數學和哲學的關係是什麼？

12-05

數學和哲學的關係是什麼？

數學哲學和這兩者的關係又是什麼？

我們為什麼要搞出這些個五花八門的學科呢？原因無外乎：認識世界。所以說認識世界是我們的目的，而所有的學科，包括數學，都是我們為了達成這個目的使用的工具。
只有哲學例外，哲學本身，就是我們對世界的認識。
這是在性質上二者的區別。可能有人說這也太玄了吧，那我簡單說一下。我們的先人規定了數字，這是數學的起源，那麼為什麼要這麼做呢？是為了計數。而之後直到今天，不管我們的數學發展的多麼高深，也依然都是在通過數量化的方式，去研究這個世界（有時會是我們創造的世界）的性質。所以說數學是我們認識世界的工具。而哲學不同，哲學中我們隨便拿出一個觀點，就是我們對於世界或者其某一方面的認識，比如理性主義，就是我們認為世界是客觀而理性的。
而另一方面，我們可以把數學的根基——數理邏輯看作是一種哲學流派。這種邏輯以我粗淺的理解，包括認為世界上的萬物都可以定量的，精確的表述，而一件事情要麼是對，要麼是錯（即二元論）等等的思想信條。這些信條是數理邏輯建立的根基，事實上每一種哲學流派都有其建立的基礎信條，這個再扯下去就遠了。
最後，很難認同 @zero的答案。也許學習數學不需要什麼情商，但是哲學家中很多都是具有很高情商的人——要不然你要怎麼去觀察這個比數學符號和運算複雜得多的世界？

都和情商沒關係……

很不負責任地簡略地說的話，大概就是哲學與數學在大多數時候是獨立的學科，而且某些哲學問題是在研究數學中產生的(如古希臘的畢達哥拉斯學派)，一些哲學家在研究哲學的時候，也會運用一定的數學方法(斯賓諾莎《倫理學》)。有意思的是，在古典哲學，尤其是德國古典哲學中，數學是作為精確的自然科學的面目出現的，一些哲學理論的最終確定性，來源於數學本身的確定性。
所以大概就是，兩者有著千絲萬縷的聯繫，在研究中共同促進，共同進步。
期待更好的答案。

縱觀整個歷史，哲學家總是被數學所特別吸引。柏拉圖學院的入口處寫著這樣的警句：「不懂幾何學者勿入。」在柏拉圖看來，「數學是了解宇宙本身而不是它的表面現象的真正訓練。」柏拉圖通過反思數學在理性的知識獲取中的地位而得到他的觀點。

而反過來，最早的數學家也都是哲學家。哲學的希臘語是愛智慧的意思,所以古代哲學家(特指希臘哲學家)思考他們所能遇到的任何問題,包括數量關係和空間變化,幾乎每位哲學家都了解數學的狀況，並對它抱有相當專業的興趣。而古代數學家(特指希臘數學家)也往往都會去思考除了數學以外的問題，比如歐幾里得研究光學，阿基米德研究力學等等。因此在古希臘,數學家和哲學家的界限是不那麼明顯的。

後來學科分化,數學、天文、航海等等專業從哲學中分化出來,但數學仍然以其特殊性而成為哲學家們思考的重要案例。比如在認識論方面,數學因其「絕對」的嚴密性和正確性而成為「絕對真理」的論點的最後一道防線(雖然最後這道防線也不攻自破)。再比如分析哲學的一個傳統是把邏輯在數學語言上的成功推廣到自然語言和一般認識論。還有康德,他整個的哲學寫作總是涉及數學,包括他認為幾何、算術和代數真理是基於「直觀」的「先天綜合」等等。

理性主義是一種經久不衰的哲學流派，它的特徵就是試圖把已知的數學方法推廣到整個知識領域。理性主義者對數學那似乎不可動搖的基礎及其在純理性中的基本原則印象深刻，并力圖使所有的知識都有這樣的立足之處。與之相對的經驗主義則認為感覺經驗——而不是純理性——是知識的來源。由於數學知識似乎是基於證明而不是觀察，因此數學顯然是經驗主義主流觀點的一個反例，幾乎每個經驗主義者都最嚴肅地對待數學的挑戰。他們中有些為了容納數學而走得很遠，有的則把數學扭曲地難以辨認。由此可見數學在哲學中的地位非比尋常。

今天我們在所有數學領域都看到了廣泛的專業化，數學家和哲學家個人經常難以理解本系同事的研究工作。其結果是，在主流數學和主流哲學之間沒有很多直接的和有意識的聯繫。然而數學領域和哲學領域所關注的領域離得並不遠，因為世界範圍內的哲學系和數學系都教授邏輯學。

