為什麼數學猜想一定需要證明才能應用？

12-06

比如哥德巴赫猜想，既然已經驗算了很多數字都符合，為什麼不能假設它是正確的而直接應用呢？
我不是數學專業，只是出於好奇，感謝回答。

Update: 根據 @Smallay 的評論, 補充幾點.

N久前在stackexchange上看到這麼一個帖子: big list - Examples of apparent patterns that eventually fail (最終掛掉的一些"顯然"的斷言 (姑且這麼翻譯吧)), 我覺得可以很好地回答題主的問題. 這裡摘錄幾個:

定義一個數 $n$ 是偶型的如果 $Omega(n)$ 是偶數, $n$ 是奇型的如果 $Omega(n)$ 是奇數. 再定義 $E(n)$ 為不大於 $n$ 的數中偶型數的個數, $O(n)$ 為不大於 $n$ 的數中奇型數的個數. 1919年, Polya猜想: $O(n)ge E(n)$ 對 $n>2$ 恆成立. 而在1962年, Lehman找到了一個反例 $n = 906180359$ .

$gcd(n^{17}+9, (n+1)^{17}+9)=1$ 的第一個反例是 $n=8424432925592889329288197322308900672459420460792433$ .

另外還有一些大反例的例子, 比如Euler Conjecture: $x_1^n+cdots+x_{n-1}^n=x_n^n$ 沒有非平凡的整數解. 其中5次的情形反例比較小: $27^5+84^5+110^5+133^5=144^5$ (1966, Lander Parkin), 而4次的情形1988年Elkies找到第一組反例: $2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4$ . 而後Frye給出了最小的一個反例: $95800^4+217519^4+414560^4=422481^4$ . 這兩個計算應用到了橢圓曲線.

用那個帖子中得票數第一的人的話來說, 數學裡, 感覺永遠不是證明. 所以說即便是想把一些猜想默認為真, 也是需要十分慎重的, 而這樣的例子也很少——比如Riemann Hypothesis, 比如BSD Conjecture. 因為萬一這個猜想錯了, 可能會造成一堆結果的崩塌. 拿題主說的Goldbach Conjecture來說, 它的應用也有, 比如Iogr Pak在對稱群 $S_n$ 上的應用. 但是得要記得Pak曾在博客里大倒苦水說一開始審稿直接把這篇paper給拒了, 就因為Goldbach Conjecture不是像Riemann Hypothesis那樣(值得信賴)的猜想, 所以不能用. 唉, 所以說至少在我們數論里, 猜想還是分三六九等的, 哪怕某個猜想已經檢驗到 $10^{14}$ .

以Littlewood在1914年發現的一個超大反例結束(see Skewes" number): 存在 $x$ 滿足不等式 $operatorname{Li}(x)le pi(x)$ . 1933年Skewes在依賴於Riemann Hypothesis的情況下給出了一個上界 $xle e^{e^{e^{79}}}$ ; 而在1955年他又在不依賴Riemann Hypothesis的情況下給出了上界 $xle e^{e^{e^{e^{7.705}}}}$ (其中前者的一個近似值 $10^{10^{10^{34}}}$ 曾被Hardy譽為是數學中最大的已定義的數!). 不過誰也不知道第一個這樣的 $x$ 的值, 目前只知道在 $10^{316}$ 附近. 檢驗到這麼大? 用Erdos的話來說還是集結地球上所有的力量跟外星人干一架罷.

以上.

不一定。

如果這個猜想是下一步理論研究的基礎，那是必須證明的。

如果是為了具體的計算，已經有了足夠多的例子證明一個演算法可用，那麼往往可以先用著。這個在數值分析里比較常見，很多演算法的收斂性是非常難以證明的，只不過大家覺得可以算就先用著再說。貌似單純形法就是這樣一個例子。

工程上：完全可以直接應用，但最終還是需要嚴格化的。

不過是實踐走在了理論的前面而已。微積分剛出來的時候大家都覺得好用，各種powerful，但也沒有嚴格的分析基礎啊。Deep Learning也是這樣啊（別打我，逃……

要是大家用的很爽，那就接著用唄；要是在實際應用中發現了問題，那也沒有關係，因為：這些猜想難以解決就說明反例即使存在數量也極少，使用這些猜想的應用可以以極高的可靠度工作，由猜想的反例導致失敗的概率可能比其他工程方面的原因（比如機器宕機等等）導致失敗的概率還要低。所以我們還是可以接著用！

況且，每發現一個反例，可以把它存下來進行特判，這樣又是一個完美的演算法了……數學家們也可以鬆一口氣，終於不用證明這個鬼玩意兒了，因為它是錯的哈哈！

數學上：對於極少數非常重要而又可信度非常高的猜想，可以謹慎使用。

猜想是分三六九等的，有些猜想地位非常重要並且大家非常相信它的成立（對，我說的就是黎曼猜想！），這種情況下可以適度使用：「假定廣義黎曼猜想成立，balabala」

至於一般的猜想，還是哪兒涼快哪兒歇著去吧……

這個還真不一定，其實不止在計算機領域，物理領域有很多未證明的數學演算法在運用，數學領域也有一些。(包括很多定理，甚至有一些用這個未證實的定理取證其他定理)

