能否構造一個函數，使其定義域為整數集，值域為有理數集呢？

最好能是增函數。高中生。

---

康托爾用對角線法則證明了 等勢:

也就是如這張圖所表示的...

當然這張圖本身就表示了一個函數...

不過你要是問能不能給出一個表達式...

這就有點困難了...不過對OEISer來說都是小Case.

---

分子:[1],[1,2], [3,2,1], [1,2,3,4], [5,4,3,2,1]......A092542 - OEIS

分母:[1,2,1], [1,2,4,,3,2,1], [1,2,3,4,5,6,5...]....A092543 - OEIS

首先介紹一位老朋友:

這個數列是:0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3....編號A003056 - OEIS

然後有:

其中:

代入化簡得:

也就是:

---

那麼這個函數長什麼樣呢?

那能不能是單調增函數呢?

假如有個單調增函數 滿足題主的要求,那麼 是兩個有理數.

那麼請問 是不是大小介於兩數之間的有理數...它的位子在哪呢?

有理數稠密而整數不稠密,不存在這樣一個增函數滿足題意...

---

如果懶得看文字，這個圖就說明了一切（網上搜的）

不包括負的？那讓負的整數對應那些負有理數。或者下面這個圖，我更喜歡（也是網上搜的）

我知道題主困惑什麼，題主想的是一個用公式表示出的函數，像什麼sin(x/180 + cos(x^2))這樣。其實數學史上很長時間都只認這樣的公式為函數（參看知乎關於「函數」中文翻譯的答案）。但後來公式種類越來越多，帶極限、帶積分，甚至是某個微分方程的解就被命名為一個新函數。人們覺得何不承認所有映射，不必非要用我們所熟悉的「特殊函數」（好像是Dirichlet持這種意見，Weierstrauss或許還是堅持以收斂級數為函數）。

---

• 這個問題在修習了高等數學的基礎上會變得很容易。由於實數範圍內的有理數太多了，我們搞不清楚，所以我們先考慮[0,1)區間內的有理數。但這裡面的有理數也很多，所以我們從簡單的開始。

拋去特殊的0，分母是2的有一個，即1/2
分母是3的有兩個，即1/3，2/3
以此類推，我們可以列出所有的有理數。當然，其中有重複的項，如1/2和2/4，不過沒關係，遇到的時候直接跳過就可以了。按照這樣的方法我們顯然可以構造出一個數列，使得在[0,1)內的所有有理數必然都出現在我們給定的數列里。

• 現在我們考慮一組區間：[n,n+1)

顯然這個區間可以排成一列。如果你覺得按照n的大小無法排成有開頭的一列的話，那我們這樣來看就好了。
n=0，n=1，n=-1，n=2，n=-2……
按照如上n的順序，我們可以得到一組區間，它們互相之間交集為空並且全部並起來是實數集。也就保證了任何一個有理數，乃至實數，都會至少出現在其中一個區間里。
並且每個區間里的有理數我們都能排成一列。即n+0，n+1/2，n+1/3，n+2/3……

• 有了上面兩步之後，我們終於可以開始接下來最關鍵的一步排列了。

我們可以把n=0的數列排列在第一行，n=1的排在第二行，n=-1在第三行，以此類推。照著這樣的排列方法，我們容易得到一個二維數表，並且是有第一行第一列的。而且我們還能保證任何一個有理數都出現在了該數表中。如果能把這個數表裡的數還排列成一個新的數列，並且將每個位置的數值作為對應於0,1,-1……等點的函數值，那麼題設的函數就構造好了。
我們這樣考慮，不妨記這個數表中第n行第m列的數為a(n,m)。我們按照如下的順序去排列，即可達成我們所需要的效果：
a(1,1)，a(2,1)，a(1,2)，a(3,1)，a(2,2)……
即首先把m+n=2的選出來，按照n從小到大排列，然後再選擇m+n=3的以同樣的方式排列，然後再選擇m+n=4的……如此，即可得到一個全新的數列。我們記其為r(n)。
構造函數f(n)=r(n)，顯然定義域為整數，而值域為有理數。

