為什麼一個數可以根據數字之和判定能否被整除，其背後有沒有一個統一的原理？

12-05

最簡單的比如：
一個數各位數字之和是3的倍數，其就能被3整除；一個數各位數字之和是9的倍數，其就能被9整除。
其背後有沒有一個統一的原理，還是說這些只是被找出來被驗證了的規律而已。

單純就是因為

$10 equiv 1 ( ext{mod }9)$

$10 equiv 1 ( ext{mod }3)$

知道這個規律之後就很簡單咯，如果X能夠整除99...99（K個9），那麼檢驗整數N能否被X整除時，可以將其從後往前劃分成長度為K的子串（當長度不足K時補前導0），當且僅當各子串的和能被X整除時，N能被X整除。（進一步地，N被X除的餘數等於各子串的和被X除的餘數）

例如， $99999 = 3^2 cdot 41 cdot 271$ ，於是考慮如下正整數：

18903298783940287

劃分成長度為5的子串：

18 | 90329 | 87839 | 40287

各子串的和為：

18 + 90329 + 87839 + 40287 = 218473

繼續劃分：

2 | 18473

各子串的和為：

2 + 18473 = 18475

除以271的餘數：

18475 / 271 = 68 ...... 47

除以41的餘數：

18475 / 41 = 450 ..... 25

n進位下n-1的因子都滿足這個性質

記得是今年百度之星的簽到題不是太難想…

這個命題的充分條件是 n進位任意數對n-1的模恆等於各個數字和對n-1的模(比如123%9=(1+2+3)%9=6 所以各位的和模9等於0時可以整除)

把這個數字拆成除了第一位後面都是0的數的和的形式(123=100+20+3) 上命題的充分條件又是對於任意數k任意正整數a k*n^a%(n-1)=k(比如800000%9=8 把8換成任意數都行)

它又等價於n^a%(n-1)=1(比如1000(任意個0)%9=1) 這就很顯然了因為100-1=99 99%9=0

所以n進位任意數對n-1的模恆等於各個數字和對n-1的模比如10進位下789%9=(700+80+9)%9=(7+8+9)%9=6

既然他倆對n-1同餘顯然對n-1的因子也同餘所以n-1的因子都滿足這個性質

顯然，這是一道和進位相關的問題，所以，我們用不需要進位的計數系統——羅馬數字來研究一下：

10進位下，1 3 9都可用位求和法判斷是否整除。1顯然沒有研究價值，所以對3和9進行研究。取數字XXVII（即27），對XXVII各位求和後的結果是XXVII，可被III（3）和IX（9）整除。
我們對任何一個數字進行試驗，可以發現，無論怎麼選取被除數和除數，均可判斷整除。

參考其他回答的結論：在n進位下，n-1的所有因子均可滿足題目要求。

我們可以推出一個重要結論：如果不使用進位，比如羅馬數字，則任何數字均滿足題目要求。

最早是在『高視點下的初等數學』裡面有關『同餘』性質的章節看到這個內容的，可以參考一下。

十進位為例。
除數3和9，由於對被除數10，100，…，餘數都是1，那麼只要簡單的把各位數字相加(注意，這裡相加其實就是各位數字乘以餘數1)，那麼結果一定跟原數字『同餘』

再比如，除數7的話，10餘3，100餘2，1000餘6…… 那麼判斷7整除就需要個位+十位乘以3+百位乘以2+千位乘以6…，這樣計算的結果一定跟原數字『同餘』

所以3和9隻是同餘裡面比較好算的一個特例(因為十進位下除10的n次方餘數都是1，所以只要將各位數簡單的相加)。更簡單的類似4整除，只要看到十位就行，更高位餘數都是0。其他的都類似7這種不大好算的。

其他進位都是類似的演算法。不累述

應該在《什麼是數學》中有講過，推薦看看這本書
https://m.douban.com/book/subject/10455982/

數論裡面的練習題。

8瀉藥，這個問題我以前也想過，證明難度應該不大。
無非就是把問題轉化為:
對於
P=a1+a2+a3…an 其中對於任意的n，有an為0～9的整數
Q=a0+10a1+100a2+1000a3…10^n an
證明:如果P能被3整除，那麼Q也能被3整除。

下面我是大概的證明思路:
①如果整數不能被3整除那麼10^n倍於它也不能夠被3整除，同時餘數相同

於是得出，

P與Q除以3的餘數只取決於

而這個的值又只與P有關
除以9也同理，關鍵就在於10^n除以9的餘數也是1

同餘的性質

簡單的根據提問者的例子來分析下
關於各個數字相加怎樣算出被3，9整除。

三位數:100x+10y+z=x+y+z+(99x+9y)

因為99x+9y可被3（和9）整除

所以只要計算x+y+z就可以簡單快速的看能否被3，9整除了。

望指教。

再教你一招，把一個數最後三位切出來，用前面的部分減去最後三位（或者反過來），可以判斷能否被7，11，13整除

舉例：899808 切成 899 || 808，899 - 808 = 91 = 7*13，所以899808能被7和13整除，不能被11整除。

原因是1001 = 7 * 11 * 13

899808

= 91000 + 808808

= 91000 + 808 * 1001

= 91000 + 808 * 7 * 11 * 13 同餘 91000 (mod 7, 11, 13)

你會發現九進位數，對2，4，8有同樣的效果。八進位對7有效