三角函數的和差化積與積化和差有沒有什麼好的記憶方式呢?

12-05

是時候該我拿出當年壓箱底的「帥哥口訣」了！
（只有和差化積，積化和差靠反推）

帥+帥=帥哥
sinα+sinβ=2sin?(α+β)×cos?(α-β)

帥-帥=哥帥
sinα-sinβ=2cos?(α+β)×sin?(α-β)

哥+哥=哥哥
cosα+cosβ=2cos?(α+β)×cos?(α-β)

哥-哥=負嫂嫂
cosα-cosβ=-2sin?(α+β)×sin?(α-β)

口訣模版：
A±B=CD
A(α)±B(β)=2C?(α+β)×D?(α-β)
（對應上面的口訣，只是為了記αβ的加減順序和係數）

++++++其實沒什麼意義的分割線++++++

這麼有才當然不是我想出來的( ′▽` )是高三自招前臨時抱佛腳，隔壁班男神（現清華）給我支了這招，不知道是不是他想出來的？_(:3 」∠)_反正我不僅當時笑了一整天，還佩服他到現在……

【這麼帥的答案不給個贊嘛？( ′▽` )?讓我也蹭蹭男神的光(*/ω＼*)

++++
隔了兩年贊多了一點，悄咪咪改了一下符號可以看得舒服些

兩種方法：死記或者推

死記不是指看著它然後硬記住，那樣沒用。過兩天你不用就忘了。死記就是多接觸，多用，這才是關鍵。這就是為什麼高中的時候那些東西你都會，而到了大學之後每周只上一次或最多兩次課，過一周你就忘了。所以平時多用，多接觸，那些公式你就能大致記住了。

自己推，雖然不能一下子就寫出來（這是靠「肌肉記憶」了），但是過個5秒鐘一想，你就會了。自己推需要自己理解公式是怎麼來的。這裡給出我當時的方法，你也可以自己想，那樣會更好

三角函數中一大堆公式基礎是兩角差的餘弦公式 $C_{alpha-eta}$ ，之後可以推出兩角和餘弦 $C_{alpha+eta}$ ，兩角和差正弦公式 $S_{alphapm eta}$ 。如果這四個記不住，那就不用看後面了。

當你把這四個公式寫出來放到一起的時候，觀察一下會發現什麼？

$cos(alpha-eta)=cosalpha coseta+sinalpha sineta$
$cos(alpha+eta)=cosalpha coseta-sinalpha sineta$

觀察右邊兩項，發現它們一項是相同的，另一項相差一個符號。相同的話一減就沒了，相反的話相加就抵消，於是

$cos(alpha-eta)+cos(alpha+eta)=2cosalpha coseta$
$cos(alpha-eta)-cos(alpha+eta)=2sinalpha sineta$

左邊是和差，右邊是積，這就是和差化積公式。當然一般我們從左往右去的看的時候，左邊角度應該是一個值，只要做個簡單的變換就行

$A=alpha-eta$
$B=alpha+eta$

得到
$alpha=frac{A+B}{2}$
$eta=-frac{A-B}{2}$

帶入
$cosA+cosB=2cosfrac{A+B}{2} cosfrac{A-B}{2}$
$cosA-cosB=-2sinfrac{A+B}{2} sinfrac{A-B}{2}$

這是和差化積

倒過來看就是積化和差
$sinalpha sineta=frac{cos(alpha-eta)-cos(alpha+eta)}{2}$
$sinalpha sineta=frac{cos(alpha-eta)-cos(alpha+eta)}{2}$

至於正弦的和差化積和餘弦的積化和差就按這種方法自己推，出發點由 $C_{alphapm eta}$ 換成 $S_{alphapm eta}$ 即可。

超過四年沒用這些東西了，一開始連 $C_{alphapm eta}$ 和 $S_{alphapm eta}$ 都有點忘記了，但是只要你記得是怎麼來的，後面的都好辦。

我用的符號和某些項的順序可能和你書上看到的不一樣，沒關係，是等價的，只要我沒算錯的話。

這個直接記就可以，按規律記。只記和差化積，以和差化積推出積化和差
1. 參數：a、b、（a+b）/2、（a-b）/2
2. 公式
sin+sin=2sincos
sin-sin=2cossin
cos+cos=2coscos
cos-cos=-2sinsin
公式左邊，記順序：先sin後cos、先+後-
公式右邊，記語感：先異後同、韻先cos後sin，sincos、cossin、coscos、-sinsin
-
話說，這個根本不需要記憶公式，直接就記下來了啊。我表示知道這個公式以後就沒忘過 =_=（已經將近8年沒用過了）

高中某參考書上面看的，侵刪。
正和正在先，正差正後遷。
余和一色余，余差翻了天。

第一次回答，我是想把整個表記下哈哈

如圖

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只要把A和B大框架寫下來，AABB,AABB,ABBA.BABA

其他的很有規律，

和差化積：4——2——3——1，+-+-，222-2

積化和差：6——2——4——2，+-+-，222-2

PS：基本上42一塊是沒做加減的，62一塊是做加減，這是邏輯。

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實際運用中，可能會遇到B-A順序相反，例如：sinb-sinaA→2-A4

就要靈活運用了，A2-A4=-2B3A1

有時是ab相反sinb*cosa→A2B4=1/2( sin( (a+b)/2 ) + sin( (b-a)/2 ) )

做多幾道題就知道怎麼用了

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直接從另一個回答里貼過來了0_0