有哪些看似毫不相干的事物，卻有著相同的數學原理？

12-05

有哪些看似毫不相干的事物，卻有著相同的數學原理？
最好是意想不到的或者是有深度的內容！
最好可以跨學科

化學式配平和物理推公式...

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化學側: 考慮在酸環境中高錳酸根與亞硫酸根發生反應的例子.

把出現的元素全部列出來,然後分解成這個矩陣:

$egin{array}{c|cccccc} {}MnO_4^-SO_3^{2-}H^+Mn^{2+}SO_4^{2-}H_2O\ hline Mn 100100 \ O 430041 \ S 010010 \ H 001002 \ e – 1- 212- 20 end{array}$

然後矩陣零空間為: $x = k{(2,5,6, - 2, - 5, - 3)^T}$

也就是: $2MnO_4^- + 5SO_3^{2- } + 6{H^ + } ightarrow 2M{n^{2 + }} + 5SO_4^{2 - } + 3{H_2}O$

你甚至不用管反應物生成物寫錯怎麼辦...

不反應的,作催化劑的零空間里就是0

兩個反應合成的,零空間里自然有兩個向量.(比如C+O2==CO+CO2的零空間)

是不是覺得高中日日夜夜配平方程式的時光日了狗...

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物理側:如何通過原子彈爆炸的錄像推測原子彈的威力?

你除了時間t時刻蘑菇雲的半徑r還看得出個啥...

當然空氣密度ρ和大氣壓p這種常識也是能知道的.

問題化歸為已知t,r,p,ρ求能量E

$egin{array}{*{35}{l}} {} E(J) t(s) r(m) P(Pa) ho (g/{{m}^{3}}) \ L(m) 2 0 1 -1 -3 \ M(g) 1 0 0 1 1 \ T(s) -2 1 0 -2 0 \ end{array}$

你知道為什麼不管幹啥都要用國際單位制嗎?方便求零空間啊...

化學上的一個元素不就對應物理上的一個單位嗎?

$N=left( egin{matrix} {{k}_{1}}(-1 -2 5 0 1) \ {{k}_{2}}(-1 0 3 1 0) \ end{matrix} ight)$

Well,這就是剛才說的零空間有兩個向量的例子

說明我給的條件太多了...

$egin{aligned} Psi ({{E}^{-1}}{{t}^{-2}}{{r}^{5}} ho ,{{E}^{-1}}{{r}^{3}}P)=0 \ Rightarrow {{E}^{-1}}{{t}^{-2}}{{r}^{5}} ho =1vee {{E}^{-1}}{{r}^{3}}P=1 \ Rightarrow Epropto frac{{{r}^{5}} ho }{{{t}^{2}}}vee {{r}^{3}}P \ end{aligned}$

不管你給的條件什麼亂七八糟八竿子打不著的關係,列出單位制矩陣求零空間

解的出來就是有關係...

是不是覺得高中那些夜夜日日解物理模型的時光夜了狗...

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這就是線性代數的威力,研究基的數學...

所以說只要把這個基搞明白就一切都能明白了...

所謂政史不分家,物化是一家,當如是...

4.19更新

看了旁邊幾個答案，順便總結一下。

這些回答差不多可以分成四類：第一類是用處很廣的那種數學（線性代數，傅里葉變換，常微分方程，偏微分方程），自然是很多事物的原理；第二類是解釋了某個現象的數學原理（嚴重跑題，至少得有兩個現象吧。。）；第三類是某個小領域裡本來就很相關的話題；第四類才是「看似毫不相干的事物，卻有著相同的數學原理」。可惜的是第四類答案很少。。一個好問題，但是好答案不多。

這個答案應該算第一類（所以也跑了題），只不過回答時的想法是本著「最好可以跨學科」的原則。剛剛又想到了幾個可能比較切題的，不過深刻而且意想不到的可能大多需要比較專業的知識。

1. 各自獨立發展最後發現是同一個東西：

規範場和聯絡：兩個領域各自獨立地發展了數十年（代表人物包括楊振寧和陳省身），後來他們他們發現曲率張量跟非阿貝爾規範場的場強公式長得好像，才發覺他們搞的是同一個東西。

類似但沒這麼典型的可能還有Clifford代數與旋量……

2. 數學定理與物理定律的推廣

比方說微積分中的Newton-Leibniz定理，Gauss定理，Green定理，最終都是外微分形式的Stokes定理；Euler定理（特指頂點數+面數-棱數=2），Gauss-Bonnet定理，Riemann-Roch定理最終都是Atiyah-Singer指標定理的特例……

