關於希爾伯特旅館的疑問？

12-05

希爾伯特旅館最初設想一家旅館，內設無限個房間，所有的房間也都客滿了。這時也有一位新客，想訂個房間。旅館主人就把1號房間的旅客移到2號房間，2號房間的旅客移到3號房間，3號房間的旅客移到4號房間等等，這樣繼續移下去。這樣一來，新客就被安排住進了已被騰空的1號房間。我想問，這個旅館既然有無限間房間，那為什麼還能住滿？「無限」和「住滿」不是本身已經矛盾了嗎？

說實話，我很反感這類所謂通俗解釋，它們有時更難理解。

如果你真的把「住旅館」按照字面意思想的話，那麼：(1)世界上壓根沒有無限多房間的旅館；(2)即便有這樣的旅館，世界上總共才有70多億人，當然也住不滿。因此，這樣理解的話，問題就沒有意義。

這個問題用數學解釋是這樣。在ZFC公理的集合論中，如果κ是任何一個無窮勢 (infinite cardinal)，那麼總有 κ+1=κ。（注意這個加法不是整數之間的加法，而是cardinal的一個運算方式，只不過借鑒了同樣的符號而已。）同樣，即使 S 是 T 的一個真子集(proper subset)，它們的勢(cardinality)也有可能一樣。比如正整數集和非負整數集的勢都是 aleph_0，儘管後者多了一個元素0。其對應方式正如你問題中描述的那樣，每個旅客往後搬一個房間即可。這沒有任何矛盾。

推薦你讀一本公理化集合論的書：Thomas Jech - Set Theory (Springer monographs in mathematics)

這個比喻一點都不好，還不如直白地講。

如何比較兩個無窮集合的大小呢？有一種思路是映射：如果能構成一一映射的關係，那它們就是同樣多的；否則，就是其中一個多。

比如，大於等於零的整數 vs 大於零的整數，兩者是一樣「多」的。儘管前者多了一個零。
大於零的整數 vs 全體整數，是一樣「多」的；所有奇數（或者所有偶數）vs 全體整數，也是一樣「多」的。儘管後者似乎是前者的兩倍。

但是，整數比無理數「少」，因為總是可以構造出映射的突破：
假設已經存在了一個映射，把它們一一對起來了。我們總是可以構造這樣一個數：它在小數點後第一位與第一個數不一樣，在小數點後第二位與第二個數不一樣……在小數點後第N位與第N個數不一樣。

簡單說就是，不要把有限問題和無限問題混為一談，這樣的悖論太多了。

「住滿」只是用來描述一個狀態。

狀態一下，假設住了無限個旅客，此時描述為酒店「住滿」。

狀態二下，多了一位旅客，仍然為「住滿」。

狀態相同，旅客數相同。

可以簡單地理解為：無限大=無限大+1

所以，「住滿」是描述性詞語，「無限大」是變數，數學詞語。不矛盾。

人家說得很清楚，來了無限多個顧客。使得每一間房間都住了一個顧客。每個顧客也恰好有一個房間住。

可數個可數集的並是可數集