圓的外切三角形中，面積最小的為什麼是正三角形？

12-05

求各位分享一下證明這個問題的方法

引申問題：對於一個球來說，體積最小的外切四面體是不是正四面體，如何證明？

用三角函數+凸性比較簡單，三角形面積可以寫成
$r^2(cotfrac{A}{2} + cotfrac{B}{2} + cotfrac{C}{2})$ ，而餘切函數在 $(0, frac{pi}{2})$ 上是個下凸函數，所以最小值由琴生不等式得到為 $3r^2cot frac{A+B+C}{6} = 3sqrt{3} r^2$ ，當 $A = B = C$ 時成立

首先說靈劍的方法簡單，但使用了高等數學知識，此題用初等幾何也可證明。
分兩步證明。
第一步，可以證明：通過圓外一點作圓的外切三角形中，以此點為頂點的等腰三角形面積最小。這個非常容易證明。
第二，證明此等腰三角形的頂點與圓的兩切線夾角60°時，面積最小。分大於60°和小於60°兩種情況，只需要證明等邊三角形外增加的三角形面積大於減少的面積即可。
兩步方法其實一樣，交叉線兩邊的兩個三角形的，在大三角形做小三角形的全等三角形，即可證明增加的面積大於減少的面積。不需要使用複雜的公式來計算。
挺簡單的，圖我就不上傳了。
至於球的外接四面體體積最小是否正四面體，我還沒思路。

說個題外的東西，在數學裡面具有美感的東西往往是特殊的。

拉格朗日乘數法。

反正題目又沒限定非要用初等方法……

來個非主流的：
設內切圓半徑 $r$ 三角形周長 $c$ 面積 $s$ ，由於任意三角形對應一個內切圓，所以下面兩種情況一樣：
固定半徑圓求面積最小外切三角形 $Leftrightarrow$ 固定面積三角形求最大內切圓

由 $s=frac{1}{2} c r$ $Rightarrow r=frac{2s}{c}$
問題轉化為求三角形面積固定時，周長取最小值時的情況

先任意給出一個三角形ABC，當AB邊任取一長度時要保持面積不變則頂點C在與AB平行的直線上移動，如圖：

作一個以AB為焦點與這條平行線相切的橢圓（半長軸a），由橢圓的幾何性質可知直線上除切點外的點都是橢圓外面有AC+BC&>2a，所以切點（頂點）處，即等腰時ABC周長最短。
同理當以AC為底時，重複上面步驟，要使AB=BC，周長才更短，再以BC為底，需要AB=AC，周而復始。。。
所以只有當AB=AC=BC時三角形才停止變化，周長不能再變短了

底乘以高為四邊形面積。同四邊形周長，正四邊形的面積最大。同理，推導，同周長的三邊形，正三邊形面積最大。

用物理的思路可以提供一種方法，內切圓固定，面積只與周長相關，為三條邊提供提供一個表面張力，張力平衡時表面能最小，也就是周長最小。而若要張力平衡，各個接觸角必然相等，也就是正三角形。
四面體固定內切球同理。
另外，不僅可以用界面張力理解，用外部均勻壓強也可以得到相同的結論。

將切點和圓心的連線分割成三個四邊形，三個四邊形的2邊是圓半徑r，將四邊形延此邊對摺可以得到一個等腰三角形。等腰角上的角度等於原來分拆之前原角度的一半。反正可以腦補這個變換。

根據平分角（角平分線上的點到角的兩邊的垂直距離相等，充要條件）性質可得：
四邊形AOO" O""面積 = 0.5 × r × r×cot(A/2) ×2;
同理得其他兩個，三個一加就是樓上的結論了。
跟樓上過來的。