可以說哲學和數學都是以邏輯為基礎而延伸的(自然科學也用到了邏輯,但是它們更需要觀察和實驗)。當代哲學中使用的很多技術和工具都是為了數學——只為了數學——而發展和磨練出來的。邏輯學通過有代數思維的數學家和哲學家而成長為一個繁榮的領域。弗雷格甚至成功證明了數學的算術是分析的,他把算術解釋成對概念和對象的集合的計數,從而宣示了數學哲學中邏輯主義的到來。在這種意義下，很多分析哲學還嘗試把邏輯在數學語言上的成功推廣到自然語言和一般認識論上。從這個角度來看,哲學和數學實在是有太多的共同語言。

還有很多理由可以把數學和哲學聯繫起來，比如它們都屬於為理解我們周圍世界所做的最初的理智上的嘗試。在認識論中，數學可以被理解為認識這個世界的一個很好用的工具，因為它幾乎在所有以理解物質世界為目標的科學努力中扮演著核心的角色。都說一個學科是否成熟,要看其對數學的應用程度,伽利略甚至寫道：「自然之書是用數學語言寫成的。」由此可見一斑。同樣的,哲學是我們對這個世界最為本質的思考,任何一個學科走到盡頭都將回歸到哲學。因此數學和哲學都可以看作為認識這個世界的通法,只是數學只關注數量關係和空間變化這些狹小方面,而哲學則考慮地更多。如果說數學是在一定規則下的數形思維遊戲的話,那麼哲學就是在一定規則下對整個世界的思維遊戲。

數學和哲學有著太多的聯繫，故而有相當一段時間，哲學家和一些數學家相信哲學的事情——如形而上學和本體論——決定著真正的數學實踐。例如，柏拉圖認為數學的研究對象是一個永恆不變的王國，數學對象——如數和幾何對象——是不生不滅，也不能被改變的。再比如，直覺主義對排中律的懷疑，直覺主義邏輯——沒有排中律的較弱的邏輯——直接導致了直覺主義數學的誕生。還有著名的邏輯主義者羅素對集合論的質疑，以及之後的非直謂定義引發的引起哲學思考的方法論之戰。這些例子暗示出的傾向是：在某種深刻的形而上學意義上，哲學先於實踐，而在基礎層面上，哲學決定實踐。這種觀點被稱為「哲學在先原則」，其想法是：我們首先弄清我們在談論的是什麼，只有在這之後才能弄清對數學本身又該說些什麼。在這種觀點下，哲學有了決定數學的高貴任務。用傳統術語說，這個觀點就是哲學為像數學這樣的特殊科學提供第一原理。

然而，對數學史來說，哲學在先原則並不是真的。雖然直覺主義和直謂數學依然在某些角落被實踐著，但是經典邏輯的絕大部分和非直謂定義在當代數學中卻根本不能被動搖。也就是說，儘管爭論在哲學家中持續著，但在數學中戰鬥已完全結束。而數學家們也拒絕戴上哲學的頭銜。比如他們認為排中律和非直謂定義對於數學的實踐是本質的，這些原則不是因為實在論的批准才被接受，而是因為數學的平穩發展需要它們。在一定意義上，可以理解為：數學家忍不住使用這些原則，事後看來，沒有這些原則，數學會變得貧乏無力。戴德金在討論自然數的論文中就明確拒絕了構造主義者的觀點，並提出：「我不相信這些限制是正當的，但是似乎沒有必要更仔細地糾纏於此事，除非有傑出的數學家為這些限制的必要性或至少是方便性提出他的理由。」

於是有些哲學在先的極端反對者認為：數學有自己的存在方式，完全獨立於任何哲學思考。其中最壞的情況是：數學哲學知識一種無意義的詭辯，門外漢的閑逛和（試圖）多管閑事。即使是最好的情況，數學哲學也不過是數學的一個不值一提的女僕：如果它有什麼工作可做的話，就是給作為實踐的數學提供一個融貫的說明，僅此而已。這種觀點下，如果數學的發展開始與其衝突，那麼哲學家必須準備否定自己的觀點，不能有一絲猶豫。這種觀點又叫做「哲學在後原則」。

關於「哲學在先原則」和「哲學在後原則」的爭端，我無法解決，也不打算解決。在我看來，數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個知識領域中的位置。它可以告訴我們：數學是什麼？數學有什麼特性？數學有什麼用？如何認識數學？數學的方法有哪些？等等。從這個角度來看，數學哲學融入數學教育似乎應該是一個更好的選擇。

在維特根斯坦的時候，關係都可以是密切而曖昧的，將來既可能分道揚鑣也可能再糾纏到一起。哲學自己的範圍就有點曖昧，所以很難說啊。
畢竟我兩個都不太懂= =！希望有真正懂的人來說說，目前看到的答案都不滿意。

哲學是元數學，數學的數學。比如數理邏輯。

數學是研究微觀事物，哲學是研究宏觀事物。哲學不存在精確，數學不存在不精確。