物理學本身的發展也是個很好的例子：越來越多地發現不同現象其實是同一個事物的不同側面，比方說如果我們生活在19世紀可能還會覺得「電與磁還有相同的數學原理，好神奇」。

想到什麼再更新。

-----------------------------------原答案--------------------------------------------------------

這是個好問題。下面從4個levels來討論：

Level 4

首先從兩個例子談起。第一個例子是數學中的Mandelbrot set（曼德勃羅集）：對於複數數列 $z_iinmathbb{C}$ ， $z_0=0$ , $z_{i+1}=z_i^2+c$ , where $cinmathbb{C}$ ，Mandelbrot set定義為所有使得數列有界的 $c$ 的集合。畫在複平面上就得到了這幅經典的分形圖。

(credit to Mandelbrot set - Wikipedia)

下面來考察實軸上相鄰的圓的半徑比。這些圓的切點的坐標依次是：-0.75, -1.25, -1.368, -1.394……從而可以得到半徑比不斷趨於極限4.669201609…

第二個例子是生物學中描述種群增長的Logistic map。學過高中生物的同學可能對邏輯斯蒂(Logistic)方程有印象：

$frac{dN}{dt}=rN(1-frac{N}{K})$

r表示種群數量的初始增長率，K是環境容納量，解得N作為t的函數即種群數量隨時間的變化：

(credit to Khan Academy)

將這個模型離散化就得到了Logistic map，進而得到數列： $x_iinmathbb{R}$ , $x_0$ 比0稍大（數列最終的性質不依賴於其選取）, $x_{i+1}=rx_i(1-x_i)$ . 把每一步映射在圖上畫下來就得到下圖：

$x=f(x):=rx(1-x)$ 的解 $x=1-frac{1}{r}$ 是這個映射的不動點，代入到導數 $f^prime(x)=r-2rx$ 可得 $f^prime(1-{1over r})=2-r$ ，於是當 $rleqslant3$ 時這個解都是穩定的不動點，也就是說這個數列收斂到這個極限，我們說這個數列的周期是1。當r繼續增大時並不是說沒有穩定的不動點，而是這個不動點變成了兩個，這個數列最終趨向在兩個點之間跳躍，數列的周期是2。類似地，我們可以通過解 $x=f(f(x))$ 來得到這對不動點，這個四次方程的解依次是平凡解0，不穩定不動點 $x=1-frac{1}{r}$ （就是 $rleqslant3$ 時的那個穩定不動點）以及那對穩定的不動點 $x=frac{r+1pmsqrt{(r+1)(r-3)}}{2r}$ 。繼續增大r到 $1+sqrt6$ 這對不動點也變得不穩定了，數列的周期會變成4，再增大r，數列的周期依次會變為4, 8, 16…如果把這些「不動點集」以r為自變數畫下來就得到了下圖：

（credit to Logistic map - Wikipedia）（可能有些童鞋會問r超過4了咋辦，答案是此時 $f(frac{1}{2})>1$ ，接下來數列會變成負的，然後就一發不可收拾了。。）這些分叉點很快就收斂了，坐標依次是3, 3.449, 3.544, 3.564…他們間距的比值最終趨於4.669201609…。有沒有覺得這個數字很熟悉？是的，這個數字跟第一個例子里算出來的數字是一樣的。最先發現這個現象的是美國數學家Mitchell Feigenbaum，據他自己說他當年是用計算器發現這個現象的。（用計算器做這件事的確很容易，用Ans代替x，剩下的就是狂按=鍵了。我高中時也干過這事，迭代一些奇怪的函數，也發現了一些周期現象，印象中好像還有周期是奇數的？不過壓根兒沒想到後面還有更深層的規律。。）

更令人震驚的是這個常數是普適的！它出現在所有迭代函數具有一個極大值的數列中，更一般地，它出現在所有倍周期分岔的現象里，不僅僅是迭代數列，還有微分方程（周期這個詞用在這裡更貼切），包括有阻尼的受迫非諧振子。

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Level 3

Logistic map那個例子中r很快收斂到 $rapprox3.56995$ ，於是周期軌的長度趨向無窮，進一步增大r就會產生混沌現象（這裡的混沌按照這個常見的定義：初值敏感性，拓撲混合和周期軌稠密。不過按照拓撲熵大於0的定義可能要等到 $r=1+sqrt8$ 出現三周期點以後）。上面兩個例子都是混沌的經典現象。說到混沌、分叉就不得不提一個經典的氣象模型Lorenz System，這個模型最初是由氣象學家Edward Lorenz提出的一個描述大氣對流的簡化模型：

