x^y=y^x的有理數解問題？

已證明在的情況下，只有兩組整數解或
那麼問題來了，喪(ji)心(ke)病(nan)狂(nai)的題主覺得這個結論還♂ 不♂夠♂強！
於是請各路高人來獻(hua)計(yang)獻(zhuang)策(bi).
P.S.題主不才，證明還是看得懂的，所以請各位大神附上證明，謝謝啦！
PP.S.留個坑填證明

結論：所有正數解為
，其中 x 為有理數，n 為非零整數。

證明：方程化為 ，因此存在有理數 a 和非零整數 s, t，使 ，且 s, t 互素（這是比較顯然的，只需把有理數寫成素數的整數次冪的積）。由 知 。排開 x = y 的情況，不妨設 s &> t。

若 ，則 ，記 ，得到開頭給出的解。

若 ，則 。由 s, t 互素且非零，知二者都是某整數的 k 次冪。若 k 偶數，相距最近的兩個非零 k 次方數相差 ，矛盾。若 k 奇數，相距最近的兩個非零 k 次方數是 ，但這樣 就是偶數，矛盾。相距次近的兩個非零 k 次方數相差 ，矛盾。從而此情況無解。

感謝abccsss的精彩推導，不過部分顯而易見的地方對於我等數學早還給體育老師的有些困難，這裡嘗試用只用整數和質因數分解概念重新表達下，請斧正

令x=a/b, y＝c/d, x!=y
abcd都是正整數，且ab互質，cd互質

等式變成
(a/b)^(c/d)＝(c/d)^(a/b)

兩邊同時乘方bd次
(a/b)^bc＝(c/d)^ad

我討厭除法，展開
a^bc × d^ad ＝ b^bc × c^ad

進行質因數展開
假定a含有質數因子 p的n次冪
由互質行性質知 b 不含 p因子
那就只能是 c 含有 p因子， 瞬間一個等式變兩個
a^bc ＝ c^ad
b^bc ＝ d^ad

繼續考察質因子p
令a含有 p^n，c含有p^m
nbc＝mad

對nm求最大公約數後可繼續化簡
Nbc＝Mad
a ＝A^N
c ＝A^M
b ＝B^N
d ＝B^M
AB互質，NM互質

N×A^M×B^N＝M×A^N×B^M
N×A^(M-N) ＝ M×B^(M-N)
N＝B^(M－N)
M＝A^(M－N)

M＝N 等價 x＝y，不是我們尋找的解

由對稱性我們可設定正整數k＝M－N
由A^k－ B^k＝ k
(A－B)(A^(k-1)＋A^(k－2)B^1＋...＋B^(k-1))＝k
右邊括弧里為k項，和大於等於k
推出 A＝B＋1
x＝(A/B)^N＝((B＋1)/B)^B
y＝((B＋1)/B)^(B＋1)

容易驗證

完畢
爪機碼字，感謝理解