如何用圓規和一把有刻度的尺子三等分任意角？

12-06

如題.
額外問題：如何用圓規和無刻度的尺子近似地三等分角？

先說說我知道的幾個作圖法吧，
逗比類：
按照對應的角做出一個圓弧，把圓弧拿下來做成圓錐，三等分底下的圓就好了。

無賴類：
既然已經有角度了，那構造一個三角形，根據餘弦和正弦直接算三等分角對應的長度，尺子量出來就好。

毅力類：
四等分是可行的，所以你只要...
$frac{ heta}{4} + frac{ heta}{4^2} +frac{ heta}{4^3} + cdots = frac{ heta}{3}$
根據我實踐，31415926535897932384626次就後可以逼近了。

正經類：
1. 利用二刻尺（阿基米德提出）
如圖，要三等分是是角度a。在尺子上量出刻度為AB的一條線段，以該長度為半徑，B為圓心，做圓。接下去只要找到一個滿足CD = AB的連線就ok

2. 雙曲線的坐標系分割法（帕普斯提出）

將給定的銳角∠AOB置於直角坐標系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數y=1/x的圖象交於點P，以P為圓心、以2OP為半徑作弧交圖象於點R．分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交於點M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=1/3∠AOB。

註：關於曲線能否做出，是一個很曖昧的概念。理論上來講，只要是有刻度的尺子就可以做出完美的曲線，但實際操作中不太可行。如果這個可行的話，那方案就很多了。

3. 第二種雙曲線分割法

設∠O 為已知。以 O 為圓心，任意長 r 為半徑做弧交兩邊於 A,B。做∠O的平分線 OC。以 OC 為準線，B 為焦點做雙曲線 PQR 使曲線上任一點 R 到 B 的距離為到 OC 距離的兩倍。若雙曲線交弧於 Q，則 ∠QOB = 1/3 ∠AOB。

4. 阿基米德螺線法

因為在極坐標中，方程 $ho = c heta$ ，所以對應任意角，只要找到 $frac{ ho}{3}=cfrac{ heta}{3}$ 即可等分。

謝邀，先佔坑隨便寫點。。。等有空了慢慢填
第一個問題可以搜搜看阿基米德的做法，他不是做過尺規三等分任意角的問題么，但是因為用的是有標記的尺子什麼的。。。
第二個問題找找民科寫的文章。。。有的真的近似程度很高很高。。。

ps：突然想起來摺紙可以三等分任意角

謝邀。

不知道題主說「刻度的尺子」什麼意思，如果是指「二刻尺」，那麼其他答案里說的阿基米德方法很好了。如果是指平時用的數值化刻度尺，那麼請看我下面的答案：

都有刻度尺了那還有疑問么？簡單說一下：
既然要三等分一個角了，那肯定是先有一個角了。那首先以角的頂點為圓心畫一個弧線把給定那兩條射線截了，這樣連接頂點和那兩個交點得到一個等腰三角形。這個三角形三條邊都知道了，正弦定理加上餘弦定理足以把頂角三等分（前提是有一個能夠算正弦餘弦的科學計算器）。題主問這樣的問題可能是不知道正弦定理和餘弦定理吧。上網查一下就行了。

不過上面說的是數值化的辦法，不過如果題主堅持純幾何作圖那用刻度尺就沒意思了，因為刻度尺的意義就在於把一個線段數值化。

至於那個額外問題：請先定義什麼叫「近似」。
如果不斷逼近的話，提供一個非常容易想到的思路：先尺規作圖二等分一個角，得到角度，記為0.5（意思是0.5倍的給定角的大小），然後尺規作圖把這個0.5二等分，得到0.25。這時候把0.5和0.25那兩條射線的張角二等分，應該得到0.375（其實已經很接近0.3333...了）。如果不滿意，可以繼續二等分，(0.25+0.375)/2=0.3125。。。。一路追下去，會越來越接近0.3333....。換句話說，用尺規作圖二等分角的技術來逼近得到近似的三等分角。

阿基米德：

目標：三等分∠AOB
以O為圓心作半徑為 r 的圓，在尺一端D標出 r 長度的記號C。
反向延長OA，保持直尺一端D在延長線上並過點B。找到使 r 長度記號C落在圓弧上的D點位置。
易證∠ADB=1/3 ∠AOB

阿基米德和@nan hu 的三角函數法都可以，然而我猜題主理解錯了尺規作圖的規定……

尺規作圖的「尺」是「過兩定點作直線」，「規」是「過定點求距離為定長度的所有點」。

「刻度」不是拿來限制「尺」，是拿來限制「規」的「定長度」的，即不能直接取某一長度任意比例的長度。
對「尺」沒有實際限制，因為要求「過定點」，不能作任意曲線切線，不能去「試探」。在尺上做記號等價於規的作用。

阿基米德的做法開放了「過定點」，這樣所拓展的可作圖範圍是比開放「刻度」小很多的。

藉助阿基米德螺線或者漸開線，都可以三等分任意角。所謂三等分不可能問題，是在歐式幾何的基礎上，只使用無刻度的圓規和直尺，在有限操作步驟內，不能三等分任意角。

而在實踐中，三等分任意角並不成為一個真正的問題，為何在實踐中一個並不成為問題的操作，在數學上卻被證明，成了一個不可能解決的問題，這恰恰說明了現有的數學還存在著一些局限性。實際上找到歐式幾何在建立公理上的缺失，三等分任意角也就不再是問題了。

因為電腦里的幾何畫板卸了，所以直接上手操作了。

①用圓規作一個以1為半徑的半圓
②在半圓弧上任取一點A，連接OA，得到角θ
③在半圓直徑的延長線上找一點B，連接AB，交半圓於點C且AB與直徑的延長線的夾角為α，使得│BC│＝1（注意，這一步很關鍵！！！因為尺子有刻度，所以可以量出來）
④α＝（1/3）θ（可連接OC以便驗證）

話說有尺子就量的准了嗎？

根據餘弦定理知三推三，有刻度的尺子＝三邊已知＝三角已知＝三等分角後的兩角一邊已知＝等分角三邊已知，無論是尺子取一邊長還是圓規取另一邊長都可以得到一個三分之一角。

近似取三分之一可以用二分之一角逼近。

搜索二刻尺作圖。