在 $ho= 28, sigma= 10, eta= 8/3$ 時的解為下面這幅經典的圖形

(credit to Lorenz system - Wikipedia)

Lorenz system最引人注目的特點是存在奇異的吸引子（其實前兩個例子里也有吸引子，Logistic map 里的吸引子是周期性的而非奇異的，Mandelbrot set的映射里存在的應該叫排斥子，對應於Julia set），即在某個區域（吸引盆）內的點最終都會趨於這個吸引子。具有分形結構的吸引子稱為奇異吸引子（跟混沌一樣，奇異吸引子也沒有公認的定義），奇異吸引子通常存在於混沌動力系統中。

Level 3以下涉及到的共同數學原理是混沌理論：通過簡單的數學結構來產生無法預知的未來。

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Level 2

與混沌現象相關的是自組織現象(self-organization)。自組織現象大概是指基於局部的相互作用導致了長程序，即宏觀的有序性。自組織系統是一個耗散系統，通過從環境中汲取負熵來維持並增加自身的有序性。最典型的例子是生物的形態發生，生物學中最基本的是分子間的相互作用，但是這種局部的相互作用最終導致了細胞，細胞間的相互作用又形成了宏觀的複雜生物體。在其他學科中也有很多有趣的例子，比方說化學中非平衡熱力學的經典反應Belousov-Zhabotinsky震蕩反應：

視頻封面【溴螺紋】B-Z空間化學波實驗_趣味科普人文_科技_bilibili_嗶哩嗶哩bilibili.com視頻

這個反應通常用溴和一種酸來完成，具體過程十分複雜，但是表明了非平衡態的過程也可以形成穩定的pattern。這個現象最初是由蘇聯化學家Boris Belousov在研究人體吸收葡萄糖的過程中發現的。但是當他把文章發給蘇聯的頂級期刊時，編輯認為這種現象絕不可能發生，一定是他做錯了，並把文章退了回來。Belousov因此備受打擊，從此離開了學術界。。

另外物理里的相變現象也存在自組織。

Level 2以下所有現象共同的數學原理是他們的方程都是非線性的。事實上非線性也是產生混沌的必要條件，因為線性的系統都滿足疊加原理(tautology)，這使得我們可以找到一組基，從而可以寫出完備的解。但是非線性並不是混沌現象的充分條件，Lorenz system在一定參數下也沒有混沌現象。

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Level 1

此外還有生物學中的進化論，計算機中的遺傳演算法，心理學中的行為主義，以及高中化學的Le Chatelier原理和高中物理的Lenz定律……

Level 1以下所有現象都有一個共同的原理：反饋(feedback)。簡單地說就是行為的結果反過來又成為了下一步行為的原因。迭代數列就不用解釋了；常微分方程其實也是一個迭代系統，在一個點方程告訴你下一步往哪個方向走，往那個方向前進 $varepsilon$ 後再更新下一步的方向；B-Z反應每一步的反應方嚮應該由該點溶液濃度決定，反應的結果又改變了溶液的濃度……

所以說反饋可能是從簡單構建複雜（或者叫emergence）的最重要的一步，沒有反饋可能就沒有了紛繁複雜的世界。反饋的存在也可能是為什麼還原論不能成為科學研究的綱領的原因之一：化學無法還原成物理學，生物學無法還原成化學，心理學無法還原成生物學，社會學無法還原成個體心理學……好像有點兒跑題了。。

（哪裡胡說八道了歡迎指點）

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如果大家有興趣我有時間可以再科普幾個相關的話題：臨界指數與普適類（普適類本身可能就是一個很切題的回答），自組織臨界性，孤子……或者展開講一下上面的部分內容。

對稱性和守恆量。

諾特定理把對稱性跟守恆量聯繫起來了，非常有用。是指對於力學體系的每一個連續的對稱變換，都有一個守恆量與之對應。對稱變換是力學體系在某種變換下不變。
諾特定理是理論物理的中心結果之一，它表達了連續對稱性和守恆定律的一一對應。例如，物理定律不隨著時間而改變，這表示它們有關於時間的某種對稱性。如果我們想像一下，譬如重力的強度每天都有所改變，我們就會違反能量守恆定律，因為我們可以在重力弱的那天把重物舉起，然後在重力強的時候放下來，這樣就得到了比我們開始輸入的能量更多的能量。
諾特定理對於所有基於作用量原理的物理定律是成立。它得名於20世紀初的數學家埃米·諾特。諾特定理和量子力學深刻相關，因為它僅用經典力學的原理就可以認出和海森堡測不準原理相關的物理量（譬如位置和動量）。

