方程 cos(x) = x 的唯一實數解是不是超越數？

12-05

或無理數？這問題有結果嗎？

謝邀，這個解的名字叫做Dottie Number。這個名字是SAMUEL R. KAPLAN在其文章The Dottie Number（FEBRUARY 2007）取的。

名字來源是，一個法語教授Dottie某天發現無論在計算器上輸入哪一個數，然後不停按cos函數那個鍵，最後都會收斂到同一個值，大約是0.739085。她問了她丈夫為什麼會這樣。她丈夫是個數學教授，但他在當天沒有想到對這個的解釋。不過第二天，他就意識到發生了什麼，他妻子發現了一個簡單的全局吸引子的例子。

相信大家也有這麼干過，這個操作等價於求 $cos(cos(cos(cos(....cos(x)))))$ ，這個序列的極限就是 $x= cos x$ 的解。這個數的前幾位小數可以在這裡看到A003957 - OEIS。

另外有一點要說明的是，如果用角度制計算的話，那就相當於進行 $x_{k+1}=cos frac{x_k pi}{180}$ 的迭代，那結果是 0.9998...

The Dottie number was the nickname among my graduate school friends for the unique real root of cos(x) = x. The story goes that Dottie, a professor of French, noticed that whenever she put a number in the calculator and hit the cos button over and over again, the number on the screen always went to the same value, about 0.739085 ... .She asked her math-professor husband why the calculator did this no matter what number she started with. He looked. He tried it. He said he had no idea, at least not that day. The next day he realized not only what was happening, but that his wife had found a beautiful, simple example of a global attractor.

https://www.maa.org/sites/default/files/Kaplan2007-131105.pdf

這位同學也發現了相同的事Explaining $cos^infty$。。。

回歸正題，這個數是超越數，可以由Lindemann-Weierstrass Theorem證明。下面定理來源Baker, A. Theorem 1.4 in Transcendental Number Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1975.

假如Dottie Number是代數數，這裡就記成x好了。那麼根據歐拉定理 $e^{ix}=cos x+isin x$ ，我們有 $cos x= frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ 。那麼 $x=cos x$ 就可以變形為 $2x-e^{ix}-e^{-ix}=0$ 。i是 $x^2+1=0$ 的根，顯然是代數數。代數數的乘積是代數數，所以 $ix，-ix$ 都是代數數。

那麼取代數數 $alpha_1=0, alpha_2=ix, alpha_3=-ix$ , $eta_1=2x, eta_2=-1, eta_3=-1$ ,注意到x不可能是0，所以這3個 $alpha$ 是不同的數。同時我們有等式 $2xe^{0}-e^{ix}-e^{-ix}=0$ ，這與Lindemann-Weierstrass Theorem矛盾，定理說明這樣的等式不可能為0。所以x不是代數數，證畢。

另外，若設 $t-pi/2=x$ ，那麼 $x=cos x$ ，就變成了 $t-pi/2=cos(t-pi/2)=sin(t)$ ，即 $t-sin(t)=pi/2$ , 這個就是Kepler"s equation。而Kepler"s equation有著豐富的研究結論。這裡What is the solution of cos(x)=x?，giorgiomugnaini給出了Dottie Number的一個級數表達。

在Explaining $cos^infty$中 Anixx給出了一個積分表達，

這個結果可以在這裡找到On an integral representation of a class of Kapteyn (Fourier–Bessel) series: Kepler』s equation, radiation problems and Meissel』s expansion。

that"s all, thank you.

感覺好神奇！謝謝@cielo等各位答主的回答~

在程序語言理論裡面也有類似的東西，最著名的一個就是lambda演算的Y不動點組合子，用來使匿名函數實現遞歸。

(Y F) → (F (Y F))

其中Y就是

λ?.((λ⊙.(?(⊙⊙)))(λ⊙.(?(⊙⊙))))

喵

結論:是超越數
證明:反證法，如果x是代數數，那麼e^(ix)和ix都是代數數，顯然ix非零，由Lindeman-Weirstrass定理，e^(ix)超越，矛盾！故x超越。

sinx=x就沒有這麼多破事

謝邀。應該是超越數。如果這個解是代數數，那麼它是某個整係數多項式的根，那麼cos(x)等於某個多項式。但是我們知道cos(x)有無窮多個實數根，根據多項式理論，這個多項式有無窮多個一次因式，矛盾。

一覺醒來，發現突然多了很多贊......實在不好意思，很久前就有評論指出這個回答的問題了，但是我實在是很懶，到現在都沒有改......原答案我也不刪掉了，留在這裡做個反例好了......

問題是我們只能知道cos(x)-x有一個根，但不能因為p(x)有無數個根就指出p(x)-q(x)也有無數個根。事實上，只要稍微想像一下cos(x)-x的圖像就能知道它並沒有無窮個根......正確的做法應該是化成帶自然底數的超越方程，然後應用Lindemann-Weierstrass Theorem。感謝 @cielo 提出的詳細的解答，有興趣的朋友們可以參考一下。

我小時候好像搞過這個…好像是轉到幾何方面去作的。結果好像和pi平方或者pi平方根有關，幾何上好像是個蠻簡單的結果。…但可惜年代久遠已經記不清了…不知道現在的小朋友們還會不會去鑽這種牛角尖了…雖然沒啥用。

突然想起來了

以上到底哪裡錯了，希望數學專業人士能夠抽空幫忙看看。