求經典數學模型，對我們認識問題有很大的啟發?

12-06

不管簡單複雜，可以改變我們認識問題的角度

之前我弄錯了，謝謝marcelo的指正

條件概率公式

P(A|B)=P(AB)/P(B)

生活中我們看到的好多事，其實都不一定真實。

比如說某件事的成功或者是某件事的失敗，都有可能是在另外一件事發生的條件下發生的。而我們卻經常忽略這另外一件事。比如說，我們看好多人成功了，我們就去學習成功人士的一舉一動。其實，一將功成萬骨枯，也有好多好多人與成功人士舉動無異，卻因為機遇或者時代的原因不能成功。

現在太多的理論都是從結果去看過程，好像這在經濟學角度上講叫「倖存者偏差」。

學業不精，有什麼不對的地方還希望大家指正，謝謝。

現在大多數學科都充斥著模型，但幾乎都是只有極少數的模型可用（分析、預測乃至決策、優化、控制）。但也有很多模型，解決了不存在的問題。而區別就在於假設。

真正有用的模型，假設要是對現實所有情況的一個子集，而且是可以驗證的：即能驗證是否屬於現實的該子集。這個子集越大，越general，則結果越好。大到包含所有情形，則就是革命性的了。

比如Kalman濾波，就假設系統是線性的，雜訊是加性高斯的。這些假設是現實情況的一個很大的子集，而且非常容易驗證。而萬有引力定律等，幾乎可說是沒有假設。也就是說，幾乎是一直成立的。從這個角度來說，假設越接近現實的全集，結果越（可能）重要。

但退回來說，很多這些結果都已經被前人得到了，剩下的不是太難的，就是需要很深的洞察的。可現在搞研究的也得吃飯啊，於是在假設上大做文章。有的假設是現實的很小很小的一個子集，這還算合理。有的假設乾脆不屬於現實（即開始所說的，解決了不存在的問題），有的假設則是不可驗證、只有理論上的意義等等。但為了混口飯吃，也沒有辦法。

但這也就苦了指望這些模型來解決實際問題的人們。一方面實際中有大量問題找不到模型解決，比如非高斯雜訊的濾波問題，很多時候只能用試試看的方法去做。另一方面研究出來的模型幾乎都不能用。你說這些模型錯嗎？沒錯，都是一步步推導出來的，數學與邏輯上都沒錯。但問題出在假設上。我總是說，模型不會錯（大家都是受過高等教育的人，怎麼會在推理上有錯呢），但假設會錯（沒意義）。從另一個方面來講，說的難聽一點，沒辦法證明是錯的東西，不是好東西。模型本身不能證明是錯的，模型加上假設才能被證明是錯的。

現在寫論文太容易了。有句話說，一篇論文，大概只有你跟審稿人看過。99.9999999...%的論文不發表，對整個人類沒有任何損失，其實還有好處，因為至少不浪費別人時間去讀。但同時，很多領域，還處在牛頓階段，愛因斯坦似的人物與結果還沒有被發現。比如複雜系統的優化、控制領域，系統稍微複雜一點，根本找不到有效的演算法，儘管「理論上「有效的演算法每年都這麼多。而這一問題，正是未來搞比如智能交通（尤其是自動駕駛車聯網實現之後）等最核心的問題之一。

模型是對現實的抽象。如果說目的是為了追求美，那可以躲在抽象世界裡，不用考慮現實。但如果目的是為了追求真，那模型的重點就不在於邏輯與數學，而在於假設，因為假設才是現實與抽象接觸的地方。這就要求了，假設是需要跟現實沾邊的，即使上面說的是現實的一個子集。如果假設是純抽象的，那就不能稱作假設了，因為無法驗證，乃至無法觀察到。

不過也有的假設，雖是抽象的，但是模型的一部分，是對模型做的限定。這裡為區分，稱之為限定。比如先限定模型的的一個框架，在很多情況下其實是不得已的做法。前面不是說了嗎，愛因斯坦似的結果尚未被發現。而且現實中能用的多是比較簡單的限定。假設的種類X限定的種類，可能性多了去了，寫論文的就高興了。這裡有個誤區，很多研究fundamental limitation的，做不出如香農似的結果（比如Shannon channel capacity；absolute zero 絕對零度；uncertainty principle 不確定性原理；熱力學第二定律；太陽能電池的效率轉化理論上限。。。等等等等），但為了發論文，不僅做了很多假設（合理），而且做了很多不合理的限定，這就違背了fundamental limitation的本意了啊。充其量只能成為某種模型限定下的limitation。

我自己就是抓住了這些，再看本行業，乃至其他行業的研究成果時，一下子就能過濾掉那大多數的濫竽充數的。

說了這麼多，好像有點答非所問，見笑了。
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補充：《99.9%都是假設》([日]竹內薰)

補充：吳軍老師《數學之美》的一章：

發表者：吳軍，Google 研究員

[註：一直關注數學之美系列的讀者可能已經發現，我們對任何問題總是在找相應的準確的數學模型。為了說明模型的重要性，今年七月份我在 Google 中國內部講課時用了整整一堂課來講這個問題，下面的內容是我講座的摘要。］