地球上一定永遠會有一對正對且擁有相同氣溫及氣壓的點。

（這裡假設氣溫和氣壓都是連續變數）

這個看似不合常理的結論，其實有一個非常漂亮的數學證明——博蘇克-烏拉姆定理（Borsuk-Ulam Theorem）

這個定理說的是：任何一個從n維球面到歐幾里得n維空間的連續函數，都一定會把某一對對跖點（antipodal，正對的一對點）映射到同一點。

那麼在我們這個地球的例子里，n=2，即任何一個2維球面（地球）到2維歐幾里得空間（坐標軸分別是氣溫及氣壓）的連續函數，都一定會將一對對跖點映射到同一點。既然這兩個點在這個坐標軸分別為氣溫和氣壓的2維歐幾里得空間上，即這對對跖點擁有相同的氣溫和氣壓。

然而這個博蘇克-烏拉姆定理其實是另一個定理的特殊情況——介值定理（Intermediate Value Theorem），想必這個定理大家也並不陌生。對於沒有學過微積分的人，這個定理說的是：如果一個連續函數 $f(x)$ 通過 $(a, f(a))$ 與 $(b, f(b))$ 兩點，那麼它也必定通過 $[a,b]$ 區間內的任一點 $(c,f(c))$ , $a<c<b$ 。

用人話說，這代表在 $[a,b]$ 區間上可以畫出一個連續函數，且不讓筆離開紙面。

Temperley-Lieb代數。Temperley和Lieb是兩個物理學家，他們在研究統計力學模型時最先引入了這一類代數。然後Jones在研究紐結的Jones多項式時重新發現了這類代數。然後Temperley-Lieb代數也可以看成A型Hecke代數的商。並且可以從這個觀點做各種推廣。
Kauffman，葛墨林院士等曾經寫了一篇文章定義了Temperley-Lieb代數的virtual extension。
Temperley-Lieb代數就是上下兩排點，各n個。用n條線段相連（每條線段的端點就在這2n個點裡，不重不漏），要求這些線段不能交叉（即平面圖）。代數里的乘法就是兩個圖上下放。上面圖的下邊和下面圖的上邊，連起來。有幾個圈指標就幾次方。這個定義是很自然的（知乎打字不方便，有興趣的話英文維基很清楚）。而它的維數是著名的卡塔蘭數。這個數在組合數學裡非常重要。
值得一提的是，如上定義的線，如果允許任意交叉，那麼就得到著名的Brauer代數。
Temperley-Lieb代數跟物理學，代數學，紐結不變數理論都有深刻的聯繫。他的維數也有很深的組合意義。

沒人說到測不準原理和傅立葉變換的關係嗎？

測不準原理，又稱不確定性原理，是一個量子力學上的概念。我們無法同時準確地測量一個微觀粒子的位置和動量。位置的不確定量（ $Delta x$ ）和動量的不確定量（ $Delta p$ ）滿足以下不等式。

$Delta x cdot Delta p ge h/4pi$

也就是說，我們把粒子的位置測得越准，它的動量就越不準。反之亦然。

那它和傅立葉變換的關係是什麼呢？

根據波粒二象性，粒子的德布羅意波長 $lambda$ 和動量p是有聯繫的。

$lambda=h/p$

物質波代表了在空間里有多大的機率找到一個粒子。如果我們要把粒子的位置限制在一個狹小的空間里，我們就要用很多不同波長的簡諧波疊加，突出中間的峰高而抑制側峰。這樣一來，位置測準確了，而粒子的德布羅意波長就不準確了。而如果我們只用少量的簡諧波來描述粒子的話，它的波長更準確，而少量波疊加後，粒子在空間的機率分布就很廣。

