為什麼大於零小於壹的純循環小數的循環節是其最簡分數分子的倍數？

比如
2/7=0.285714285714...,285714是2的倍數
3/7=0.428571428571...,428571是3的倍數
2/9=0.222...,2是2的倍數

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你只要理解為什麼會出現循環小數就好了。
假設我們只考慮小數點後只有循環節的小數。對於其他的小數，只要乘以10^k，就可以轉換成這種小數。補充一下，這種情況下這個結論不一定是對的。比如：
首先你要知道：

其中循環節有多長，分母上就有多少個9
然後兩邊分別乘以循環節，比如（為了簡化寫法，用大括弧{}表示循環節）：

因為原分數是循環節為分子的分數化簡得來，所以分子肯定是循環節的約數。

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把無限循環小數拆分成等比數列
用級數求和的公式推導一下就行了

比如無限循環小數
0.6363636363=0.63+0.0063+0.000063+……
=0.63*（1+1/100+1/10000+……）——括弧里的級數的極限是100/99
=0.63*(100/99)
=7/11

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因為3/7=3*1/7？

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分母能通分成10的n次方形式的分數才能表示成10進位有限小數。
比如
3/5 = 6/10 = 0.6
24/25 = 24/ （5*5）= （24*2*2）/（5*2*5*2）= 96/100 = 0.96
1/8 = 1 /（2*2*2）= （1*5*5*5） / （2*5*2*5*2*5）= 125/1000 = 0.125
12345/100000 = 0.1234567

只有當分母的因數分解不包含除2和5 之外的因子時，才能通分成 10的n次方形式。

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詳情見 阿爾伯特?H?貝勒. 數論妙趣—數學女王的盛情款待[J].第10章 循環到無窮

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