試作集合（0,1）與集合[0,1]的一一對應？

12-05

謝邀。
把有理數排成a(n)
{a1,a2,a3,a4,...}
{0,1,a1,a2,...}
無理數之間可以保持恆等映射。

設 $A=(0,1)capmathbf{Q}$ ，那麼 $A$ 是可數無限的（因為 $A$ 是 $mathbf{Q}$ 的子集，但 $A$ 不是有限的），因此存在一個雙射 $f:mathbf{N} o A$ ，現在定義雙射 $g:(0,1) o[0,1]$ 如下
$g(x):=left{egin{aligned}0,quad ext{如果}~x=f(0);\ 1,quad ext{如果}~x=f(1);\ f(n-2),quad ext{如果}~x=f(n) (ngeq 2);\ x,quad ext{如果}~x otin A. end{aligned} ight.$

下面來構造一個雙射 $f:mathbf{N} o(0,1)capmathbf{Q}$ ，我們分兩步進行
1. 遞歸地定義函數 $f_1:mathbf{N} omathbf{Q}_+$ 如下
$f_1(0)=1,quad f_1(n+1):=frac{1}{lfloor f_1(n) floor+1-{f_1(n)}}quad (*)$
這裡 $mathbf{Q}_+:=mathbf{Q}cap (0,+infty)$ 表示正有理數， $lfloor x floor:=max{ninmathbf{Z}:nleq x}$ 表示 $x$ 的整數部分， ${x}:=x-lfloor x floor$ 表示 $x$ 的小數部分。
我們斷定 $(*)$ 式定義的 $f_1$ 是一個雙射，證明細節請見：elementary set theory， $f_1$ 是單射容易證明，是滿射要用到Stern-Brocot_tree。
2. 函數 $f_2:mathbf{R}_+ o(0,1)$ 定義為
$f_2(x):=frac{1}{1+x}$
是從 $mathbf{R}_+$ 到 $(0,1)$ 的雙射，它的逆映射 $f_2^{-1}:(0,1) omathbf{R}_+$ 為
$f_2^{-1}(x)=frac{1-x}{x}$
於是 $f=f_2circ f_1$ 就是從 $mathbf{N}$ 到 $(0,1)capmathbf{Q}$ 的雙射。

ps. $A$ 不一定要取成 $(0,1)$ 中所有的有理數，只要是 $(0,1)$ 的一個可數子集就可以了，其實令 $A={1/n:ninmathbf{Z}_+}$ 更好，因為這樣 $f$ 的構造就很簡單，如果令 $A=(0,1)capmathbf{Q}$ ， $f$ 的構造是比較複雜。可以見 @申力立的回答。不過要說明每個無限集合都含有一個可數子集，Peano公理+ZF公理是不夠的，我們需要選擇公理。（可數選擇公理就足夠了）

定義 f:(0,1)→[0,1] 如下即可：
$f(x)=egin{cases} 0, x=1/2,\ 1, x=1/3,\ 1/(n-2), x=1/n, (ngeq 4, ninmathbb{Z}),\ x, ext{else}. end{cases}$

無理數不動，有理數往外擠一擠。

謝邀。給 @zero 知友的答案舉個例子來回答。

首先說明，根據Schr?der 定理，題目要求的映射一定存在。

令 $f(x)=(0.5+x)/2$ ,且 $f(0)=frac{1}{4} ,f(frac{1}{4})=frac{3}{8},etc;f(1)=frac{3}{4},f(frac{3}{4})=frac{5}{8},etc.$

對於未定義的x，令 $f(x)=x$ .則該函數滿足要求。

感覺我的字還可以為什麼拍出照片來這麼丑？
果然是我太自我感覺良好了……

關鍵點是要找一個（0，1）上的無窮數列，主要用到了無窮數列的可數性。因為無窮可數集取出有限個元素後集合的勢不變，那麼我們就可以從中取出兩個元素去對應多出來的0和1，這才是方法論！那些給個特解，也不做解釋的是真的理解了嗎？找（0，1）上的無窮可數列｛an｝，是不是有理數倒不是必須。作映射：a1—0，a2—1，a(n+2)—an，數列之外的點都是自己映射到自己。本學渣也不是數學專業的，若有不當歡迎指正
11 分鐘前

瀉藥，取一個有理子列，然後……

這道題是2006年復旦保送生考試的考題