如果說粒子的空間的分布比喻成時域，那麼粒子的動量/波長分布就可以比喻成傅立葉變換中的頻域。

測不準原理實際上是對應傅立葉變換中的一個重要性質：時域上越「緊湊」的函數，在對應的頻域上就越分散；反之，頻域上越「緊湊」的函數，在時域上就越分散。

推薦閱讀：不確定性原理的前世今生 作者：木遙

發表於《數學文化》第2卷第4期80頁。松鼠會有連載

科學松鼠會 quot; 不確定性原理的前世今生 · 數學篇（一）

科學松鼠會 quot; 不確定性原理的前世今生 · 數學篇（二）

科學松鼠會 quot; 不確定性原理的前世今生 · 數學篇（三）

科學松鼠會 quot; 不確定性原理的前世今生 · 數學篇（完）

說個自己最近學到的：Fatou定理

考慮開圓盤內的解析函數f。該定理是說如果f有界，則f徑向極限對「幾乎處處」的角度存在。(cf Stein, Real Analysis)
看起來好像沒什麼關係，但是證明要用到 $L^2$ 空間上的Fourier展開以及點態逼近定理…而且仔細想想這兩件事有聯繫其實是很自然的…

啊，數學真奇妙…

圖靈停機定理：不存在一個圖靈機，使其能夠在有限時間判斷任一圖靈機對某一輸入，是否在有限時間內停機。
（人話版：不能找到一個演算法，來判斷其他演算法能否在有限時間內結束。）

哥德爾不完備性定理：蘊含皮亞諾公理的邏輯系統若具有完備性，必不存在相容性。
（人話版：包含基本代數的邏輯體系中，一定存在一個命題既不能證實，也不能證偽）

羅素悖論：是否存在一個集合，由所有不屬於自身的集合構成？
（人話版：我給全村所有不給自己剃頭的人剃頭）

實數的勢大於有理數：不存在R到Q的一一映射。
（人話版：實數比有理數多）

以上四個橫跨各個領域看似毫不相干的定理，本質上都是康托對角線方法在不同領域的體現。

林則徐和知乎

無線通信中的信道容量等價於幾何上的Sphere Packing問題，即如何在給定的空間內無重合地堆疊最多的球體。

組合數學研究內容：存在，結構（模型），計數，最優性質（參數）

所有其他數學也都是按照這條線索路徑去探討數學的內容。《基礎拓撲學》就是按照這個邏輯鏈條書寫的：組合與拓撲同構。

狀態圖=狀態轉移圖=電路圖=真值表=布爾表達式

上面的等價式直接構造：
從電路――門――功能塊――微型晶元――進程的分層系統。

數學物理方法里的方程不都這樣嘛，當然還有，ay"+by"+cy=f(x)。

梯形面積與等差數列求和公式。

說個稍微簡單點的好了。

1。考慮這樣的情況，以點O位中心的正多邊形（n邊），現在考慮，將多邊形自身開始旋轉，用 $delta$ 表示逆時針旋轉 $frac{2pi}{n}$ ，各個旋轉我們可以總結出來為一個集合{ $1,delta^{2},...,delta^{n-1}$ }，這個集合是一個群。

2。現在再考慮，n次單位根組成的一個集合{ $e^{frac{2pi i a}{n}}$ }。取映射 $C_{n} ightarrow (Z_{n},+)$

3。再考慮這樣的一個集合，該集合內的遠足是由這樣的整數a,b組成的：

$a~b Leftrightarrow n|a-b$ 或者寫的更明白點 $a equiv b(mod n))$ 對於加法構成了一個整數模n的加法群

於是，當我們重新看著三個群來說，這三個群是同構的。但第一個問題是來源於幾何圖形的旋轉，第二個問題來源於代數求根，第三個問題則來源於數論。其實本質上是一回事。

再補充一個，電費計價、音樂其實本質上是一個事兒：

1。法蘭西不需要電錶，法蘭西對於電費的計算是以一個特殊的波的疊加作為計量的方法，以此方法結合傅里葉變換來計算電的使用從而得出費用。

2。畢達哥拉斯在古希臘時代就告訴我們，音調變化整數的變化是好聽的，隨著時代地進步，我們發現有種東西叫做和弦，和弦的好聽與難聽同樣也是波的疊加。

2。1 其實有的人會覺得「難聽」的和弦是好聽的，這個差異是來自於人耳對於波的解析的能力是有差別的。

[ 參考文獻 ]