在包括哥白尼、伽利略和牛頓在內的所有天文學家中，我最佩服的是地心說的提出者托勒密。雖然天文學起源於古埃及，並且在古巴比倫時，人們就觀測到了五大行星（金、木、水、火、土）運行的軌跡，以及行星在近日點運動比遠日點快。（下圖是在地球上看到的金星的軌跡，看過達芬奇密碼的讀者知道金星大約每四年在天上畫一個五角星。）

但是真正創立了天文學，並且計算出諸多天體運行軌跡的是兩千年前古羅馬時代的托勒密。雖然今天我們可能會嘲笑托勒密犯的簡單的錯誤，但是真正了解托勒密貢獻的人都會對他肅然起敬。托勒密發明了球坐標，定義了包括赤道和零度經線在內的經緯線，他提出了黃道，還發明了弧度制。

當然，他最大也是最有爭議的發明是地心說。雖然我們知道地球是圍繞太陽運動的，但是在當時，從人們的觀測出發，很容易得到地球是宇宙中心的結論。從地球上看，行星的運動軌跡是不規則的，托勒密的偉大之處是用四十個小圓套大圓的方法，精確地計算出了所有行星運動的軌跡。（托勒密繼承了畢達格拉斯的一些思想，他也認為圓是最完美的幾何圖形。）托勒密模型的精度之高，讓以後所有的科學家驚嘆不已。即使今天，我們在計算機的幫助下，也很難解出四十個套在一起的圓的方程。每每想到這裡，我都由衷地佩服托勒密。一千五百年來，人們根據他的計算決定農時。但是，經過了一千五百年，托勒密對太陽運動的累積誤差，還是差出了一星期。

地心說的示意圖，我國天文學家張衡的渾天地動說其實就是地心說。

糾正地心說錯誤不是靠在托勒密四十個圓的模型上再多套上幾個圓，而是進一步探索真理。哥白尼發現，如果以太陽為中心來描述星體的運行，只需要 8-10 個圓，就能計算出一個行星的運動軌跡，他提出了日心說。很遺憾的事，哥白尼正確的假設並沒有得到比托勒密更好的結果，哥白尼的模型的誤差比托勒密地要大不少。這是教會和當時人們認為哥白尼的學說是邪說的一個原因，所以日心說要想讓人心服口服地接受，就得更準確地描述行星運動。

完成這一使命的是開普勒。開普勒在所有一流的天文學家中，資質較差，一生中犯了無數低級的錯誤。但是他有兩條別人沒有的東西，從他的老師第谷手中繼承的大量的、在當時最精確的觀測數據，以及運氣。開普勒很幸運地發現了行星圍繞太陽運轉的軌道實際是橢圓形的，這樣不需要用多個小圓套大圓，而只要用一個橢圓就能將星體運動規律描述清楚了。只是開普勒的知識和水平不足以解釋為什麼行星的軌道是橢圓形的。最後是偉大的科學家牛頓用萬有引力解釋了這個問題。

故事到這裡似乎可以結束了。但是，許多年後，又有了個小的波瀾。天文學家們發現，天王星的實際軌跡和用橢圓模型算出來的不太符合。當然，偷懶的辦法是接著用小圓套大圓的方法修正，但是一些嚴肅的科學家在努力尋找真正的原因。英國的亞當斯和法國的維內爾（Verrier）獨立地發現了吸引天王星偏離軌道的海王星。

講座結束前，我和 Google 中國的工程師們一同總結了這麼幾個結論：

１.　一個正確的數學模型應當在形式上是簡單的。（托勒密的模型顯然太複雜。）

２.　一個正確的模型在它開始的時候可能還不如一個精雕細琢過的錯誤的模型來的準確，但是，如果我們認定大方向是對的，就應該堅持下去。（日心說開始並沒有地心說準確。）

３.　大量準確的數據對研發很重要。

４.　正確的模型也可能受噪音干擾，而顯得不準確；這時我們不應該用一種湊合的修正方法來彌補它，而是要找到噪音的根源，這也許能通往重大發現。

在網路搜索的研發中，我們在前面提到的單文本詞頻/逆文本頻率指數（TF/IDF) 和網頁排名（page rank)都相當於是網路搜索中的"橢圓模型"，它們都很簡單易懂。

泊松過程告訴我們，不管你等車等了多長時間，都不影響之後你繼續等車

在非歐幾何里，三角形的內角和是小於180度的。我們現在通常理解的幾何是歐幾里得幾何，是建立在一些我們人為設置的前提下的。比如我們對距離的定義是兩點之間直線連線的長度。但假如我們重新定義兩點之間距離的定義，那麼我們就會在另一個幾何模型中。比較常見的一種幾何模型是Hyperbolic Half Plane，在其中兩點的連線就會有新的定義，如有興趣可維基。

所以只有歐幾里得模型的三角形才有內角和180度哦，在其他模型里，你會見到一個另一種神器的三角形。

上圖中，a是歐幾里得幾何模型中的三角形，b是hyperbolic幾何模型中的一種三角形

一個很明顯的例子。就是哥德爾不完全性定理。

帕隆多悖論

傅立葉變換

神經網路模型，馬爾克夫模型，博弈論模型。

囚徒困境等一些博弈論模型對生活有很大關聯