如何證明從單位圓內接正n邊形任一頂點到其餘所有頂點連線長度之積=該多邊形邊數n？

12-05

有趣的數學問題

設 $f(x)=(x-z)(x-z^2)(x-z^3)cdots(x-z^{n-1})$ , 這裡 $z=exp(2pimathrm{i}/n)$ 是第一個 $n$ 次單位根.

於是所求距離的乘積即 $|f(1)|$ .

注意到首一多項式 $g(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+cdots+x+1$ 恰好與 $f(x)$ 有相同的復根, 所以 $|f(1)|=|g(1)|=n$ .

寫成正弦和，用配一個餘弦後積化和差的方法裂項求和即可