為什麼加法，減法，乘法都是從低位開始計算到高位，但是除法是從高位開始計算？

12-06

為什麼加法，減法，乘法都是從低位開始計算到高位，但是除法是從高位開始計算？問我這個問題是一個大班的小朋友，我怎能為他解釋，用他這個年齡可以懂得方式？

對於這個問題本身我覺得可以這樣理解：列豎式計算加法或者計算減法其實都是在計算加法，減法只是加上負數而已，所謂的進位和借位其實都是進位，加法進位是正一，減法是負一。二者本質相同因此可以用同一種計算方式計算。但乘法和除法是截然不同的，乘法豎式本質上是在算加法，而除法本質上是在湊答案，因此加減乘法的豎式形式是差不多的，而除法的豎式是另一種樣子，所以從高位開始「猜」也就不奇怪了。

換個角度，如果從逆運算的角度去看這個問題，減法雖然是加法的逆運算，但這不是本質的，因為減法完全可以通過負數簡單地轉換成加法。但除法就不太能簡單地通過乘法來完成，他真的就是乘法的逆運算。而所謂逆運算，就是給你結果，讓你猜答案，他不是「正向」的計算，因此是需要「反」過來通過豎式湊答案的。

我不知道幼兒園大班能否理解這樣一個觀點，但如果會算乘除法的話，應該知到乘法和加法的關係，乘法和除法的關係，但減法涉及負數可能不太好理解吧。

從表層上來說，加、乘法中的進位和減法中的借位都是低位影響高位，先算低位則每算一位都是確定的；除法中餘數乘10計入下一位則是高位影響低位，先算高位才能做到每一位都是確定的。

從深層上來說，我還沒想好為什麼互為逆運算的加減在運算順序上一致，互為逆運算的乘除在運算順序上卻相反。

因為只有除法是試出來的，所以高位不用改

之所以帶來這種錯覺，是因為你們做的題目無非都是有限小數（包括整數在內）之間的豎式。如果我現在讓你做循環小數的乘法（括弧表示循環節），比如0.3(25)×0.65(729)，你還會從「最低位」直接算嗎？
無非就是有限小數（相對於n進位而言）的加、減、乘有封閉性，而對除法無封閉性而已。就是因為這一點，前面三則運算可以從最低位開始，而除法只好從最高位開始。

因為除法運算對整數不是封閉的 (有限小數可以通過對齊小數點或最終調整小數點的方式化為整數運算) ，因此可能不存在最低位，無法從低到高。

另外，即便採用含有餘數的除法 (即指定最低位，到最低位仍未除盡的，作為餘數) ，從低位算起也比髙位複雜。因為這種計算的最終目的是令整體最小，即髙位優先，因此難以從低位著手。譬如，

因此，最終結果是 $1259div 7=179 ...... 6$ 。這似乎是因為除數固定的情況下，被除數與餘數的函數關係不是單調的，而是以除數為周期循環的，因而低位優先估商無法保證減去積後的餘數最優。

只考慮整數的四則運算。
加法為什麼要從低位開始算？因為加法（可能）需要進位。123 + 456 從哪一位算都無所謂。但是 456 + 567 ，從低位算就比較快捷、穩妥。
乘法為什麼也從低位算？因為乘法本質是先乘再加，比如123*456，乘法先算哪一個無所謂，但是最後要加起來，還是要先從低位算，為統一、簡便，乘也就先從低位算。
減法為什麼也從低位算？因為減法（可能）要從高位借位。如果先從高位算，到低位需要借的時候，還得重新調整高位的值。
除法為什麼不能從低位開始算呢？因為除法的餘數不一定是0。963/3，從哪一位算都可以。但如果餘數不為0，從低位開始算，要記住每一位的餘數，計算過程麻煩、效率低。

進位和借位都是從低位傳遞到高位，也就是低位的結果影響高位。
而餘數，卻是從高位傳遞到低位。627/4，6/4=1餘2，這個2其實是200，還要接著減、接著分；467/4，6/4=1餘2，這裡的2隻是20，不會影響到更高的百位的結果了。

其實還是一律從高位算比較符合我的思維……

加法、減法和乘法完全可以從高位開始計算。實際上，算盤就是習慣從高位開始打的，計算量並不比從低位開始更多。
除法的演算法，是對每一位數進行分配求出每份的量，再把餘數繼續分配直到分完為止。這麼看的話，其實從低位開始算也不是不可以。比如963÷3這樣的題，從低位開始算並不會加大計算量。
除法之所以特殊，是因為經常會遇到除不盡的情況，即除法對整數不封閉。從高位開始，每一步都把餘數進給下一位，那麼最後只剩下最低位的餘數需要額外處理，這樣比較方便。從低位開始做除法的話，每一步都可能留下餘數，最後所有的餘數全都加起來再分配一次，會比較麻煩。

現在大班就學豎式了？真的假的？

對於大班小朋友，你就跟他講，因為除法比較難，可能有餘數（沒錯，這就是根本原因，整除數你從低位做也是沒問題的），為了把餘數最後留出來，所以從高位做起就行了。

至於封不封閉什麼的，柯西和高斯一時都沒弄懂的東東就不要拿來難為小朋友了。

數學是為了複雜問題簡單化，不是簡單問題複雜化。

題主是想要解釋給幼兒園的小朋友這麼看似簡單的問題，我覺得根本就解釋不了。

為了不扼殺小孩子好奇心，我會這麼解釋，因為除法和加減乘法不一樣，有她自己的計算規則，而從高位算起就是她的一條規則。至於為什麼會定這樣的規則，就不要解釋了。

題外話：加減乘除其實都可以從高位或者低位算起。只是除法特殊一點點，會有除不盡的情況。
便於手算的方便，約定了那種順序。