為XXX是XXXX的句式）。因此，語言和感覺是存在的，物體也是存在的；但語言和感覺不是實在的。在這裡，可以清楚的發現，存在的概念比實在的概念要大。

2、數學是實在的嗎？

在匡正好了概念之後，我們可以明顯的發現，數學的存在性不容置疑，我們真正要問的問題是，數學實在嗎？

對此，數學家和哲學家提出了不同的見解。先從數學史說起，一個典型的例子是非歐幾何的誕生。在非歐幾何誕生之前，我們認為數學和世界是個完全對應的關係。不存在一個無法對應的數學理論。但當時已經有很多數學家在平行公設上下文章。當其中很大一批被大眾特別是教會說成是異端，這就說明，此時的數學觀還是自畢達哥拉斯學派而來的「數本原」說。我們來看一下當時高斯做的事也會明白這一點，高斯在生前也嘗試過非歐幾何，但是在他看來非歐幾何也有世界的對應物，於是他去測量了地理上很大的一個三角形（由於地球是球面，這個三角形的特徵可以認為是球面幾何的特徵），參考《數學的源與流》（數學的源與流 (豆瓣)）一書。這一時期的數學與之前的數學，非常強調數學的實在性。這一時代的特徵具有「物理實在論」特色，即數學的實在體現在一種它是一種物理的存在形式，和其他物體的存在本質上是一樣的，並能剝離開來獨立存在。
但隨後，非歐幾何的進步使得人們對於這個問題的理解開始質疑，黎曼幾何就有很強地脫離現實感。數學到底是否是實在的問題開始爭論。於是乎，關於數學的本質的討論在20世紀早期進入了白熱化。分別是直覺主義、邏輯主義、和形式主義。這三派的特點都是將數學開始描述成了一種認識論的存在，而非實在，相關內容參見三大數學流派_百度百科，因此也誕生了「結構實在論」的假設。數學的實在體現在一種結構上的真實性，它的結構和世界的結構本質上是一樣的，只不過一個由數學符號組成，一個則是物理質料組成。因此，這種理論具有「強模型論」特性，即兩個物體結構一致，則我們既可以認為他們是一樣的或者功能一樣的了。
然後是羅素髮現了著名的集合悖論、哥德爾發現了他的數學不完備定理。數學的本開始又被更加深刻地質疑，這又被稱為數學的第三次危機（前兩次非別為無理數的誕生和微積分中的悖論）。我們現在發現，數學在結構上可能都無法得到自洽，數學的實在性更加被質疑，似乎數學在這種結構上的真實性都難以站得住腳了。到了這個時候，對數學的看法也可以放在整個社會環境之中討論。此時是左派和新左派盛行之時。從存在主義運動、性解放運動、科學歷史主義的興起來看，此時人文對於現代技術性的批評進入到一個高峰。所以此時的危機其實也可找到社會歷史原因，是一種科學信仰危機，而之前的危機則體現在工具論的失敗上。（好像扯遠了）
總結而知，在西方，數學的認知是從物理實在論（自己扯的術語，謹慎引用）到結構實在論（這個術語是存在的）到越來越弱的實在論。而在中國，一直是工具論盛行，所以不存在這麼個問題。

3、數學是外在的還是內在的？

這個問題就是和實在論有一點差別，但很類似。這個問題的核心就是，數學到底是人為發明的還是世界真的具有「數性」。
如果數學是人為發明的，則這一現象是和人類進步息息相關的。我們很容易找到實驗證據證明隨著智力發展，小孩子對於數的認知更強。對於動物而言，不同智能呢過的動物也表現出對於數學的不同敏感度。而很明顯，幾何的認知也是基於視力發展以及腦內相關處理皮層的進化有關的。但是這些都不足以證明脫離這些認知主體的存在之後，數學是否真的還存在。從直覺上說，世界具有數性是很必然的一個想法。哲學上的討論，可以參見達米特、康德、羅素等人的討論。

4、回到題主的問題：數學是不可證偽的嗎？

準確地說，這個問題本身就是以上幾個問題的模糊表述，或者作為哲學圈外人的一種表述。這個問題就可以直接轉化為以上幾個問題。因為，你想問的問題實則不在數學的不可證偽性，也不是在於數學的科學性，而是在於對於數學是怎樣一種存在的討論。因此，把問題涵括成上面三個問更加恰如其份。
不可證偽。這個表述的來源是波普爾對於科學實在性的定義，是指如何判斷一個理論是「科學」。都與波普爾學說的理論可以大致理解為，波普爾想要解決一個休謨提出來的因果悖論。
休謨的理論可以大致概括為：我們不能通過有限的證據得到一個全稱命題的正誤性。什麼叫全稱命題，「所有鴨子是黑色的」就是全稱命題。我們不能通過有限個證據「某一隻鴨子是黑色的」來證明「所有鴨子都是黑色的」。
而波普爾的理論就是想說，科學的工作其實不是一種證據累積現象，而是一種驗證命題是否是錯的這麼一個過程。的確，從邏輯上講，「某一隻鴨子是白色的」就可以確實地證明「所有鴨子是黑色的」是錯的，而「有99999999999999999999999999999999隻鴨子是黑色的」都無法證明「所有鴨子是黑色的」。

