f = x*x - y*y, x, y是相互獨立的變數，那麼 f 對(x-y)的偏導數是多少？
12-05
萬能的知乎，請幫我解決一個求偏導數的問題吧，下面是兩種解法，看似都對，但是答案矛盾，我已經問了若干個非數學專業同學，三個數學專業同學，還有我的高數老師，可以都沒有給出答案。matlab不能給出解析解，我從偏導數的定義下手，帶數據算，得到的結果不穩定。求教各位知乎大神們！
「f 對(x-y)的偏導數」這個寫法是沒有意義的。定義偏導數的時候，一定要說明使用的整體坐標系統。u=x-y, v=x+y是一個坐標系統；u=x-y,v=y是另一個坐標系統；在不同的坐標系統下當然會求出不同的答案。
嚴格的表述應該是這樣：以u=x-y, v=x+y為新的坐標系，f對u的偏導數是多少？謝邀，字丑勿怪
一開始有一個小小的筆誤，應該是u = x - y, v = x + y,感謝評論@林啃指出
打完收工
問這個問題說明你對偏導的概念理解不夠。
首先請回憶一下導數和偏導的定義。這個量表示的是：當自變數變化一個微分 dx，且其他自變數不變，f 的值隨 x 變化的比率的極限。
那再來看，如果 x-y 變化 du，那到底是 x 變了還是 y 變了？
樓上提到了你的問題在於選取坐標系統的問題：
如果選取 u = x - y, v = y， 那就是告訴你 u 增加 du，對應的是 x 增加 du， y不變。
如果選取 u = x - y, v = x + y， 那就是 u 增加 du，對應的是 x 增加 du / 2， y 增加 -du / 2。
如果坐標系變換是線性變換，順著這個思路還可以推導出梯度矩陣的概念，樓主有興趣還可以嘗試一下。
所謂偏導，是指只在此變數增長，其他變數不變。
所以維持其他變數不變的方向決定了這個軸(也就是偏導增長)的方向。
所以偏導必須依賴其他變數，其他變數不定則偏導不定。
你這兩種解答不一致的原因是 不同的x y和u v的關係假定下 對應變換的雅克比矩陣是不一樣的 必須考慮進這個因素來
你求dx 的偏導數的時候。默認dy＝0。否則你是不出來的。
所以你求d(x-y) 的偏導數的時候。 默認d(x+y) ＝0. 否則你也求不出來。
相等才奇怪咧
另外建議把第二個坐標系換成
U",V"
f(x0,…,xn)對x0的偏導，定義是假設除x0以外其它自變數為常數時f對x0的導數
你要求f(x,y)對(x-y)的偏導，現在問題來了，其他自變數是什麼？
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