馮克勤，李尚志. 近世代數引論[M], 中國科學技術大學出版社，2009:8~9

來點高逼格的，大家不要被數學方程嚇著了，看看樣子就行。

跳動的琴弦、無線電、光

看似毫不相關三者，它們卻有著相同的數學原理。

且聽慢慢道來。

話說，是誰動了你的琴弦？

自從牛頓和萊布尼茲兩位同志整出微積分後，廣大學生那是深受其苦。

不過，對於物理學家卻是如虎添翼。

有了這個金剛鑽，做起很多瓷器活來，那是相當得心應手啦。

回到是誰動了你的琴弦的問題。

動了你琴弦的那位叫做達朗貝爾。

達朗貝爾在研究吉他等樂器琴弦的振動問題時，利用微積分，對琴弦振動進行了數學建模，弄出了一個弦振動的波動方程。

這個波動方程長這樣

沒關係，大家看看樣子就行了，反正長得有點像中學的橢圓、雙曲線之類的方程。

隨著電學的發展，科學家又發現了磁可以生電，電也可以生磁，那麼二者之間是什麼關係呢？

後來，又一位牛人誕生了，這就是麥克斯韋。他弄出了大名鼎鼎的麥克斯韋方程組，將電磁統一了起來。麥克斯韋方程組長這樣，大家也是看看樣子就行了。

根據這4個方程組，麥克斯韋推導出了這麼幾個方程，還是看看樣子就行了

大家注意觀察這幾個方程，其與琴弦振動的波動方程形式是一樣的。

當我們見到下面這種形式的方程時

我們知道其是一個橢圓。

同樣，麥克斯韋根據推導出的方程的形式，推測存在電磁波。而且根據計算，推論出電磁波在真空中以光速傳播，進而做出光也是電磁波的猜想。

科學之所以稱為科學，就在於其能夠證偽。

既然麥克斯韋預測了電磁波的存在，那麼只需找到電磁波就可以了。

於是，另一個牛人出現了，他就是赫茲。

赫茲在1888年首先證明了電磁波的存在。發現了電磁波，於是無線電就發明了，無線電的重要性不用多說了吧。

圖為赫茲以及他找電磁波的設備。為了紀念赫茲，電磁波頻率的單位以他命名。

所以，從琴弦到無線電再到光，其中都有一個數學原理，這就是波動方程。

其實，波動方程遠不止如此。愛因斯坦預測引力波存在也是根據波動方程，跟赫茲預測電磁波的道理也是一樣的。在愛因斯坦預測引力波一百年後，2015年科學家證實了引力波的存在。而且在量子力學中，同樣也是離不開波動方程方程的身影。

位於華盛頓州漢福德的引力波探測陣列LIGO（激光干涉儀引力波天文台）的航拍照片，LIGO帶有兩個4千米長的臂並組成L型。

所以，大家不要怕數學公式。有時候，數學公式才能夠更好的反應事物的本質。

高爾頓板下小球數量、測量中偶然誤差的大小、一群人中每個人體內白細胞數、一個學校里學生的學習能力、我國夏季降水量、理想氣體分子速率、扔一大箱硬幣正面朝上的硬幣數、一條生產線生產的零件質量……

這些八竿子打不著的事物全都服從正態分布
（因為只要有量的累加就離不開中心極限定理）

（甚至我們學校的學生成績也得強行正態分布orz

不知道這個算不算題主所說的？

各種correspondence，其中最著名的就是AdS/CFT

引力理論和描述粒子的共形場論似乎是等價的，但是目前還沒有數學上的基本證明……

不過最讓我印象深刻的是AGT，N=2的四維共形場和二維Liouville場論是等價的，也就是說可以由DOZZ給出的三點函數來替代共形場論的微擾計算

後來還有人猜想，任何一個N=2的四維理論，都等價於其模空間上的二維可積系統。我想這些應該是我見過的這類問題中最深刻的例子

最後放個大招，世紀之初有個很大膽的猜想：整個數學物理，可能是某些更大的範疇架構的縮影

金融學上的債券凸性。本質就是物理上的曲率。

魔群月光猜想（定理）
魔群月光猜想是1979年由Conway和Norton提出的數學猜想，1992年由Brocherds完成證明。證明同時包含了數學和物理，其中用到了弦論中的No-ghost定理來構造證明中必不可少的一個代數結構。

1998年Brocherds由於這個證明獲得了菲爾茲獎。

通過這個定理架起的橋樑，數學家們也發現了魔群、模函數和弦理論之間更多的千絲萬縷的聯繫。

甚至有人認為，這個定理展示了宇宙的終極對稱性。

兩個隨機變數

如果把這兩個變數看作兩個向量

那這兩個向量的夾角的餘弦值是這兩個隨機變數的相關係數

具體可以看這裡：如何通俗易懂地解釋「協方差」與「相關係數」的概念？ - 知乎