2的999次方的階乘與10的一百億次方哪個大？

12-05

顯然有 $ln n! ge int_{1}^n ln x ext{d}x = nln n - n + 1$

（由積分的幾何意義；感謝 @黎曼不可積，已改正）

於是 $ln 2^{999}! ge 2^{999}ln 2^{999}-2^{999}+1 ge 2^{999}ln 2^{997} ge 10^{297} cdot 297 ln 10$

而 $ln 10^{10^{10}} = 10^{10} ln 10$

這個大小比較很顯然了……

這題..
2^999=16^249.75&>10^200
一百億是10^10
(10^200)!是10^200個數相乘，除了前十個每個都大於10
10的一百億次方是10^10個10相乘
哪個大顯而易見吧

我這個思路真的有那麼繞么.......我想了好久有沒有更簡單的表述方法但是實在想不出來了......

其實就是在n很大的時候，n!是遠大於10^n的，這個問題可以直接證明，也可以理解成因為同樣是n個數相乘，n!除了前9個都大於10，也就是說n!是很多個非常大的數相乘，10^n是很多個10相乘。

而這裡要比較的是m!和10^n，m又遠大於n，當然前者遠大於後者。

這個題目到這裡就完了，當然我這個做法的放縮太狠，如果數換一下兩個靠得近一點就不一定能這樣繞了。

所以我開始會說這題沒意思……數給的不好。不知道這個題目是題主自己想的還是從哪看到的。

＃更本弱雞手機碼子不會打公式所以發圖片，字不好看請見諒。。。感謝 @ys加州指出我的智障錯誤一百億是10^10。。。由於圖片不好修改就這樣吧。。。

這時候應該祭出偉大的斯特林公式：

斯特林公式在n≥5的時候就已經有非常高的精度了，所以這樣的近似後的結果是可信的。

我們看看使用斯特林公式後會得到什麼結果

所以結論是前者完爆後者。由於300/10=30，所以前者大約是後者的30次方還要大得多(考慮計算中的各种放縮)＃再更感謝 @SuperFashi 的回答中的計算，我們看到，(2^999)！≈10^(10^303.2)，所以前者是後者的31次方左右，這和我上面的估計是非常接近的

第一個大很多很多

用斯特林公式啊

$lnN!approx N(lnN-1)$

對於這個問題可以略去小量

$lnN!approx NlnN$

$ln(2^{999}!)approx 999*2^{999}*ln2\$

$ln(10^{10T})=10Tln10=10*10^3*10^3*10^3*ln10$

而2^999 !,如果看不清楚，我們繼續化簡下

$ln(2^{999}!)approx 999*2^{999}*ln2= 999*2^{10}*2^{10}*2^{10}*2^{969}*ln2 approx 999*10^{3}*10^{3}*10^{3}*2^{969}*ln2$ 兩個數大小很明顯

易得：

很顯然。

1到2^999中有n=[(2^999)/10]個數能被10整除，n&>[16^249/10]&>10^248&>10^10（一百億），所以很顯然了

我記得教科書上有關於指數增長的描述（指數爆炸），那麼：

當n趨向於正無窮大的時候

n^n=宇宙爆炸

n!=銀河系爆炸

a^n=太陽系爆炸（a&>1)

n^a=地球爆炸(a&>0)

loga(n)=一個鞭炮爆炸(a&>1)

稍有常識的人都能看出，從 $2^{999}$ 乘到 $2^{999}-10^{10}$ 就已經遠大於 $10^{10^{10}}$ 了，這問題問得毫無意義嘛。

很顯然，我看完回答依舊不知道哪個大

取個對數不得了

用c碼了一下

2^999=5357543035931336604742125245300009052807024058527668037218751941851755255624680612465991894078479290637973364587765734125935726428461570217992288787349287401967283887412115492710537302531185570938977091076523237491790970633699383779582771973038531457285598238843271083830214915826312193418602834034688

這貨是個三百零一位數，它的階乘，嗯，我的電腦算不出來。

利用stirling公式估計階乘，把e放成4都行，再把2^10放縮成10^3，前項遠比後項大。

和題關係不大。
Gamma函數對數凸，指數函數對數線性，所以階乘的增長率比指數增長是要大的。