至於為啥用，因為好證的難證的都被證了(數學家就干證明的)，剩下的都是超難證得，這些都是大家跑過無數個數據想過無數個辦法沒證出來的，也就是說不太可能出錯了。

要是真出錯了？相信我那一幫數學家都哭著喊著等錯呢，出錯了直接就證明了定理是錯誤的，大難題攻克了啊！

正如@白如冰所說，在進一步理論研究之前，必須要證明。但是直接應用的話，如果已經有了足夠多的例子證明是對的，是可以暫且拿來用的。
不過我要補充一點，數學上證明一個定理，不單單是為了應用這個定理本身那麼簡單。如民科們最喜歡的歌德巴赫猜想，本身其實可以表述成：任意一個大於二的偶數都可以表示成兩個奇素數之和。這個猜想本身可能看起來只是數字遊戲，也沒什麼太大的應用。但是在幾百年漫長的證明中，人類開發出了一套套精巧的數學方法，促進了數學（數論）的發展，最終應用到實際生活和科研中，這才是費力去證明的意義。

看什麼叫「應用」了。。。把猜想當成已知去證一些其他的命題也能增加對於原猜想的理解，很可能最終會幫助大家更好地理解原猜想，最終導致其被證明。。

視角略不同。

證明一個命題，比如哥德巴赫猜想，真正意義未必是這個命題，而是我們未發現的數學工具乃至數學領域的開啟。

而且不證就用，可能有問題。如果一直沒錯，人們逐漸淡忘了，當這個錯誤的命題支撐了人類各種前沿科技時，錯誤情況的暴露會讓損失極其慘重。(不由自主想起了費馬)

那啥，按照數學結構主義的說法，證不出來就是錯。

不證就用那是物理

因為在數學家眼裡，（特別是數論方面對於自然數的定理）驗證有限的例子和什麼都沒做沒什麼區別……

數論方面給題主舉個例子：

費馬證明 $x^4+y^4=z^4$ 的整數解不可能滿足 $xyz eq 0$ 。歐拉也能證明這個，於是他直接來了個外推，斷言 $x^4+y^4+z^4=w^4$ 的整數解不可能滿足 $xyzw eq 0$ 。

但是他錯了。
(1988, Noam Elkies, Don Zagier, R. Frye)

$x^4+y^4+z^4=w^4$ 有無窮多個 $xyzw eq 0$ 的不等價的整數解，最小的一組是

$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4$

題主可以試一試用計算機窮舉什麼時候找到這一組解。會不會在尋找這組解的過程中就會像歐拉一樣猜想方程無解。

只有數學界才這樣嚴格要求，以外的領域基本都睜一隻眼閉一隻眼，大家每天網上轉賬購物都要用到的RSA加密演算法就依賴一個沒有被證明的數學假設，假設認為沒有快速的辦法對整數進行因數分解。如果有人找到快速演算法那威力等同於核武器。

猜想就像一塊磚頭，證明就是要去檢查這磚頭是不是合格的。

工程應用就像是拿磚頭去砸人，他不合格，頂多就是磚頭壞掉。

而數學的發展就像拿磚頭去蓋樓，等你蓋了10多層樓，發現下面的磚頭有問題，可能就需要推倒重蓋了，這滋味可不好受。

一個不一定對的東西，假定它是對的，就拿來用……當然可以。歷史上，微積分在很長一段歷史上是沒有理論基礎的，但是現實中的應用十分成功。後來魏爾斯特拉斯等人才慢慢補上了這個漏洞。

某個命題或猜想，如果很可能是對的，但是還沒有被證明或證偽，那它推導出來的結論，也只能說「很可能是對的」。不知道這是否可以算「應用」。

不過哥德巴赫猜想，即使假定它是對的，也沒什麼用。古人說過：素數是拿來乘的，不是拿來加的。如果您想用哥德巴赫猜想，但只驗證到了「小於一億的偶數都可以寫成兩個素數的和」，那麼把這個弱一點的命題拿來隨便用好了。萬一您覺得這個弱一點的命題不夠用，那就直接假設哥德巴赫猜想是對的，別害怕。因為如果後來發現用錯了，恭喜您，您證明了哥德巴赫猜想是錯的，註定載入史冊。

數學不是物理學、化學、生命科學。
數學不是實證科學。

物理學、化學、生命科學等都是探討真實世界的現象，其正確性由實驗所檢驗。如果將來發現某些實驗現象不能用現有理論解釋，則現有理論就要進行修正或推翻。

數學是純粹抽象的產物。定義和邏輯是構成數學體系的基石。數學家通常並不關心數學的概念與推導與現實世界有何聯繫。數學上的結論也未必能夠在真實世界中找到原型。不過隨著科技與社會的發展，一些原先被認為沒有實際意義的結果也會變得有意義。譬如物理學中「反物質」與二次方程負根的關係、數論與現代密碼學的關係等等。

儘管實證科學最終由實驗來檢驗，但數學作為一種工具，在所有領域都是適用的。

你以為「猜想X和猜想Y等價」這種結論是怎麼證明出來的？

嘛，我想到了數學建模和機器學習，挨個模型套上去看哪個效果好就用哪個，有時拍拍腦袋就yy了一個模型完全不講道理。。
但數學這種東西如果在底層建築就出了偏差的話結論可能就不知道跑偏到哪裡去了吧。。例如歐氏幾何和非歐幾何。

胡說。沒證明的猜想也可以拿來用，而且有的猜想經常用。
比如，黎曼猜想沒得到證明，但已經有不知多少論文用過了。"假設黎曼猜想成立，如何如何"的論文有許多

你是怎麼知道數學家沒有不證就用的？黎曼猜想早就被用爛了
不如先當做它是成立的，看看會不會推出什麼矛盾，數學家已經等不及它被證明了

重要的證明的過程！證明一個問題所用的方法，有時甚至能夠導致一個全新的學科的誕生，而問題本身，很多都意義不大。