• 能否單調化？

答案顯然是不能的。因為有理數具有稠密性，而整數沒有。
下面的論證用反證法即可，如果你有興趣可以自己想想再看。
我們假設真的有一個單調遞增的函數滿足題設，那麼f(0)和f(1)一定是兩個有理數，並且f(0)&那麼請問有理數(f(0)+f(1))/2，即這兩個函數值的算術平均數應該排列在什麼地方？
顯然根據大小應該在0,1之間，但0,1之間沒有其他的整數。無論排列在0,1之外的哪一側，都會破壞函數的單調性。所以反證法中的假設，顯然錯誤了。由此可得，不存在這樣的單調函數。

• 最後一點題外話，關於有理數，整數之間的性質，數系的擴充都是高等數學最為基礎的範疇。當然某些內容過於抽象只出現在了數學分析等數學系的課程中。如果有興趣可以自己再查閱一下。數學，或者說分析學研究的基礎就是研究各種數的性質。希望這樣的回答對你有幫助。

---

能。整數集和有理數集都是可數無窮。可以一一對應。
但是無法做成遞增吧.

於是我試著構造了一個....函數

(define next-rat
(lambda (now-rat)
(let ((n (get-n now-rat))
(d (get-d now-rat)))
(if (= d 1)
(make-rat 1 (+ n d))
(make-rat (+ n 1) (- d 1))))))
(define (int-rat n)
(define map-iter
(lambda (n result) ;;暫不考慮n小於0以及負有理數
(if (= n 0)
result
(map-iter (- n 1) (next-rat result)))))
(map-iter n (make-rat 1 1)))

;;定義有理數數據結構
(define make-rat cons)
(define get-n car)
(define get-d cdr)


---

加了高中生三個字立馬高大上起來，就不是問作業了→_→

---

試試看法萊數列，經過適當的修改，應該是能滿足你的要求的

---

增函數不可能，因為(f(n)+f(n+1))/2是有理數而大小介於f(n)與f(n+1)之間。
不要求增函數的話，可以用康托爾對角線法構造，別的答案應該已經說過了。如果不要求一一對應的話，可以不剔除重複的非既約分數，表達式應該可以不太複雜。

---

一一映射是很簡單的，相當於在二維平面上格點與自然數對應，只需要用斜線就行了
但是增函數是不可能的，因為f(1)和f(2)之間必有有理數，而與一一映射矛盾。

---

等你學了《實變函數》就知道了，整數的數量和有理數的數量是一樣多的，都是可數個，也叫做可列可數個，手機不方便回答，抱歉！

既然後面有大神解釋了，我就不重複了，無視我吧

---

高中生研究這幹嘛，這在數學系實變函數里很簡單的問題。如你以後不讀數學系，這問題你幾乎用不上。
我們只考慮一一映射。
樓上已經給了答案，按康托爾對角線法則很容易構造出一一映射。
構造出增函數的一一映射是不可能的，這就相當於把有理數從小到大排列出來。我們先簡化問題只考慮零到一的有理數。很顯然沒有這序列，因為任一有理數都有可列個有理數比他小。

---

如果值域是有理數的子集，很多。
如果是值域恰好是有理數集本身，就不清楚了——應該不存在吧，因為這相當於尋找一個單調的，從有理數到無理數的一對一映射。

---

from fractions import gcd,Fraction

def Z2Q(z):
if z==0:
return Fraction(0,1)
def Z2Q_positive(z):
def z2q(n, f):
if n==z:
return f
a=f[0]+f[1]-1
f2=(f[0]+1, f[1]-1) if f[0]&0 else -Fraction(*Z2Q_positive(-z))

def Q2Z(q):
if q==0:
return 0
def Q2Z_positive(q):
def q2z(n ,f):
if Fraction(*f)==q:
return n
a=f[0]+f[1]-1
f2=(f[0]+1, f[1]-1) if f[0]&0 else -Q2Z_positive(-q)


根據這幅圖來的，1對應1/1，拋掉了非既約分數以形成雙射，0對應0，負的對應負的。

---

f:Z??Q, x??x

---------------------
知乎不缺垃圾回答

---

推薦閱讀：