但是波普爾的工作遠沒有如此。波普爾接下來發現，一個理論如果越容易被證否，則這個理論就有用，或者說越具有概括性以及預測性。比如「所有行星繞著恆星轉」和「地球繞著太陽轉」兩個命題。我們就可以發現，反駁前面命題的可能性要大於反駁後面命題的可能性。但是比較而言，第二個理論是空洞而沒有多少效用的。但是反過來，波普爾就可以說，一個理論越是具有效用或者說更廣泛地預測性，其理論就越容易出錯。
於是，現在理解波普爾的理論就很容易了。因此，科學性似乎和可證偽性是緊密相關的。越不可證偽，其科學預測性越差。極限情況就是，完全不可證偽的就不是科學。

波普爾舉得例子是阿德勒的個體心理學以及馬克思主義。阿德勒的理論認為，任何一種心理狀態都是由一種自卑心理導致的。那麼現在是否可以假想一個狀態否認這種狀態呢？假設一個人考試失利了，我們可以很容易解釋因為原先他受過重創，於是對自己的能力自卑，使得他很難再考試中發揮正常。因此一個人考試失利無法否認阿德勒的理論。那麼一個人考試成功呢？我們發現，同樣的原因，可以解釋因為他曾經考試失利，導致他很自卑，於是他總是病態地想證明自己，讓自己考試成功。於是他考試成功也無法否認阿德勒的理論。推而廣之，你就會發現，不存在任何一個現象可以用來反駁阿德勒的理論。在波普爾看來，這就不是科學了。

但在科學哲學學界，對於這種劃分的批評體現在對於科學的定義過於寬泛了，譬如占星學，巫術。這些都是可以證偽的，那他們是不是科學呢？

理解了不可證偽，再回頭看看題主的問題，就會發現。樓主想問的可能還是我之前的三個問題。樓主想說的潛台詞是：數學貌似是不可證偽的，那他科學嗎？而這個問題的實質其實更是想問數學是否真的客觀存在。

如果樓主真的想要「數學科學嗎？」這個問題的答案。那基本可以這麼認為：1、波普爾的可證偽性實際也有很多批判意見，他是一個標準，但從來不是真理，我們沒必要預設這個假設的正確來考慮問題。換句話說，這個標準本身可能就是錯的。2、數學科學嗎？這個問題其實有一點怪異。我們對於一個科學的「科學程度」往往基於兩個角度：一個是是否基於經驗的或者實證的證據，二則是是否有定量特徵。我們發現這麼理解「科學性」這個詞語我們可以發現這個假設之中就隱含著某種數學特徵。所以科學數學嗎？這個問題更容易回答，而且更符合我們的邏輯；而數學科學嗎則帶有某種範疇錯誤。就好比我們問，哺乳動物是靈長目嗎？

所以總結而言，題主的問題存在著某些模糊性、蘊含著值得商榷的一些假設。因此採取1、2、3這三個問題的回答貌似更有助於解答題主的困惑。

拋磚~

我認為，自然科學研究的基本對象是我們生存著的這個「自然」（生命，宇宙以及一切），目前看來是固定並且唯一的。我們是為了探索這個固定而唯一的「自然」而發展出了許許多多的自然科學。因為研究對象的固定性，我們的科學提出的各種假設與猜想會因為與「自然」的相似程度而被歸於「真」或「偽」的行列。

而數學研究的一個基礎是公理系統。不同的公理系統就好比不同的「自然」，只要這個系統是相容的（不會產生自我矛盾），那麼這個系統就和其他系統處於同一地位，不存在「真偽」之分。人們可以任意地提出自己的公理系統，只要保證相容性，那麼從這個系統出發，人們就能夠得到許多的命題。某個系統中錯誤的命題很有可能因為公理的改變而變得正確，就好比是「相對論」在我們生活的宇宙是成立的，但是很可能在另一個宇宙中是錯誤的。

數學是我們對這個世界最大程度的抽象。舉個例子，幾何中的點，就是一個純粹的概念。數學剝離了它一切具體的特徵，創造出一個沒有大小，氣味，顏色等等屬性的抽象物質。這種抽象的過程，是沒有什麼道理可說的，因為我們只保留了對我們有用的要素，其他的要素都被無視了。
所謂的公理，就是這一類東西。注意，我這裡說的公理不僅僅指平行公理等幾個幾何公理，我覺得，任何人為規定的，比如點，線，面的性質，都可以算作公理。公理根植於我們對世界的理解和抽象化的過程，不依賴任何數據，因此不需要證明，也無法證明。數學是建立在這些不能證明，也無法證偽（那些抽象概念並不存在於真實世界中，因而無法找到反例）的公理的基礎上的，當然也就無法證偽。

1.數學不是自然科學；
2.數學是一門公理體系架構的學科。

數學的不可證偽性，類似於文學的不可證偽性。

不可證偽是相對於現實、真實而言。
數學只是一套模型，定義在所謂公理的假設基礎上，
雖然其內部邏輯嚴明，但是只是工具，永遠與現實、真實保持距離，所以也就不能也無所謂證偽。

數學哲學,看看有關這方面的數你就懂了。數學是一門邏輯自洽，自成體系的科學。不需要其他來證明它的真實。

你不能證明帝國大廈不存在

數學理論是被證明出來的，當然不可證偽。

自然科學，特別是物理，理論是發現歸納出來的，所以，需要可證偽，可證偽確保了其是發現歸納而來。